古典概率模型

古典概率模型
一、教学内容分析
本节课内容是高中数学古典概率，也是新课改后在学生没有学习排列组合情况下的新教学.古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.利用列举法求古典概率模型，有利于理解概率的概念，计算一些事件的概率，也有利于解释生活中常见的一些问题.
二、教学目标
1．理解随机事件和古典概率的概念 .
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
三、教学重点及难点
重点是求随机事件的概率，难点是如何判断一个随机事件是否是古典概型，搞清随机事四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、课前准备
在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验，
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要
求每个数学小组至少完成30次（最好是整十数），最后由课代表汇总.
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由课代表汇总.
二、学习新课
1．引入：
课堂提问：
在我们所做的每个实验中，有几个结果，每个结果出现的概率是多少？
学生回答：
在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是相互独立的，
由于硬币质地是均匀的，因此出现两种结果的可能性相等，即它们的概率都是1
2
.
在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是相互独立的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种结果可能性相等，
即它们的概率都是1
6
.
2．引入新的概念：
基本事件：我们把试验可能出现的结果叫做基本事件.
古典概率：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率.
（1）一次试验所有的基本事件只有有限个.
例如试验一中只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.试验二中结果有六个，即有六个基本事件.
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
试验一和试验二其基本事件出现的可能性均相同.
随机现象：对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象.试验一抛掷硬币的游戏中，可能出现“正面朝上”也可能出现“反面朝上”，这就是随机现象.
随机事件：在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件.例如掷骰子的结果中“是偶数”、“是奇数”、“大于2”等等都是随机事件.随机事件“是偶数”就是由基本事件“2点”、“4点”、“6点”构成.随机事件一般用大写英文字母A、B 等来表示.
必然事件：试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作 .例如掷骰子的结果中“都是整数”、“都大于0”等都是必然事件.
不可能事件：实验中不可能出现的事件叫做不可能事件，记作∅.
例1：从字母a b c d ，，，中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.利用树状图可以将它们之间的关系列出来.
我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.
（树状
{,}A a b =，{,}B a c =，{,}C a d =， {,}D b c =，{,}E b d =，{,}F c d =
例2：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概率吗?为什么？
答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概率的第一个条件.
（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概率吗？为什么？
答：不是古典概率，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概率的第二个条件. 3．概率公式推导：
随机事件A 出现的概率记作P （A ） 基本事件有如下的两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
例3：掷骰子试验中，结果为奇数的概率是多少？
问题1：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”包含哪些基本事件？
随机事件“结果是奇数”包含基本事件“1点”、“3点”、“5点”.
问题2：掷骰子试验中，所有基本事件由哪些？
所有的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”. 问题3：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”记为事件A，事件A的概率是多少？
P（A）=31 62 =
例4：同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
分析：我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果：
（1，1）、（1、2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、
（2，1）、（2、2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、
（3，1）、（3、2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、
（4，1）、（4、2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、
（5，1）、（5、2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、
（6，1）、（6、2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），
共包含了36件基本事件.
解答：（1）有36种不同结果.
（2）点数之和为5可以记作随机事件A，它所包含的基本事件有：（1，4）、(2、3)、（3，2）、（4，1），故共有4种结果.
（3）随即事件A的概率是：
41 P A
369
==（）
学生思考并推导概率计算公式：
A P A =
事件所包含的基本事件数（）试验中所有的基本事件数
用集合语言表示：设12n ωωω ，，，表示所有的基本事件，基本事件的集合就是必然事件，记为12n {}ωωωΩ= ，，，，
所以随机事件A 看作Ω的某个子集，则
A P A ωω=
Ω所包含的的个数（）中元素的总个数
三、巩固练习
例5：一个袋中装有6只球，其中4只是白球,2只是红球.求下列事件的概率： （1） 摸出的两球都是白球；
（2） 摸出的两球1只是白球、另1只是红球.
解：设4只白球的编号为1，2，3，4，两只红球的编号为5，6.从袋中的6只球中任意摸出两只，可能的结果（记“摸出1，2号球”为（1，2））有:
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个结果，即共有15个基本事件.
（1） 从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种基本事件满足“两球都是白球”的条件，记随机事件“两球都是白球”为字母A ，故62P (A )=
15
5
=.
（2） 从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）， （3，5） ，（3，6），（4，5），（4，6），共8种可能的结果满足“1只是白球、1只是红球”的条件，记随机事件“1只是白球、一只是红球”为字母B ，它包含8个基本事件，故8P (B )15
=
.
例6：( 涂漆问题)把一个体积为64cm 3
的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成64个体积均为1cm 3的小正方体，并从中任取一块，试求： （1） 这一块没有涂红漆的概率；
（2） 这一块恰有一面涂红漆的概率； （3） 这一块恰有两面涂红漆的概率； （4） 这一块恰有三面涂红漆的概率； （5） 这一块恰有四面涂红漆的概率.
解：把体积为64cm 3的正方体木块锯成64块体积为1cm 3的小正方体，其中没有涂红漆的有8块，恰有一面涂红漆的有24块（6个面，每面2⨯2块），恰有两面涂红漆的有24块（12条棱，每条棱2块），恰有三面涂红漆的有8块（8个顶点），恰有四面涂红漆的木块不存在，所以：
（1）“这一块没有涂红漆”记为随机事件A ，则概率为81P (A )=
64
8
=;
（2）“这一块恰有一面涂红漆”记为随机事件B ，则随机事件B 的概率为243P (B )648==; （3）“这一块恰有两面涂红漆”记为随机事件C ，则随机事件C 的概率为243P (C )64
8=
=;
（4）“这一块恰有三面涂红漆”记为随机事件D ，则随机事件D 的概率为81P (D )=64
8
=
（5）“这一块恰有四面涂红漆”是不可能事件，其概率为P()0∅=.
对于必然事件Ω、不可能事件∅和随机事件，下面4个事实值得我们注意： （1）不可能事件的概率为零，即P()0∅=； （2）必然事件的概率为1，即P()1Ω=； （3）对任意随机事件E ，有0P(E)1≤≤；
（4）若12n {,,,}ωωωΩ= ，则12n P ()P()P ()1ωωω+++= 四、课堂小结 1．古典概型：
我们将具有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型. 2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
3．求某个随机事件A 发生的概率，要先求出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基
本事件的总数，注意做到不重不漏. 五、作业布置
(略)
六、教学设计说明
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比和列举推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神.
A A P 所包含的基本事件的个数
（）＝
基本事件的总数。