2020年中考数学压轴题专题讲解：四边形综合题(含答案)

备战2020年中考数学压轴题专题讲解：四边形综合题1．如图，四边形ABCD是菱形，120
BAD
∠=︒，点E在射线AC上（不包括点A和点)C，过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且//
GH DC，点F在BC的延长线上，CF AG
=，连接ED，EF，DF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，
①判断AEG
∆的形状，并说明理由．
②求证：DEF
∆是等边三角形．
（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，DEF
∆是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
2．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD
=，180
B D
∠+∠=︒，E，F分别是边BC，
CD上的点，且
1
2
EAF BAD
∠=∠，则BE，EF，DF之间的数量关系是EF BE DF
=+．
（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF 之间的数量关系是什么？请说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处）北偏西30︒的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50︒的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 连线的夹角70
EOF
∠=︒，试求此时两舰艇之间的距离．
3．将一个等边三角形纸片AOB 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(6,0)B ．点C 、D 分别在OB 、AB 边上，//DC OA ，23CB =．
()I 如图①，将DCB ∆沿射线CB 方向平移，得到△D C B '''．当点C 平移到OB 的中点时，求
点D '的坐标；
()II 如图②，
若边D C ''与AB 的交点为M ，边D B ''与ABB ∠'的角平分线交于点N ，当BB '多大时，四边形MBND '为菱形？并说明理由．
()III 若将DCB ∆绕点B 顺时针旋转，得到△D C B ''，连接AD '，边D C ''的中点为P ，连接AP ，当AP 最大时，求点P 的坐标及AD '的值．（直接写出结果即可）．
4．如图（1），在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，20BC cm =，
10AD cm =．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2cm 的速度向点C 匀速运动，与此同
时，垂直于AD 的直线t 从点A 沿AD 出发，以每秒1cm 的速度沿AD 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于M 、N 、E ．当点P 到达点C 时，点P 与直线l 同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．
（1）在运动过程中（点P 不与B 、C 重合），连接PN ，求证：四边形MBPN 为平行四边形；
（2）如图（2），以MN 为边向下作正方形MFGN ，FG 交AD 于点H ，连结PF 、PG ，当10
03
t <<
时，求PFG ∆的面积最大值； （3）在整个运动过程中，观察图（2）、（3），是否存在某一时刻t ，使PFG ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
5．如图①，在矩形ABCD 中，动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为()t s ，连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、DF ，设PCD ∆的面积为2()y cm ，y 与t 之间的函数关系如图②所示． （1）AB = cm ，AD = cm ；
（2）当t 为何值时，DEF ∆的面积最小？请求出这个最小值； （3）当t 为何值时，DEF ∆为等腰三角形？请简要说明理由．
6．如图，在平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，10AB =．6AC =．动点P 在线段BC 上从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q 在线段DC 上从点D 出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P 作PE BC ⊥．交线段AB 于点E ．若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为
t 秒．
（1）当t 为何值时，//QE BC ？
（2）设PQE ∆的面积为S ，求出S 与t 的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE ∆的面积S 最大？若存在，求出此时t 的值； 若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t ，使得点Q 在线段EP 的垂直平分线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
7．如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，53
AD=，5
CD=，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．
（1）求CAD
∠的大小；
（2）问题探究：动点M在运动的过程中，
①是否能使AMN
∆为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②MBN
∠的大小是否改变？若不改变，请求出MBN
∠的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．
8．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE CF
=，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90︒得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为+=．
BP QC EC
（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形ABCD的边长为6，3
QC=，请直接写出线段BP的长．
=，1
AB DE
9．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，若BC a =，AD h =，求正方形PQMN 的边长（用a ，h 表示）．
（2）操作：如何画出这个正方形PQMN 呢？
如图2，小波画出了图1的ABC ∆，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB 上任取一点P '，画正方形P Q M N ''''，使点Q '，M '在BC 边上，点N '在ABC ∆内，然后连结BN '，并延长交AC 于点N ，画NM BC ⊥于点M ，NP NM ⊥交AB 于点P ，PQ BC ⊥于点Q ，得到四边形PQMN ．
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN 是正方形．
（4）拓展：小波把图2中的线段BN 称为“波利亚线”，在该线上截取NE NM =，连结EQ ，EM （如图3)，当90QEM ∠=︒时，求“波利亚线” BN 的长（用a ，h 表示）．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
10．性质探究
如图①，在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=︒，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 3 ．
理解运用
（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为843
+，则它的面积为；
（2）如图②，在四边形EFGH中，EF EG EH
==．
①求证：EFG EHG FGH
∠+∠=∠；
②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若120
EF=，直接写出
FGH
∠=︒，10
线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．
11．如图1，在矩形ABCD中，3
BC=，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线
t s．
BC方向移动，作PAB
∆关于直线PA的对称PAB
∆'，设点P的运动时间为()
（1）若23
AB=．
①如图2，当点B'落在AC上时，显然PAB
∆'是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得PCB
∆'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB'与直线CD相交于点M，且当3
t<时存在某一时刻有结论45
PAM
t>的任意时刻，结论“45
∠=︒”是否总是PAM
∠=︒成立，试探究：对于3
成立？请说明理由．
12．如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，4
AD=，连接AC，动点E从点O出发沿
∆的外→以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，ADE
O C
接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将EFG
∆．
∆沿EF翻折，得到EFH （1）求证：DEF
∆是等腰直角三角形；
（2）当点H 恰好落在线段BC 上时，求EH 的长；
（3）设点E 运动的时间为t 秒，EFG ∆的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．
13．操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C '处．点P 为直线EF 上一动点（不与E 、F 重合），过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线，垂足分别为点M 和N ，以PM 、PN
为邻边构造平行四边形PMQN ． （1）如图1，求证：BE BF =；
（2）特例感知：如图2，若5DE =，2CF =，当点P 在线段EF 上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；
（3）类比探究：若DE a =，CF b =．
①如图3，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，试用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，请直接用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）
14．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A C →→的路径运动，运动时间为t （秒）．过点E 作EF BC ⊥于点F ，在矩形ABCD 的内部作正方形EFGH ．
（1）如图，当8AB BC ==时，
①若点H 在ABC ∆的内部，连结AH 、CH ，求证：AH CH =；
②当08t <时，设正方形EFGH 与ABC ∆的重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式；
（2）当6
AB=，8
BC=时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，求t的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边4
AB=，6
BC=．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当30
OAD
∠=︒时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为21
2
时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos OAD
∠的值．
参考答案
1、【解答】（1）①解：AEG ∆是等边三角形；理由如下： 四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，
//AD BC ∴，AB BC CD AD ===，//AB CD ，1
602
CAD BAD ∠=∠=︒， 180BAD ADC ∴∠+∠=︒， 60ADC ∴∠=︒， //GH DC ，
60AGE ADC ∴∠=∠=︒， 60AGE EAG AEG ∴∠=∠=∠=︒， AEG ∴∆是等边三角形；
②证明：AEG ∆是等边三角形， AG AE ∴=， CF AG =， AE CF ∴=，
四边形ABCD 是菱形， 120BCD BAD ∴∠=∠=︒， 60DCF CAD ∴∠=︒=∠，
在AED ∆和CFD ∆中，AD CD EAD FCD AE CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AED CFD SAS ∴∆≅∆
DE DF ∴=，ADE CDF ∠=∠，
60ADC ADE CDE ∠=∠+∠=︒， 60CDF CDE ∴∠+∠=︒，
即60EDF ∠=︒， DEF ∴∆是等边三角形；
（2）解：DEF ∆是等边三角形；理由如下： 同（1）①得：AEG ∆是等边三角形， AG AE ∴=，
CF AG =， AE CF ∴=，
四边形ABCD 是菱形， 120BCD BAD ∴∠=∠=︒，1
602
CAD BAD ∠=∠=︒， 60FCD CAD ∴∠=︒=∠，
在AED ∆和CFD ∆中，AD CD EAD FCD AE CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AED CFD SAS ∴∆≅∆， DE DF ∴=，ADE CDF ∠=∠，
60ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒， 60CDF CDE ∴∠-∠=︒，
即60EDF ∠=︒， DEF ∴∆是等边三角形．
2、【解答】解：（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，如图1所示： 在ABE ∆和ADG ∆中，90BE DG B ADG AB AD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ABE ADG SAS ∴∆≅∆， AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，
1
2
EAF BAD ∠=
∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，
在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AEF AGF SAS ∴∆≅∆， EF FG ∴=，
FG DG DF BE DF =+=+， EF BE DF ∴=+，
故答案为：EF BE DF =+；
（2）BE ，EF ，DF 之间的数量关系是：EF BE DF =-；理由如下： 在CB 上截取BM DF =，连接AM ，如图2所示：
180B D ∠+∠=︒，180ADC ADF ∠+∠=︒，
B ADF ∴∠=∠，
在ABM ∆和ADF ∆中，AB AD
B ADF BM DF
=
⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ABM ADF SAS ∴∆≅∆，
AF AM ∴=，DAF BAM ∠=∠，
BAD MAF ∴∠=∠，
2BAD EAF ∠=∠，
2MAF EAF ∴∠=∠，
MAE EAF ∴∠=∠，
在FAE ∆和MAE ∆中，AE AE
FAE MAE AF AM
=⎧
⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()FAE MAE SAS ∴∆≅∆，
EF EM BE BM BE DF ∴==-=-，
即EF BE DF =-；
（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，如图3所示：
3090(9070)140AOB ∠=︒+︒+︒-︒=︒，70EOF ∠=︒，
1
2EOF AOB ∴∠=∠，
OA OB =，(9030)(7050)180OAC OBC ∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒，
∴符合（1）中的条件，即结论EF AE BF =+成立，
1.5(6080)210EF ∴=⨯+=（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
3、【解答】解：（Ⅰ）如图①中，作DH BC ⊥于H ．
AOB ∆是等边三角形，//DC OA ，
60DCB AOB ∴∠=∠=︒，60CDB A ∠=∠=︒，
CDB ∴∆是等边三角形， 23CB =DH CB ⊥，
3CH HB ∴==3DH =，
(63D ∴，3)，
3C B '=，
233CC ∴'=-，
233DD CC ∴'='=-，
(33D ∴'+3)．
（Ⅱ）当3BB '=时，四边形MBND '是菱形．
理由：如图②中，
ABC ∆是等边三角形，
60ABO ∴∠=︒，
180120ABB ABO '∴∠=︒-∠=︒， BN 是ACC '∠的角平分线， 1602NBB ABB D C B ''∴∠'=∠=︒=∠''，
//D C BN ''∴，//AB B D ''
∴四边形MBND '是平行四边形，
60ME C MCE '''∠=∠=︒，60NCC NC C ''∠=∠=︒，
∴△MC B ''和NBB '∆是等边三角形，
MC CE '∴=，NC CC '=，
23B C ''=，
四边形MBND '是菱形，
BN BM ∴=，
1
32BB B C '''∴==；
（Ⅲ）如图连接BP ，
在ABP ∆中，由三角形三边关系得，AP AB BP <+，
∴当点A ，B ，P 三点共线时，AP 最大，
如图③中，在△D BC ''中，由P 为D C ''的中点，得AP D C ''⊥，3PD '=，
3CP ∴=，
639AP ∴=+=，
在Rt APD '∆中，由勾股定理得，AD '==
此时15
(2P ，．
4、【解答】（1）证明：l AD ⊥，BC AD ⊥，
//l BC ∴， ∴AM AN
AB AC =，
AB AC =，
AM AN ∴=，90BAC ∠=︒，
ME NE ∴=，
22MN AE t ∴==，
2BP t =，
MN BP ∴=，
∴四边形MBPN 为平行四边形；
（2）解：四边形MFGN 是正方形，
22FG MN MF AE t ∴====，
2EH MF t ==，
103DH AD AH t ∴=-=-，
2
115252(103)3()2233PFG S FG DH t t t ∆∴==⨯⨯-=--+，
30a =-<，10
03t <<，
∴当5
3t =时，PFG S ∆最大25
3=；
（3）解：存在，当t =5t =或10t =时，PFG ∆为等腰三角形；理由如下：
利用勾股定理得：222(103)PF t =-，222(103)(10)PG t t =-+-，又22(2)FG t =， 当PF FG =时，则222(103)(2)t t -=，
解得：t =，
当PF PG =时，2222(103)(103)(10)t t t -=-+-，
解得：5t =，或0t =（舍去）；
当FG PG =时，222(2)(103)(10)t t t =-+-，
解得：10t =，或10
3t =（舍去）；
综上所述，t =5t =或10t =时，PFG ∆为等腰三角形．
5、【解答】解：（1）由图②知：5AD =，
当0t =时，P 与A 重合，1
52y AD CD =⨯⨯=，
1
552CD ⨯⨯=，
2CD cm =，
四边形ABCD 是矩形，
2AB CD cm ∴==，
故答案为：2，5；
（2）由题意得：AP t =，5PD t =-，
112(5)522y CD PD t t ∴==-=-，
四边形EFPC 是正方形，
12DEF PDC EFPC S S S ∆∆∴+=正方形，
222PC PD CD =+，
22222(5)1029PC t t t ∴=+-=-+，
2221
11913
(1029)(5)4(4)22222DEF S t t t t t t ∆∴=-+--=-+=-+，
当t 为4时，DEF ∆的面积最小，且最小值为3
2；
（3）当DEF ∆为等腰三角形时，分四种情况：
①当FD FE =时，如下图所示，过F 作FG AD ⊥于G ，
四边形EFPC 是正方形，
PF EF PC ∴==，90FPC ∠=︒，
PF FD ∴=，
FG PD ⊥， 12
PG DG PD ∴==， 90FPG CPD CPD DCP ∠+∠=∠+∠=︒，
FPG DCP ∴∠=∠，
90FGP PDC ∠=∠=︒，
()FPG PDC AAS ∴∆≅∆，
2PG DC ∴==，
4PD ∴=，
541AP ∴=-=，
即1t =；
②当DE DF =时，如下图所示，E 在AD 的延长线上，此时正方形EFPC 是正方形，2PD CD ==，
523AP t ∴==-=；
③当DE EF =时，如下图所示，过E 作EG CD ⊥于G ，
FE DE EC ==，
112
CG DG CD ∴===， 同理得：()PDC CGE AAS ∆≅∆，
1PD CG ∴==，
514AP t ∴==-=，
④当DF EF =时，如下所示，2PC EF PF ===，且PC BC ⊥，此时P 与D 重合，5t =， 综上，当1t s =或3s 或4s 或5s 时，DEF ∆为等腰三角形．
6、【解答】解：（1）如图1，记EQ 与AC 的交点为G ，
AC BC ⊥，
90ACB ∴∠=︒，
在Rt ABC ∆中，10AB =，6AC =，
根据勾股定理得，8BC =，
3tan 4
AC B BC ==， 四边形ABCD 是平行四边形，
10CD AB ∴==，8AD BC ==，
由运动知，BP t =，DQ t =，
8PC t ∴=-，10CQ t =-，
PE BC ⊥，
90BPE ∴∠=︒，
在Rt BPE ∆中，3sin 5B =，4cos 5B =，3tan 4
PE PE B BP t ===， 34PE t ∴=， //EQ BC ，
90PEQ BPE ∴∠=∠=︒，
∴四边形CPEG 是矩形，
34
CG PE t ∴==， //EQ BC ，
CGQ CAD ∴∆∆∽， ∴CG CQ AC CD
=， ∴3104610
t t -=． 409
t ∴=；
（2）如图2，
过点Q 作QH BC ⊥交BC 的延长线于H ，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，
DCH B ∴∠=∠，
在Rt CHQ ∆中，3sin 105
QH QH QCH CQ t ∠===-， 3(10)5
QH t ∴=-，4cos 105CH CH HCQ CQ t ∠===-， 4(10)5
CH t ∴=-， 498(10)1655
PH PC CH t t t ∴=+=-+-=-， ()()2133919327404010161610()25452554093QPH QHPE S S S t t t t t t ∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-=-+⨯--⨯-⨯-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭梯形，
点E 在线段AB 上，
∴点P 在线段BC 上，
08t ∴<，
点Q 在CD 上，
010t ∴<<，
08t ∴<， 即：2274040()(08)4093
S t t =-
-+<；
（3）由（2）知，2274040()(08)4093S t t =--+<；
409t ∴=时，40
3S =最大；
（4）如图3，
过点Q 作QM PE ⊥于M ，交AC 于N ， 点Q 在线段EP 的垂直平分线上，
13
28PM PE t ∴==，
同（2）的方法得，3
(10)5CN t =-，
易知，四边形PCNM 是矩形，
PM CN ∴=，
∴3
3
(10)85t t =-，
80
13t ∴=．
7、【解答】解：（1）如图一（1）中，
四边形ABCD 是矩形，
90ADC ∴∠=︒，
53tan 353DC DAC AD ∠===，
30DAC ∴∠=︒．
（2）①如图一（1）中，当AN NM =时，
90BAN BMN ∠=∠=︒，BN BN =，AN NM =， Rt BNA Rt BNM(HL)∴∆≅∆，
BA BM ∴=，
在Rt ABC ∆中，30ACB DAC ∠=∠=︒，5AB CD ==， 210AC AB ∴==，
60BAM ∠=︒，BA BM =，
ABM ∴∆是等边三角形，
5AM AB ∴==，
5CM AC AM ∴=-=．
如图一（2）中，当AN AM =时，易证15AMN ANM ∠=∠=︒，
90BMN ∠=︒，
75CMB ∴∠=︒，30MCB ∠=︒，
180753075CBM ∴∠=︒-︒-︒=︒，
CMB CBM ∴∠=∠，
3CM CB ∴==，
综上所述，满足条件的CM 的值为5或53
②结论：30MBN ∠=︒大小不变．
理由：如图一（1）中，180BAN BMN ∠+∠=︒，
A ∴，
B ，M ，N 四点共圆，
30MBN MAN ∴∠=∠=︒．
如图一（2）中，90BMN BAN ∠=∠=︒，
A ∴，N ，
B ，M 四点共圆，
180MBN MAN ∴∠+∠=︒，
180DAC MAN ∠+∠=︒，
30MBN DAC ∴∠=∠=︒，
综上所述，30MBN ∠=︒．
（3）如图二中，
AM MC =，
BM AM CM ∴==，
2AC AB ∴=，
AB BM AM ∴==，
ABM ∴∆是等边三角形，
60BAM BMA ∴∠=∠=︒，
90BAN BMN ∠=∠=︒，
30NAM NMA ∴∠=∠=︒，
NA NM ∴=，
BA BM =，
BN ∴垂直平分线段AM ，
5
2FM ∴=，
5
3
cos303FM NM ∴==︒，
90NFM ∠=︒，NH HM =，
12FH MN ∴==
8、【解答】解：（1）BP QC EC +=；理由如下： 四边形ABCD 是正方形，
BC CD ∴=，90BCD ∠=︒，
由旋转的性质得：90PEG ∠=︒，EG EP =，
90PEQ GEH ∴∠+∠=︒，
QH GD ⊥，
90H ∴∠=︒，90G GEH ∠+∠=︒，
PEQ G ∴∠=∠，
又90EPQ PEC ∠+∠=︒，90PEC GED ∠+∠=︒， EPQ GED ∴∠=∠，
在PEQ ∆和EGD ∆中，EPQ GED
EP EG PEQ G
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
()PEQ EGD ASA ∴∆≅∆，
PQ ED ∴=，
BP QC BC PQ CD ED EC ∴+=-=-=，
即BP QC EC +=；
故答案为：BP QC EC +=；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：90PEG ∠=︒，EG EP =，
90PEQ GEH ∴∠+∠=︒，
QH GD ⊥，
90H ∴∠=︒，90G GEH ∠+∠=︒，
PEQ G ∴∠=∠，
四边形ABCD 是正方形，
90DCB ∴∠=︒，BC DC =，
90EPQ PEC ∴∠+∠=︒，
90PEC GED ∠+∠=︒，
GED EPQ ∴∠=∠，
在PEQ ∆和EGD ∆中，EPQ GED
EP EG PEQ G
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
()PEQ EGD ASA ∴∆≅∆，
PQ ED ∴=，
BP QC BC PQ CD ED EC ∴+=-=-=，
即BP QC EC +=；
（3）分两种情况：
①当点P 在线段BC 上时，点Q 在线段BC 上，
由（2）可知：BP EC QC =-，
36AB DE ==，
2DE ∴=，4EC =，
413BP ∴=-=；
②当点P 在线段BC 上时，点Q 在线段BC 的延长线上，如图3所示：
同（2）可得：()PEQ EGD AAS ∆≅∆，
2PQ DE ∴==，
1QC =，
1PC PQ QC ∴=-=，
615BP BC PC ∴=-=-=；
综上所述，线段BP 的长为3或5．
9、【解答】（1）解：如图1中，
//
PN BC，
APN ABC
∴∆∆
∽，
∴PN AE
BC AD
=，即
PN h PN
a h
-
=，
解得
ah PN
a h
=
+
（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．（3）证明：如图2中，
由画图可知：90
QMN PQM NPQ BM N
∠=∠=∠=∠''=︒，
∴四边形PNMQ是矩形，//
MN M N''，
∴△BN M BNM
''∆
∽，
∴M N BN MN BN
'''
=，
同理可得：P N BN PN BN '''
=
∴M N P N MN PN
''''
=，M N P N
''=''，MN PN
∴=，
∴四边形PQMN是正方形
（4）如图，过点N作ND ME
⊥于点D
图3
MN EN =，ND ME ⊥，
NEM MNE ∴∠=∠，ED DM =
90BMN QEM ∠=∠=︒
90EQM EMQ ∴∠+∠=︒，90EMQ EMN ∠+∠=︒
EMN EQM ∴∠=∠，且MN QN =，90QEM NDM ∠=∠=︒
()QEM MDN AAS ∴∆≅∆
1
2EQ DM EM ∴==，
90BMN QEM ∠=∠=︒
90BEQ NEM ∴∠+∠=︒，90BME NME ∠+∠=︒
BEQ BME ∴∠=∠，且MBE MBE ∠=∠
BEQ BME ∴∆∆∽ ∴1
2BQ BE EQ BE BM EM ===，
2BM BE ∴=，2BE BQ =
4BM BQ ∴=
3QM BQ MN ∴==，5BN BQ = ∴33
55MN BQ BN BQ ==
55()33ah
BN MN a h ∴==+
10、【解答】性质探究
解：作CD AB ⊥于D ，如图①所示：
则90ADC BDC ∠=∠=︒，
AC BC =，120ACB ∠=︒，
AD BD ∴=，30A B ∠=∠=︒，
2AC CD ∴=，AD =，
2AB AD ∴==，
∴AB AC =；
理解运用
（1）解：如图①所示：
同上得：2AC CD =，AD =，
8AC BC AB ++=+，
48CD ∴+=+
解得：2CD =，
AB ∴=，
ABC ∴∆的面积1
1
222AB CD =⨯=⨯=
故答案为：
（2）①证明：EF EG EH ==，
EFG EGF ∴∠=∠，EGH EHG ∠=∠，
EFG EHG EGF EGH FGH ∴∠+∠=∠+∠=∠； ②解：连接FH ，作EP FH ⊥于P ，如图②所示： 则PF PH =，由①得：120EFG EHG FGH ∠+∠=∠=︒，
360120120120FEH ∴∠=︒-︒-︒=︒，
EF EH =，
30EFH ∴∠=︒，
1
52PE EF ∴==，
PF ∴==，
2FH PF ∴==，
点M 、N 分别是FG 、GH 的中点，
MN ∴是FGH ∆的中位线， 1532MN FH ∴==；
类比拓展
解：如图③所示：作AD BC ⊥于D ，
AB AC =，
BD CD ∴=，1
2BAD BAC α∠=∠=，
sin BD
AB α=，
sin BD AB α∴=⨯，
22sin BC BD AB α∴==⨯，
∴2sin 2sin BC AB AB AB α
α==；
故答案为：2sin α．
11、【解答】解：（1）①如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
90ABC ∴∠=︒，
2221AC AB BC ∴=+=
PCB ACB ∠'=∠，90PB C ABC ∠'=∠=︒， PCB ACB ∴∆'∆∽，
∴CB PB CB AB ''
=，
∴2123323PB -'
=，
274PB ∴'=-．
274t PB ∴==-． ②如图21-中，当PCB ∠’ 90=︒时，
四边形ABCD 是矩形，
90D ∴∠=︒，23AB CD ==，3AD BC ==，
22(23)33DB ∴'=-=，
3CB CD DB ∴'=-'=，
在Rt PCB ∆'中，222B P PC B C '=+'，
222(3)(3)t t ∴=+-，
2t ∴=．
如图22-中，当PCB ∠’ 90=︒时，
在Rt ADB ∆'中，223DB AB AD '='-=， 33CB ∴'=
在Rt PCB ∆’中则有：222(33)(3)t t +-=，解得6t =． 如图23-中，当CPB ∠’ 90=︒时，易证四边形ABP ’为正方形，易知23t =．
综上所述，满足条件的t 的值为2s 或6s 或23s ．
（2）如图31-中，
45PAM ∠=︒
2345∴∠+∠=︒，1445∠+∠=︒
又翻折，
12∴∠=∠，34∠=∠，
又ADM AB ∠=∠’ M ，AM AM =， ()AMD AMB AAS ∴∆≅∆'，
AD AB ∴=’ AB =，
即四边形ABCD 是正方形，
如图，设APB x ∠=．
90PAB x ∴∠=︒-，
DAP x ∴∠=，
易证MDA ∆≅△B ’ ()AM HL ， BAM DAM ∴∠=∠，
翻折，
PAB PAB ∴∠=∠’ 90x =︒-， DAB ∴∠’ PAB =∠’ 902DAP x -∠=︒-， 12DAM DAB ∴∠=∠’ 45x =︒-，
45MAP DAM PAD ∴∠=∠+∠=︒．
12、【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形， 45DAC CAB ∴∠=∠=︒，
FDE CAB ∴∠=∠，DFE DAC ∠=∠， 45FDE DFE ∴∠=∠=︒， 90DEF ∴∠=︒，
DEF ∴∆是等腰直角三角形；
（2）设OE t =，连接OD ， 90DOE DAF ∴∠=∠=︒， OED DFA ∠=∠，
DOE DAF ∴∆∆∽，
∴2
2OE
OD
AF AD ==，
∴2AF t =，
又AEF ADG ∠=∠，EAF DAG ∠=∠，
AEF ADG ∴∆∆∽， ∴AE AF
AD AG =， ∴42AG AE AD AF t ==，
又AE OA OE t =+=+，
∴AG =，
EG AE AG ∴=-=
当点H 恰好落在线段BC 上454590DFH DFE HFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ADF BFH ∴∆∆∽，
∴FH FB FD AD ==， //AF CD ，
∴FG AF DG CD ==
∴FG DF =
∴=，
解得：1t =-，2t =（舍去），
EG EH ∴====-；
（3）过点F 作FK AC ⊥于点K ，
由（2）得EG =，
DE EF =，90DEF ∠=︒，
DEO EFK ∴∠=∠，
()DOE EKF AAS ∴∆≅∆，
FK OE t ∴==， 31242EFG t S EG FK ∆+∴==
13、【解答】（1）证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，
DEF EFB ∴∠=∠，
由翻折可知：DEF BEF ∠=∠，
BEF EFB ∴∠=∠，
BE BF ∴=．
（2）解：如图2中，连接BP ，作EH BC ⊥于H ，则四边形ABHE 是矩形，EH AB =．
5DE EB BF ===，2CF =，
7AD BC ∴==，2AE =，
在Rt ABE ∆中，90A ∠=︒，5BE =，2AE =，
225221AB ∴=-=，
BEF PBE PBF S S S ∆∆∆=+，PM BE ⊥，PN BF ⊥， ∴111222
BF EH BE PM BF PN =+， BE BF =，
21PM PN EH ∴+==，
四边形PMQN 是平行四边形，
∴四边形PMQN 的周长2()221PM PN =+=
（3）①证明：如图3中，连接BP ，作EH BC ⊥于H ．
ED EB BF a ===，CF b =，
AD BC a b ∴==+，
AE AD DE b ∴=-=， 22EH AB a b ∴==-，
EBP BFP EBF S S S ∆∆∆-=，
∴111222
BE PM BF PN BF EH -=， BE BF =，
22PM PN EH a b ∴-==-，
四边形PMQN 是平行四边形，
22()QN QM PM PN a b ∴-=-=-．
②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，同法可证：22QM QN PN PM a b -=-=-．
14、【解答】解：（1）①如图1中，
四边形EFGH 是正方形，AB BC =，
BE BG ∴=，AE CG =，90BEH BGH ∠=∠=︒，
90AEH CGH ∴∠=∠=︒，
EH HG =，
()AEH CGH SAS ∴∆≅∆，
AH CH ∴=．
②如图1中，当04t <时，重叠部分是正方形EFGH ，2S t =．
如图2中，当48t <时，重叠部分是五边形EFGMN ，2211882(8)163222
ABC AEN CGM S S S S t t t ∆∆∆=--=⨯⨯-⨯-=-+-．
综上所述，22(04)1632(48)t t S t t t ⎧<=⎨-+-<⎩
． （2）如图31-中，设直线AH 交BC 于M ，当4BM CM ==时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分．
//EH BM ，
∴
AE EH AB BM =， ∴664
t t -=， 125t ∴=
． 如图32-中，设直线长AH 交CD 于M 交BC 的延长线于K ，当3CM DM ==时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分，易证8AD CK ==，
//EH BK ，
∴AE EH AB BK
=，
∴6616t t -=， 4811t ∴=． 如图33-中，当点E 在线段AC 上时，设直线AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于N ．当CM DM =时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分，易证8AD CN ==．
在Rt ABC ∆中，226810AC =+=，
//EF AB ，
∴CE EF
CA AB =，
∴16106t
EF
-=，
3
(16)5EF t ∴=-，
//EH CN ，
∴EH AE
CN AC =，
∴3
(16)6
5810t t --=，
解得72
7t =．
当正方形EFGH 在AC 的左边时，由EH AE CN AC =，可得3
(16)
6
5410t t --=，解得12t =．
综上所述，满足条件的t 的值为12
5或48
11或72
7或12．
15、【解答】解：（1）如图1，过点C 作CE y ⊥轴于点E ，
矩形ABCD 中，CD AD ⊥，
90CDE ADO ∴∠+∠=︒，
又90OAD ADO ∠+∠=︒，
30CDE OAD ∴∠=∠=︒，
∴在Rt CED ∆中，1
22CE CD ==，2223DE CD CE =-=
在Rt OAD ∆中，30OAD ∠=︒，
1
32OD AD ∴==，
∴点C 的坐标为(2,33)+
（2）M 为AD 的中点，
3DM ∴=，6DCM S ∆=， 又21
2OMCD S =四边形，
92ODM S ∆∴=，
9OAD S ∆∴=，
设OA x =、OD y =，则2236x y +=，1
92xy =，
222x y xy ∴+=，即x y =，
将x y =代入2236x y +=得218x =， 解得32x =（负值舍去），
32OA ∴=
（3）OC 的最大值为8，
如图2，M 为AD 的中点，
3OM ∴=，225CM CD DM =+=，
8OC OM CM ∴+=，
当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8，
连接OC ，则此时OC 与AD 的交点为M ，过点O 作ON AD ⊥，垂足为N ， 90CDM ONM ∠=∠=︒，CMD OMN ∠=∠，
CMD OMN ∴∆∆∽， ∴CD
DM
CM
ON MN OM ==，即4
3
5
3ON MN ==， 解得9
5MN =，12
5ON =，
6
5AN AM MN ∴=-=，
在Rt OAN ∆中，2265
5OA ON AN =+=，
5
cos 5AN
OAD OA ∴∠==．。