复合函数求导ppt课件

2xe
x2

y2

z2
2ze
x2

y2

z
2

2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y


f y

f z

z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,

10
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例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
(1) u u r x r x
(当 在二、三象限时, arctan y )
x
u
r
x yx y
u cos u sin
r
r
11
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d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
16
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z
z
z v
y
v y
uv x yx y
eu sin v eu cos v 1
7
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例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x
xy
8
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例3. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
r
r
(r
u r
)

2u
2

14
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二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
u dt v dt (0,0)
4
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推广:
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
d dx

3
(
x)
x

1
3
2
(
x)
d
dx
x
1
3 f1(x, f (x, x))
f2(x, f (x, x))
3 2 3 (2 3) 51
x 1
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r r
r
r
x yx y
注意利用 已有公式
( u cos u sin ) sin
r
r r
2

u

2
sin cos
r2
u sin2
r r 13 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2u
x2
同理可得

u

2
sin
r
cos
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
3
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说明: 若定理中
u u r u y r y y
r y

y, r

y
1

1

x
(
y x
)2

x x2 y2
u r
y r

u

x r2
u sin u cos
r
r
u
r
x yx y

( u x
)2

( u y
)2
( u r
第四节
第九章
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
1
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x

f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
2
u sin2
r r
2u y2

2u r 2
sin
2


2
2u
r
sin cos
r

2u
2
cos2 r2


u

2
sin

r
cos
2
u cos2
r r

2u x2

2u y2

2u r 2

1 r2
2u
2

1 r2
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u
u2v 2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1
dt 2
z du z dv 0 1 0 1 0
)2

1 r2
( u

)2
12
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已知 u u cos u sin
u
x r
r
ux
(2)
2u x2

((uu)) rx xx
cos

( u )
x
sin
r
( u cos u sin ) cos
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
6
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例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如,
u
1 ;
2 x y v
2. 全微分形式不变性
xy
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z fu (u ,v) d u fv (u ,v) d v
来自百度文库
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备用题
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
tt
2
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t

f12 f2 2
x yx y
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又如, z f (x,v), v (x, y)
z f
z x

f x
z
y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
1. 已知
解: 由
求 两边对 x 求导, 得
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2. 设函数
在点
f f (1,1) 1,
2,
x (1,1)
(x) f (x, f ( x, x)),求
处可微 , 且
f 3, y (1,1)
(2001考研)
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1