速率方程组

第四节 典型激光器速率方程 一、速率方程组：腔内光子数和工作物质各有 关能级上的原子数随时间变化的微分方程组 二、爱因斯坦唯象公式的回顾
dn21 dn21 n2W21 W21 B21 n2 A21 dt st dt sp
3 A 8 h dn 12 W B 21 12 12 n h n W 1 12 3 B21 c dt st B12 f1 B21 f 2
注意：在光子数方程中忽略了少量自发辐射非 相干光子的贡献！ 典型的三能级系统：红宝石、惨铒光纤。 4、四能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
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S32(热驰豫)
E3 泵浦上能级
E2
w03 A30
S3
0
A21
S21
w21
w12
激光上能 级能级 E0(基态)
形 式 二
dn2 f2 n2 n1 21 ,0 v Nl n2 S 21 A21 n3 S32 dt f1
n1 n2 n3 n
dNl Nl f2 n2 n1 21 ,0 v N l dt f1 Rl
说明：上述关系建立在能级无限窄，因而自发辐 射是单色的假设基础上。实际上，自发辐射并非 是单色，因此需做必要的修正。
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三、考虑谱线加宽后对唯象公式的修正 1、系数的修正
1
~ A21 A21 g , 0
c3
3
2
3
8 3 v ~ , 或 B21 B21 g A21 介质 0 3 8 f2 ~ a、B12 B 12 g , 0 B21 f1
n0 n1 n2 n3 n
dn3 dn0 n0W03 n3 A30 S 32 n1S10 n0 W03 n3 A30 dt dt
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特点：非常复杂。在处理一些不涉及各模差别 的问题时，为了使问题简化，可作简化假设。 2、简化假设 (1) 前提: 研究的问题无需考虑模式差别,模式间衍射 损耗(选择性损耗)差别可忽略。 ~' ~ g g (2)简化情况：各个模式 ~ , g 0 0 损耗, 光子寿命相同；线 型函数简化为矩形 。 ~ ' , ~ , g g 0 0 矩形面积＝原谱线 下曲线所围面积
S32 1 A30 S32
A21 2 发荧光的光子数 A21 S 21 从 光 泵 吸 收 的 光 子 数
F 12
E3向E2的无辐射 E2向E1的跃迁的 总量子效率 跃迁量子效率 荧光量子效率
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形 式 一
ni : 第 i 能级上 dn dn3 3 n A 31 S32 nn n A SS 1W 13 13 3 31 31 1W 3 32 的粒子数密度 dt dt dn2 n3 S32 n1W12 n2 S 21 A21 n2W21 dt n1 n2 n3 n n : 工作物质的总粒子数密度
E1 E0 KT
热平衡状态下E1上几乎无粒子！ 抽空几率S10要大！
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S30 , A30 S32 ; S21 A21
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E2 和 E1 之间更易实现粒子数反转！
5、四能级系统的单模振荡速率方程组
dn3 n0W03 n3 A30 S 32 dt
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A21v 2 ~ g ,0 其中： 21 ,0 2 —发射截面 80 f 2 A12 v 2 ~ 12 ,0 g ,0 —吸收截面 2 f1 8 0
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
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dn12 ~ ~ n B g ' , d ' n B g ,0 1 12 0 ' 1 12 dt st
~ W B g ,0 21 21 ~ W12 B12 g ,0
dNl Nl n2W21 n1W12 dt Rl
又因为： W21 21 ,0 v Nl
f2 W12 12 ,0 v Nl 21 ,0 v Nl f1
代入方程组的第2、4方程中得：
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dn3 n1W13 n3 A31 S32 dt
~ ~ , d g 0 ,0 g 0
1
~ , 1 g 0 0

F


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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简 化线型函数对应的等效谱宽 。
3、简化后的四能级多模速率方程组 (1) 发光量子效率的定义 N: 各模光子数密度的和 : 中心频率处的发射截面
典型的四能级系统： He -Ne,
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Nd: YAG 。
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七、多模振荡速率方程组(只考虑四能级系统 ) 1、多模振荡速率方程组
设共有m个模振荡，其中第 l 个模的频率、光子数 密度、光子寿命分别为 、N l 、 R l ，对每个光 模都应建立各自的光子数速率方程，则有：

~ ' , d ' g 0 '
0
中的被积函数
只在辐射场中心频率
附近很窄范围内才不为零。 ~ ' , g ~ , 因 ' 很小,则有 g 0 0
' ' 且:
:



' d ' 1
' ' 0
dn21 ~ , d n B n2 B21 g 0 2 21 0 dt st dn12 ~ , d n B n1 B12 g 0 1 12 0 dt st
与原来唯象公式一样！ 推论： W21
－ 准单色光辐射场总能量密度
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物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 n 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 n0 才能产生 受激跃迁,而是主要在n=n0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当偏离中心频率时，跃迁几率 急剧下降。 五、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
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六、单模振荡速率方程组(三能级, 四能级系统 ) 1、单模：具有一定谐振频率和一定腔内损耗的 准单色光(具有极窄的模式频带宽度) 2、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
S32(热驰豫) w13 A31 S3
1
E3 泵浦上能级 E2 激光上能 级(亚稳态)
A21
S21
w21
w12
激光下能级(或 泵浦下能级) E1(基态)
谱线加宽对自发辐射表达式无影响！
dn21 ~ , d n2W21 d n2 B21 g 0 dt st
积分与辐射场的带宽有关！
dn12 ~ n W d n B g ,0 d 1 12 1 12 dt st
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~ ' , d ' g 0 '

~ ~ , g ,0 ' d ' g 0
dn21 ~ ' , d ' n B g ~ , n2 B21 g 0 ' 2 21 0 dt st
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积分与辐射场的带宽有关！
四、两种实际情况的讨论 目标：找积分



~ , d g 0
dn12 dt st dn21 dt st
1、原子与连续谱光辐射 场的相互作用
~ , g 0
n
辐射场的带宽： '
(黑体辐射场)
n
n
原子谱线的宽度：
此时有： '
~n ,n g g(n',n ) 0
0

n


~ , d 中的被积函数 g 0
原子
n0
只在 0 附近很小范围内才 不为零。
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0



~ , d g 0 0
A21 ~ ~ g ,0 Nl 21 ,0 v Nl W21 B21 g ,0 n
f 2 A12 ~ ~n ,n W12 B12 g g ,0 Nl 12 ,0 v Nl 0 f1 n
激光第 l 个模内的光子数密度
~ , a、B21 B21 g 0
A21 真空
~, B g ~, b、W12 W12 g 0 21 0
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3、公式的修正 dn21 ~ , d n A n2 A21 d n2 A21 g 0 2 21 dt sp
B210
W12 B12 0
典型事例：原子与黑体辐射场作用。
2、原子与准单色辐射场的相互作用
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'
~ ' , g 0
~ ' , g 0
'
'
此时有： ' 激光器中的情形即 是如此!


'

dn2 f2 n2 n1 21 l ,0 v Nl n2 A21 S 21 n3 S32 dt f1 l
dNl Nl f2 n2 n1 21 ,0 v N l dt f1 Rl
dn2 f2 n2 n1 21 ,0 v Nl n2 S 21 A21 n3 S32 dt f1 dn0 n1S10 n0 W03 n3 A30 dt
n0 n1 n2 n3 n
dNl Nl f2 n2 n1 21 ,0 v N l dt f1 Rl
S31 , A31 S32 ; S31 A31
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S 21 A21
钟先琼
①高能级E3上的粒子数n3将主要以无辐射跃迁S32(热
驰豫)的形式极为迅速地转移到激光上能级。其次也 以自发辐射A31、无辐射跃迁S31等方式返回基态。
②激光上能级E2一般是亚稳能级，在未形成集居数 反转之前，n2粒子将主要以自发跃迁A21形式返回E1， 且A21较小，即粒子在E2上寿命较长。 n2粒子也能通 过无辐射跃迁S21返回E1。如果粒子抽运到E2上的速 率足够高，就有可能形成集居数反转状态，一旦出 现这种情况，则在E2和E1间的受激辐射W21和吸收跃 迁W12将占绝对优势。 3、三能级系统的单模振荡速率方程组