平面简谐波

12.2 平面简谐波
简谐波 谐振动在介质中的传播 (介质中各质点作同 频率、同振幅的谐振动)。 平面简谐波 说明 (1) 复杂的波可分解为一系列简谐波； (2) 平面简谐波各处振幅相同。
平面简谐波
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波面为平面的简谐波 。

一、平面简谐波的波函数
设 O 点振动方程为 y0 = A cos(ωt + ϕ0 ) y
G u
P
x 经过 Δ t = x / u 时间,O 点振动相位传播到任一点P，所以 P 点振动的相位比 O 点落后
Δϕ = ω ⋅ Δt = ωx / u
O
.
x
P 点 t 时刻的相位为
ωt + ϕ0 − Δϕ = ωt + ϕ0 − ω
x u
所以 P 点振动方程，亦即波函数为 x y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
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x y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] u x y ( x, t ) = A cos[2 π(νt − ) + ϕ 0 ]
波 函 数 其它形式
讨论
t x y ( x, t ) = A cos[2 π( − ) + ϕ 0 ] T λ 2π y ( x, t ) = A cos[ (ut − x) + ϕ 0 ]
λ
λ
(1) 当x=x0时，y = y (t) 是 x0 处振动方程; (2) 当 t=t0 时，y = y (x) 表示 t0 时刻各个质点的位移。 y t x0 处质点的振动方程
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y x t0 时刻的波形曲线
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x (3) 波函数 y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] y u
t1时刻 波形
t1+Δt时刻
波形
t1 时刻，x1 处质点的位移为 x1 y ( x1 , t1 ) = A cos[ω (t1 − ) + ϕ 0 ] u
uΔt
x1 x2
x u
t2 (= t1+Δt) 时刻，x2 (= x1+Δx) 处质点的位移为
x2 y ( x2 , t 2 ) = A cos[ω (t 2 − ) + ϕ 0 ] u Δx x1 = A cos{ ω [( t1 − ) + ( Δ t − )] + ϕ 0 } u u 若 Δx = uΔt ，则有 y ( x1 , t1 ) = y ( x2 , t 2 ) 。
x1 处质点的位移在Δt 时间后出现在 x2 (= x1 + uΔt) 处，即x1 处点的位移经Δt 时间传播了Δx= uΔt的距离，传播速度为u。
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例 如图， 已知A 点的振动方程为： y A = A cos[4π(t − 1/ 8)] 以 B 为原点。 求 (1) 波函数; (2) 若 u 沿 x 轴负向，情况又如何？
.
x1
B
.
K u
A
P
.
x
x
解 (1)在 x 轴上任取一点P ，该点比 A 点的相位落后 x − x1 Δϕ = ω ⋅ Δt = ω u P 点 t 时刻的相位为 1 1 x − x1 4 π(t − ) − Δϕ = 4 π(t − − ) u 8 8 P 点振动方程亦即波函数为
x x1 1 y ( x, t ) = A cos 4 π[t − + ( − )] u u 8
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y A = A cos[4 π(t − 1 / 8)] 例 如图， 已知A 点的振动方程为：
以 B 为原点。 求 (1) 波函数; (2) 若 u 沿 x 轴负向，情况又如何？
.
x1
B
.
K u
A
P
.
x
x
解 (2) P 点比 A 点的相位超前 x − x1 Δϕ = u ⋅ Δt = ω u P 点 t 时刻的相位为 1 1 x − x1 4 π(t − ) + Δϕ = 4 π(t − + ) u 8 8 P 点振动方程亦即波函数为 x x1 1 y ( x, t ) = A cos 4 π[t + − ( + )] u u 8 说明 求解平面简谐波的波函数，其实是确定振动方程已知的一点 与任一点 P 的相位关系。
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例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为 y = 0.04 cos π(50t − 0.10 x) m 求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。 解 (1)标准形式
t x y ( x, t ) = A cos[2 π( − ) + ϕ 0 ] T λ y = 0.04 cos 2 π(
50 0.10 t− x) 波函数为 2 2 2 T= = 0.04 s A = 0.04 m 比较可得 50 2 λ λ= = 20 m u = = 500 m/s 0.10 T ∂y (2) v = = −0.04 × 50π sin π(50t − 0.10 x) ∂t v max = 0.04 × 50π = 6.28 m/s ≠ u
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二、平面波的波动微分方程
x y ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u 2 ∂ y x 2 = − Aω cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] 2 ∂t u ∂2 y 1 ∂2 y = 2 2 2 2 2 ∂ y x ω ∂x u ∂t A t = − cos[ ω ( − ) + ϕ ] 0 u2 ∂ x2 u 说明 ∂2 y (1)上式适用于一切沿x方向传播平面波， 2 系数倒数的平 ∂t 方根是传播速度；
平面简谐波的波函数
(2) 它广泛适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程； (3) 若物理量是在三维空间中以波 的形式传播，波动方程为
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∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ + + 2 = 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z u ∂t
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