袁卫《统计学》配套题库【课后习题】(概率、概率分布与抽样分布)【圣才出品】

第3章概率、概率分布与抽样分布

思考题

1．怎样理解频率与概率的关系？频率的极限是概率吗？

答：概率是一种现象的固有属性，例如：一枚均匀的硬币，随意抛掷的话正面出现的概率就是1/2。这跟实验是没有关系的。而频率，即一组实验中关心的某个结果出现的次数比上所有实验次数的比值，它和实验密切相关。一般来说，随着实验次数的增多，频率会接近于概率。比如抛掷均匀的硬币10000次，出现正面的频率就会非常接近于概率0.5。

当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率。或者说，当试验的次数n→∞时，频率的极限是概率。

2．概率的三种定义各有什么应用场合和局限性？

答：（1）古典概率

古典概率的应用要求样本空间，即出现的结果是有限的并且是已知的。例如：已知一个骰子掷出的点数是1至6点，两个骰子同时掷，出现的点数是2至12点等。机会游戏的很多问题可以满足这些条件。但现实生活的实际问题样本空间或者出现的结果无限或者未知，因而古典概率的应用具有较强的局限性。

（2）统计概率

统计概率通常是计算大量重复试验中该事件出现次数的比率。但有些试验是不能重复的。例如：投资开设一家餐馆，那么要预测这家餐馆生存5年的概率，就不可能重复地将这家

饭馆开很多家。

（3）主观概率 古典概率和统计概率都属于客观概率，它们的确定完全取决于对客观条件的理论分析或是大量重复试验的事实，不以个人的意志为转移。而有些事件，特别是未来的某一事件，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来估计，但决策者又必须对其进行估计从而作出相应的决策，那就需要应用主观概率。

主观概率需要人们根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素进行分析，以此确定主观概率。

3．概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面？

答：（1）区别

概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意义上的取值概率，连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数f （x ）曲线（或直线）在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率值为0，因为它对应的面积为0。而分布函数F 在x 处的取值，就是随机变量X 的取值落在区间（－∞，x ）的概率。

（2）联系

①()()d F x f x x ∞-∞=

⎰；②若f （x ）在x 处连续，则有F ＇

（x ）＝f （x ）。

4．全概率公式与逆概率公式分别用于什么场合？

答：（1）全概率公式为：

11

()()()(|)i i i i i P A P AB P B P A B ====∑∑ 其中B 1，B 2，…，B n 是互不相容的事件且B 1∪B 2∪…∪B n ＝Ω，P （B i ）＞0，i ＝1，2，…，n 。

如果对于某一复杂事件A 的概率，能够构造合适的完备事件组，使得这些事件的概率和给定这些事件下A 的条件概率较易于确定，就可以用全概率公式。

（2）逆概率公式也称贝叶斯公式，即

1()()

()1,,()()j j j n i i

i P B P A B P B A j n P B P A B ===∑

式中：B 1，B 2，…，B n 表示完备事件组。

逆概率公式是要在事件A 已经发生的条件下来计算完备事件组B 1，B 2，…，B n 中每个事件的发生概率。

5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有哪些不同？连续型随机变量的概率密度与分布函数之间是什么关系？

答：（1）离散型随机变量X 只取有限个可能的值x 1，x 2，…，x n ，而且是以确定的概率取这些值，即P （X ＝x i ）＝p i （i ＝1，2，…，n ）。因此，可以列出X 的所有可能取值x 1，x 2，…，x n ，以及取每个值的概率p 1，p 2，…，p n ，将它们用表格的形式表现出来，就是离散型随机变量的概率分布。

设X 是一连续型随机变量，它代表某一区间或多个区间中的任意数值，它的概率分布通过概率密度函数来表述，记作f （x ）。

（2）对于随机变量x ，设x 为任意实数，则函数F （x ）＝P （X ≤x ）称为随机变量X

的分布函数。连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系为：

()()()()d x f x F x F x f x x -∞'==⎰

，

6．随机变量的数学期望和方差与第2章所讲的均值和方差有何区别、联系？ 答：第2章中所讲的均值就是算术平均数，是数据集中趋势的最主要测度值；方差是数据离差平方的平均数。

数学期望又称均值，它实质上是随机变量所有可能取值的一个加权平均，其权数就是取值的概率。对于离散型随机变量，其均值和方差分别为：

()i i i

E x x p ==∑μ 22()()i i i

D x x p ==-∑σμ 对于连续型随机变量，其均值和方差分别为：

()()E X xf x dx ∞

-∞==⎰μ 2222()()()E X E X x f x dx ∞

-∞

=-=-⎰σμ

7．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？ 答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后放回总体，然后再抽下一个总体）。但在实际抽样中，很少采用重复抽样。不过，当总体的元素数目N 很大而样本量n 相对于N 来说很小时，二项分布仍然适用。

但如果是采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等，而且总体元素

的数目很小或样本量n 相对于N 来说较大时，二项分布就不再适用，这时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布。

（2）若X 服从二项分布B （n ，p ），则E （X ）＝np ，D （X ）＝np （1－p ）。 若Y 服从超几何分布H （n ，N ，M ），则

()N

E Y n M =

()(1)1M M N n D X n

N N N -=--

8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？

答：（1）正态分布所描述的随机现象具有如下特点：

①正态曲线的图形是关于x ＝μ的对称钟形曲线，且峰值在x ＝μ处；

②正态分布的两个参数均值μ和标准差σ一旦确定，正态分布的具体形式也就唯一确定，不同参数取值的正态分布构成一个完整的“正态分布族”。

③正态分布的均值μ可以是实数轴上的任意数值，它决定正态曲线的具体位置，标准差σ相同而均值不同的正态曲线在坐标轴上体现为水平位移。

④正态分布的标准差σ为大于零的实数，它决定正态曲线的“陡峭”或“扁平”程度。σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越陡峭。

⑤当X 的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，正态曲线的左右两个尾端也无限渐近横轴，但理论上永远不会与之相交。

⑥与其他连续型随机变量相同，正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1。