模糊数学建模方法2018.8.31

隶属度来描述掌握外语的程度，则可得如下表1中的模糊关系 R ，即小组成
员“掌握外语程度”的模糊关系。
表1 掌握外语的程度
英语 俄语 日语 法语
徐某
张某
0.85
0.90
0.75
0
0.70
0
0
0
王某
0.70
0
0
0.8
3. 模糊关系的运算
并、交、余、包含运算与模糊集运算完全相同
0.1 0.5 R1 0.7 1 0.4 0.5 R1 R2 0.8 1 0.9 0.5 R 0.3 0
G (20,18) 0.038, G (20,10) 0.5, G (1000,100) 0.9999
2. 模糊矩阵
有限论域上的模糊关系 X与Y均有限，一般用矩阵表示
对于有限论域 X = {x1, x2, … , xn}和Y = { y1, y2, … , ym}，则X 到Y 模糊关系R可用n ×m阶模糊矩阵表示，即
（3）序偶表示法
例2.3 X={上海，北ห้องสมุดไป่ตู้，天津，西安}为城市的集合。
模糊集合C = “对城市的爱好”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
3. 模糊集的运算
交： ( A B)( x) min( A( x), B( x)) A( x) B( x)
2.1 模糊综合评判
2.2 模糊聚类分析 2.3 模糊模式识别
2.1 模糊综合评判法
根据多个因素对事物进行评定，称为综合评 判。在日常生活中，当要对某种东西作出好、较 好、不好等评价时，常常感到不易判断。因为这 是一个模糊的概念，同时涉及的因素很多。如果 运用模糊数学的方法，将可以较好地解决这个问 题，解决此类问题的方法叫模糊综合评判法。
模糊现象
模糊概念源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡中的不 分明性，难以划定界限。非此即彼？ 亦此亦彼，模糊概念
什么是模糊数学
模糊现象：“亦此亦彼”的不分明现象。 模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法。
2
R RR R
2
R为传递关系
特殊模糊关系
相似关系： 自反+对称
等价关系： 自反+对称+传递
1 0.1 为等价关系 0.1 1 1 0.1 1 0.1 1 0.1 0.1 1 0.1 1 0.1 1
第二部分 模糊数学的基本应用
Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
Ac 0.2 / 2 0.4 / 3 0.6 / 4 0.8 / 5 1 / 6 1 / 7 1 / 8 1 / 9 1 / 10 B c 1 / 1 1 / 2 1 / 3 0.8 / 4 0.6 / 5 0.4 / 6 0.2 / 7
将矩阵乘法中乘积改为取小，加改为取大
0.8 0.3 0.3 0.7 0.3 0.7 0.2 0.1 0.8 0 0.9 1 0.8 0.6 0.5 0.6 (0.3 0.8) (0.7 0.1) (0.2 0.5) 0.3 0.1 0.2 0.3
众所周知，经典数学是以精确性为特征的. 然而， 与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值 的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。 例如, 你要到某时某地去迎接一个“大胡子、高个子、 长头发、戴宽边黑色眼镜的中年男人”。尽管这里只提 供了一个精确信息——男人，而其他信息——大胡子、 高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念 ，但你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断， 就可以接到这个人。
模糊数学有什么用
模糊数学的广泛应用性
模糊技术是21世纪的核心技术，其应用渗透到自然科学与社会 科学的很多领域： 1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等； 2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析； 3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控制的有效手 段； 4）家电行业：模糊家电产品, 提高了机器的“IQ”； 5）航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统， NASA； 6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、F 数据库、F语言识别系统、F机器人等； 7）其它：核反应控制、医疗诊断等。
当映射A(x)只能取0或1时，模糊集A就是经典集， 而A(x)就是它的特征函数。可见经典集就是模糊集的 特殊情形。
例1.1 O 年老，X [0, 100],
O : X [0,1]规定为：
0 0 x 50 2 1 x 50 O( x) 1 50 x 100 5
1 0.8 0 R 0.6 0.9 1 0.2 0.7 1
R(张三，李四） 0.8
例2.7 设有一组同学（徐某，张某，王某），他们选修英，日，俄，法四种 外语中的任几门，他们选修和结业成绩如下： 英语 85 日语 70 俄语 75 英语 90 英语 70 法语 80 设A={徐某，张某，王某}，B={英，日，俄，法}，若用成绩除以100折合成 徐某 徐某 徐某 张某 王某 王某
随着x增加，O( x)增大
O(50) 0, O(60) 0.8 O(90) 0.985
1
0 .8 50 60 90
2. 模糊集合的表示 当论域X有限时，模糊集合可表示如下：
(1) 向量表示法
A {A ( x1 ), A ( x2 ),
(2) Zadeh表示法
A
, A ( xn )}
A ( xn )
A ( x1 )
x1

A ( x2 )
x2


xn
.
例2.2 “20岁左右”
论域（年龄）：{...., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ...} “20岁左右”这个模糊集可以表示为： 0.8/18 + 0.9/19 + 1/20 + 0.9/21 + 0.8/22 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23 集合元素 隶属度 ...
1. 模糊关系（Fuzzy relation）
X Y上的模糊集R称为从X到Y上的模糊关系.
( x, y) R( x, y) [0,1]表示x, y具有关系R的程度.
X Y时，R称为X上的模糊关系.
例2.5 G 远远大于，X Y R(实数） 0 x y 1 G ( x, y ) 100 1 x y 2 ( x y )
R R
r11 R r21 R (rij ) nR m= ... rn1
r12 r22 ... rn 2
... r1m ... r2 m , ... ... R ... rnm
其中rij ∈[0, 1]表示xi 与yj 具有模糊关系R的程度。
例2.6 R 信任，X Y {张三，李四，王五}
模糊数学方法的范例
模糊综合评判法 ——产品质量评定、科技成果 鉴定、某种作物种植适应性的评价等； 模糊聚类分析 ——土壤分类、市场分析等； 模糊模式识别 ——识别当前的通货膨胀程度、 害虫危害程度等。
第一部分 模糊数学基本概念
1.1 模糊集合 1.2 模糊关系
1.1模糊集合
经典集的隶属程度 只能取0或1 如何亦此亦彼？ 打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
模糊数学的创立及基本思想
L. A. Zadeh教授 ——1965年，发表文章《Fuzzy Sets》
基本思想 ——用属于程度代替属于或不属于 模糊数学可以对不精确数据以及语言进行构模 例如：近似为3，大约在7-8之间，很高，略微有点等
三大数学模型
处理现实对象的数学模型可分为三大类： 确定性数学模型：背景对象具有确定性或固定性； 随机性数学模型：背景对象的发生具有或然性或 随机性； 模糊性数学模型：背景对象及其关系均具有模糊性。
例2.4 A 小，B 大，X {1,2,,10}
A 1/1 0.8 / 2 0.6 / 3 0.4 / 4 0.2 / 5 B 0.2 / 4 0.4 / 5 0.6 / 6 0.8 / 7 1/ 8 1/ 9 1/10 不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6
A B表示A且B
并： ( A B)( x) max(A( x), B( x)) A( x) B( x)
A B表示A或B
余： Ac ( x) 1 A( x)
A 表示非A
c
包含：A B x X , A( x) B( x); 相等：A B x X , A( x) B( x). 显然，A B A B且B A.
数学建模 ——模糊数学方法
郝永花 2018年8月31日
序言
模糊数学是研究什么的？
现象的划分
◆ 确定性现象：如水加温到100oC就沸腾， 这种 现象的规律性靠经典数学去刻画； ◆ 随机现象：如掷筛子，观看哪一面向上，这种 现象的规律性靠概率统计去刻画; ◆ 模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子 很帅”等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊 数学去刻画。
c 1
0.4 0.3 R2 0.8 0.9 0.1 0.3 R1 R2 0.7 0.9
4. 模糊关系的合成
R (rij )lm , S (sij )mn ,
R S (tij )ln , tij (ri1 s1 j ) (ri 2 s2 j ) (rim smj )
特殊模糊关系
自反关系： 主对角线上元素全为1 对称关系： 矩阵为对称阵
2 R R R R 传递关系：
1 0.1 为自反、对称关系 0.1 1
0.5 1 R 0.4 0.4 0.5 1 0.5 1 0.5 0.5 R 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4
Ac Bc 0.2 / 2 0.4 / 3 0.6 / 4 0.6 / 5 0.4 / 6 0.2 / 7
1.2 模糊关系
在日常生活中，“关系”的概念随处可见，如父子关 系、同事关系、身高与体重之间的关系、两个人的相像关 系等。在数学上，有大于、包含、近似相等、远远大于等 关系。在各种各样的关系中，有些是明确的，如父子、同 事、大于、包含等关系；许多则是界限不明确的关系，如 朋友关系、身高与体重之间的关系、两个人的相像关系、 近似相等、远远大于等，对于这类关系用简单的“肯定” 或“否定”，即用“1”或者“0”来刻画显然是不合适的。 模糊关系将关系的值域扩充为[0,1]，从而引入了模糊关系 的概念。
1. 模糊集合（Fuzzy sets）
A : X [0,1], 则称A是X上的模糊集。 设X是论域， x X，A( x) [0,1]. A(x)称为x属于A的隶属度. X上全体模糊集集合记为F(X).
即F ( X ) {A A : X [0,1]}.
A( x) 1 x完全属于A A( x) 0 x完全不属于A 0 A( x) 1 部分属于A x变化时，A( x)称为隶属函数