直线与圆锥曲线相交的弦长公式20111201

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

基本知点：设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==n

kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。

则弦长公式为： d=221221)()(y y x x -+-=2

212))(1(x x k -+=22)1(a k Δ+=Δ||)1(2a k +。 焦点弦长：||PF e d

=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。

例1．已知椭圆：19

22

=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长

解析：a=3,b=1,c=22，则F （-22，0）。 由题意知：)22(31

:+=x y l 与1922

=+y x 联立消去y 得：01521242=++x x 。 设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x ，41521=

⋅x x ，2

23221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点， 所以|AB|=21518324)(32||3112122121=-=-+⋅=

-⋅+x x x x x x

例2．中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为2

1，求椭圆的方程 解析：设椭圆的标准方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，由F 1（0，50）得5022=-∴b a 把直线方程23-=x y 代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222=-+-+a b x b x b a 。

设弦的两个端点为),(),,(2211y x B y x A ，则由根与系数的关系得：

2

2221912b a b x x +=+，又AB 的中点横坐标为21，2196222221=+=+∴b a b x x 223b a =∴，与方程5022=-b a 联立可解出25,7522==b a 故所求椭圆的方程为：125

752

2=+y x 。 例3．已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

解析：设椭圆C 的方程为122

22=+b

y a x ， 由题意a =3，c =22，于是b =1.

∴椭圆C 的方程为9

2

x ＋y 2＝1． 由⎪⎩

⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

则x 1＋x 2＝5

18-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-

）．