离散数学课件 第五章 代数结构_2

5-7 陪集与拉格朗日定理(群的分解)
定义5-7.1 设<G,>为群,A,Bρ(G),且A≠Φ， B≠Φ，记 AB={ ab aA,bB} 和 A-1= { a-1 aA} 分别称为A，B的积和A的逆。 定义5-7.2 设<H，>为<G，>的子群，那么对任 一 aG ， 称 aH={a*h ｜ h∈H} 为 H 的 左 陪 集 (left coset), 记 为 aH; 称 Ha={h*a ｜ h∈H} 为 H 的 右 陪 集 (right coset),记为Ha。
四阶群（只有两个）
Klein四元群： 四阶循环群：
e
e
e
e
a
a
b
b
c
c
e
e
a
b
c
e
a b c
e
a b c
a
b c e
b
c e a
c
e a b
a
bBaidu Nhomakorabea
a
b
e
c
c
e
b
a
c
c
b
a
e
练习：P211-(5)
1、证A非空 设<G,*>的幺元为e，则有 e*H*e-1=H 故 e∈A . 2、证 ∀a,b∈A，a*b-1∈A
定理 5-5.3 的证明
证明思路:先证a的阶为n。 设对于某个正整数m,m<n,有am=e。
那么，由于 <G,>是一个循环群，所以对于G中任意的 元 素 都 能 写 为 ak (k I), 而 且 k=mq+r, 其 中 q 是 某 个 整 数,0≢r<m,则有 ak=amq+r =(am)qar =(e)qar =ar
拉格朗日定理练习
例2.任何一个四阶群只可能是循环群或者Klein四 元群。（P211） 证 设四阶群为<{e,a,b,c},*>。其中e是幺元。当 四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。 当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知， 除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2（幺元是唯一的 一阶元）。a*b不可能等于a,b或e，否则根据消去 律，将导致b=e,a=e或a=b的矛盾。所以a*b只能等 于c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。 因此，这个群是Klein四元群。
例 4 ： 设 G={α,β,γ,δ} ， * 的 运 算 表 如 下 ， 证 <G,*>是循环群。 * αβγδ
α αβγδ
β βαδγ γ γδβα δ δγαβ
证：从运算表可验证<G,*>是群。 从表中可看出α是幺元。 γ：γ2=β, γ3=δ, γ4=α δ：δ2=β, δ3=γ, δ4=α β：β2=α, β3=β， β4=α 故生成元为： γ ，δ 故<G,*>是循环群。
练习2
设<G,*>是一个独异点，并且对于G中的每一个元素 x都有x*x=e，其中e是幺元，证明<G,*>是一个阿贝 尔群。 证 1)证G中每个元素均有逆元。 ∵ 任意xG都有x*x=e，故x-1=x。 2)证运算满足交换律。 ∵ 任意a,bG都有(a*b)-1=a*b ∴ a*b = (a*b)-1 = b-1*a-1 = b*a ∴ 运算满足交换律。 综上所述，<G,*>是一个阿贝尔群。
6
3
2
3
6
1
循环群与生成元
定义5-5.2 设<G,>为群，如果在G中存在元素a,使 得G中的任何元素都可表示为a的幂（约定 a0=e,ak=a*a*…*a(k个)）,称<G,>为循环群，这时a 称为循环群G的生成元。 例1：整数加群<I,+>是循环群，其生成元为 1和-1 。 计算群的生成元是判别一个群是否为循环群的 关键。
证明: 1）充分性 a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb) 左端 = a(ba)b 右端 = a*(a*b)*b 即 a(ba)b = a(ab)b 由可约性得，用a-1左上式，再用b-1右上式， 得 (ab)=(ba) 2）必要性 从“<G,>是阿贝尔群”的结论出发 ，推出 “(ab)(ab)=(aa)(bb)”。（证略）
循环群举例
例：循环群 <{0°,60°,120°,180°,240°,300°}，★>，
0 是该循环群的幺元。 60 是该循环群的生成元。 300°也是生成元：300°,240°,180°,120°,60°,0°
a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角 度，并规定旋转360°等于原来的状态。 (60o)1=60o, (60o)2=60o★60o=120o,
o
o
(60o)3=60o★60o★60o=180o,(60o)4=240o, (60o)5=300o
(60o)6=0o=e, (60o)7=60o, (60o)8=120o, ……
循环群的性质
定理 5-5.2 证 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
设 <G,>是一个循环群，a是该群的生成元， x= ar 和 y = as
练习3
设G={[1],[2],[3],[4],[5],[6]}，G上的二元运算 ×7 如表所示。问<G,×7>是循环群吗？若是，求其 生成元。 生成元为：[3],[5] ×7 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1]
陪集举例
例1.求出<N6,+6>关于子群<{[0],[3]},+6>的所有左 陪集,右陪集。 解:令H={[0],[3]}, 则左陪集: 右陪集: [0]H={[0],[3]}=[3]H H[0]={[0],[3]}=H[3] [1]H={[1],[4]}=[4]H H[1]={[1],[4]}=H[4] [2]H={[2],[5]}=[5]H H[2]={[2],[5]}=H[5] 从中可以看出：{[0]H,[1]H,[2]H}是G的一个划分。
= H, 故a*b-1∈A
练习：P211-(8)
apt-1
(apt-1)p
5-8 同态与同构
定义5-8.1 设<A, ★>和<B, >是两个代数系统， f是从A到B的一个映射， a1,a2A，有 f(a1★a2)=f(a1)f(a2)（先算后映=先映后算） 则称f为由代数结构<A, ★>到<B, >的同态映射， 称<A, ★>同态于<B, >，记为A~B。称<f(A), > 为<A, ★>的一个同态象。其中 f(A)={x|x= f(a),a A} B
5-5 阿贝尔群和循环群
定义 5-5.1 设 <G,>为一群,若 运算满足交 换律，则称G为交换群或阿贝尔群(Abel group)。 例：由于加法运算“+”满足交换律，因此群 <Z，+ >，<R, +>，<Q, +>，<C, +>都是交换群。
定理 5-5.1 设 <G,>为一群, <G,>是阿贝尔群 的充要条件是对任意的a,bG，有 （ab）（ab）=（aa）（bb） 即： (a*b)2 = a2*b2
则对于任意的x,yG ，必有r,sI，使得 而且 xy = aras = ar+s = as+r = asar = yx
因此，运算可交换，是阿贝尔群。
循环群中生成元的阶（周期）
定理 5-5.3 设<G,>为循环群，aG是该群的生成 元，如果G的阶数是n ，即|G|= n ，则an = e,且 G={a, a2, a3,..., an-2, an-1, an=e} 其中， e是群<G,>的幺元。 n是使得an=e成立的 最小正整数，称为元素a的阶或周期。
因此，G中每一元素都可写成ar，G中最多有m个元素。 与 |G|= n矛盾。所以am=e是不可能的。
再用反证法证明a ， a2 ，... ， an互不相同。
设 ai= aj ， 其 中 1≢i<j≢n ， 就 有 aj-i =e ， 而 且 1≢j-i<n ，这已经有上面证明是不可能的。
循环群中生成元的阶
补充：元素的阶（a的阶，记为|a| ）
1．元素a的幂的定义
定义：给定群<G, * >,aG,若nN,则定义:
a0 = e,
an+1 = an * a,
a-n = a-1 * a-1 * * a-1= (a-1)n =(an)-1
对m用归纳法可证：am * an = am+n (m,nI),
练习1
证明：循环群的任何子群必定也是循环群。
证 设<G,*>是循环群，其生成元是a。设<S,*>是 <G,*>的子群，且S≠{e}。那么，存在最小正整数m， 使 得 amS ， 对 于 任 意 的 aiS ， 必 有 i=tm+r (tI+ ， 0≢r<m) ， 故 ar=ai-tm=ai*(amt)-1S 。 又 因 为m是使amS的最小正整数，所以r只能取值为0， 所以i=tm，即ai= (am)t 。这说明，S中任一元素都 是am 的乘幂。因此，<S,*>是以am 为生成元的循环 群。
例1：循环群 <{0°,60°,120°,180°,240°,300°}，★>，
60o是生成元； e=0o；6是使(60o)n=e的最小正整数，
故60 的周期(阶)为6。
o
同理，300°的阶也是6。
例2：<{5j|jI},+>是无限循环群, 其中-5,5是均生成元。
例3：循环群<Nk，+k>，其中Nk={[0],,[k-1]}， [x]表示N中的模k等价类，[x]+k[y]=[(x+y)mod k]。 求<N4，+4>的幺元、生成元，并求生成元的周期。 解： 任意[x]N4，必有[x]+4[0]=[x]，故[0]为该群的幺 元；[1]和[3]都是生成元，周期都是4。 ([1])1=[1],([1])2=[2], ([1])3=[3], ([1])4=[0] ([3])1=[3],([3])2=[2], ([3])3=[1], ([3])4=[0] 思考：为什么[2]不是生成元？<N5，+5>的生成元？
aHbH，同理bHaH
aH=bH
拉格朗日定理
定理5-7.1(拉格朗日定理) 设<H，>为有限群<G， >的子群，|G|=n, |H|=m, 那么|G|/|H| = n/m是 整数，即m|n 。
拉格朗日定理的推论
推论1 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 推论2 设<G,>为n阶有限群，那么对于任意aG,a 的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群<G,>的幺 元。如果n为质数，则<G,>必是循环群。
∴ {a,a2,,ar}=G ∴ <G,*>是循环群
拉格朗日定理练习
例1.试证奇数阶群所有元素之积等于幺元。 证: 设<G,*>是一个群,e为幺元,则 在G中不存在这样的元素a：ae，a=a-1 ∵ 若a=a-1 则a2=e <{a,e},*> 是<G,*>的子群 又因为|{a,e}|=2，所以由拉格朗日定理可得： 2整除|G|，这与G是奇数阶群矛盾。 所以，∀a∈G，若a≠e,a、a-1总是成对出现 G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,,an,an-1}，其中aiai-1 e*a*a1-1**an*an-1 = e
拉格朗日定理推论2的证明
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的 子群且该子群的阶为r，由拉格朗日定理可知r整除 n，所以a的阶必是n的因子。故n=rt(tI+),故an=e。 设<G,*>为质数阶群，则 aG 且 ae，
∵ a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的 阶数等于群的阶数。
对k用归纳法可证：(am)k = amk (m,kI)
补充：元素的阶（a的阶，记为|a| ）
2．元素a的阶的定义
设<G，*>是群， a G能够使 am=e的最小正
整数m，称为a的阶。若m不存在，则说a是无阶的。
例1：在整数加群<z,+>中，0的阶是1，其余元素均
无阶。 例2：在群<{1,-1},*>中，-1的阶是2，1的阶是1。 例3：在整数加群<z6,+6>中，求各元素的阶： 1 2 3 4 5 0
陪集的性质
设 <H,*> 是 <G,*> 的 子 群 ,a,bG 则 aH=bH 或 aH∩bH=Ф。 证: 对于aH和bH，只有两种情况：
① aH∩bH=Ф ② aH∩bH≠Ф
对于第二种情况，设faH∩bH h1，h2H，使f=a*h1=b*h2 a=b*h2*h1-1bH xaH则h3H,x=a*h3=b*h2*h1-1*h3bH