人教版高中数学,等比数列的前n项和(一)
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人教版高中数学同步练习
§2.5 等比数列的前n 项和(一)
课时目标
1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.
2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题.
1.等比数列前n 项和公式:
(1)公式:S n =⎩⎨
⎪⎧
a 1(1-q n
)1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1)
na 1 (q =1)
.
(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q =1的情况.
2.若{a n }是等比数列,且公比q ≠1,则前n 项和S n =a 1
1-q
(1-q n )=A (q n -1).其中
A =a 1
q -1
.
3.推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和.
一、选择题
1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5
S 2
等于( )
A .11
B .5
C .-8
D .-11 答案 D
解析 由8a 2+a 5=0得8a 1q +a 1q 4=0,
∴q =-2,则S 5S 2=a 1(1+25
)
a 1(1-22)
=-11.
2.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2,S 6=18,则S 10
S 5
等于( )
A .-3
B .5
C .-31
D .33 答案 D
解析 由题意知公比q ≠1,S 6
S 3=a 1(1-q 6)1-q a 1(1-q 3)
1-q
=1+q 3=9,
∴q =2,S 10S 5=a 1(1-q 10)1-q a 1(1-q 5)
1-q
=1+q 5
=1+25
=33.
3.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4
a 2
等于( )
A .2
B .4
C.152
D.172 答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 2
q
+a 2+a 2q +a 2q 2,
得S 4a 2=1q +1+q +q 2=152
. 方法二 S 4=a 1(1-q 4
)
1-q ,a 2=a 1q ,
∴S 4a 2=1-q 4
(1-q )q =152
. 4.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )
A.152
B.314
C.334
D.172 答案 B
解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列,且a 2a 4=1, ∴设{a n }的公比为q ,则q >0,且a 23=1,即a 3=1.
∵S 3=7,∴a 1+a 2+a 3=1q 2+1
q
+1=7,
即6q 2
-q -1=0.
故q =12或q =-1
3(舍去),
∴a 1=1
q
2=4.
∴S 5=4(1-125)
1-12
=8(1-125)=31
4.
5.在数列{a n }中,a n +1=ca n (c 为非零常数),且前n 项和为S n =3n +k ,则实数k 的值为( )
A .0
B .1
C .-1
D .2 答案 C
解析 当n =1时,a 1=S 1=3+k ,
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n +k )-(3n -
1+k )
=3n -3n -1=2·3n -
1.
由题意知{a n }为等比数列,所以a 1=3+k =2, ∴k =-1.
6.在等比数列{a n }中,公比q 是整数,a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则此数列的前8项和为( )
A .514
B .513
C .512
D .510 答案 D
解析 由a 1+a 4=18和a 2+a 3=12,
得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2
=12,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=2
q =2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=16q =12
. ∵q 为整数,∴q =2,a 1=2,S 8=2(28-1)2-1
=29
-2=510.
二、填空题
7.若{a n }是等比数列,且前n 项和为S n =3n -
1+t ,则t =________.
答案 -1
3
解析 显然q ≠1,此时应有S n =A (q n -1),
又S n =13·3n +t ,∴t =-1
3
.
8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=________. 答案 3
解析 S 6=4S 3⇒a 1(1-q 6)1-q =4·a 1(1-q 3)1-q
⇒q 3
=3(q 3=1不合题意,舍去).
∴a 4=a 1·q 3
=1×3=3. 9.若等比数列{a n }中,a 1=1,a n =-512,前n 项和为S n =-341,则n 的值是________. 答案 10
解析 S n =a 1-a n q 1-q ,∴-341=1+512q
1-q
,
∴q =-2,又∵a n =a 1q n -1,∴-512=(-2)n -
1, ∴n =10.
10.如果数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则此数列的通项公式a n =________.
答案 2n -
1
解析 当n =1时,S 1=2a 1-1,∴a 1=2a 1-1,∴a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2a n -1)-(2a n -1-1) ∴a n =2a n -1,∴{a n }是等比数列,
∴a n =2n -
1,n ∈N *. 三、解答题
11.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 3a n -2=128,S n =126,求n 和q .
解 ∵a 3a n -2=a 1a n ,∴a 1a n =128,解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1a n =128,a 1+a n
=66,
得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=64,
a n =2,① 或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1=2,a n =64.② 将①代入S n =a 1-a n q 1-q
,可得q =1
2,
由a n =a 1q n -
1可解得n =6.
将②代入S n =a 1-a n q
1-q
,可得q =2,
由a n =a 1q n
-1
可解得n =6.故n =6,q =1
2
或2.
12.求和:S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n (x ≠0). 解 分x =1和x ≠1两种情况.
(1)当x =1时,S n =1+2+3+…+n =n (n +1)
2
.
(2)当x ≠1时,S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n ,
xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n -1)x n +nx n +
1,
∴(1-x )S n =x +x 2+x 3+…+x n -nx n +1=x (1-x n
)1-x
-nx n +1.
∴S n =x (1-x n )(1-x )2-nx n +
1
1-x
.
综上可得S n =