高三数学球面距离问题的求解专题辅导

球面距离问题的求解

玉邴图

在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。

一、几个相关概念

纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。

经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。

两地的位置关系：地球上两点A 、B 的位置关系有以下三种：

（1）A 、B 两地经度相同，纬度不同；

（2）A 、B 两地纬度相同，经度不同；

（3）A 、B 两地纬度不同，经度也不同。

球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A 、B 两点的球面距离为弧AB=R ⋅α（其中α是A 、B 两点的球心角，单位为弧度制，R 为球的半径）。

所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。

二、有关定理及其推论

为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经︒120记为︒-120，南纬︒30记为︒-30。

于是我们有如下的球心角的余弦定理。

定理1 设A 、B 是地球表面上的任意两地，A 地的经度为1θ，纬度为1ϕ，B 地的经度为2θ，纬度为2ϕ，地球的中心为O ，球心角∠AOB=α（],0(π∈α），则21sin sin cos ϕϕ=α ()2121cos cos cos θ-θϕϕ+。

证明：设地球半径为R ，A 、B 两地所在的纬度圈分别为圆1O 和圆2O ，由球的截面性质知1OO ⊥圆1O ，2OO ⊥圆2O ，且两圆所在的平面平行，故知1O ，O 、2O 三点共线，由有向角的概念知

|sin sin |R |O O |2121ϕ-ϕ=。

（1） 设NOS 为地轴，在半圆面NSA 内，作21O AA 圆⊥所在的平面，垂足为1A ，则1112cos R |A O ||A O |ϕ==，22cos R |B O |ϕ=，在三角形B O A 21中，由余弦定理得

()[]

21212212221cos cos cos 2cos cos R |B A |θ-θϕϕ-ϕ+ϕ=（2）

当∠︒≥θ-θ=180||B O A 2121时，因为有()[]()2121cos 360cos θ-θ=θ-θ-︒，故（2）

也成立，在直角三角形1ABA 中，由勾股定理得

2122121212|B A ||O O ||B A ||A A ||AB |+=+=（3）

将（1）、（2）代入（3）得

()[]21212122cos cos cos sin sin 1R 2|AB |θ-θϕϕ-ϕϕ-=（4）

在三角形AOB 中，由余弦定理得

2

2

2R 2|AB |R 2cos AOB cos -=α=∠（5） 将（4）代入（5）代简得()212121cos cos cos sin sin cos θ-θϕϕ+ϕϕ=α。

有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。

定理2 设A 、B 是地球表面上的任意两地，A 地的经度为1θ，纬度为1ϕ，B 地的经度为2θ，纬度为2ϕ，地球的半径为R ，则A 、B 两地的球面距离为劣弧AB=arccos R ⋅ ()[]212121cos cos cos sin sin θ-θϕϕ+ϕϕ。

证明：设A 、B 两地的球心角为α，则由定理1得

()212121cos cos cos sin sin cos θ-θϕϕ+ϕϕ=α，

所以，()[]212121cos cos cos sin sin arccos θ-θϕϕ+ϕϕ=α，

所以，A 、B 两地的球面距离为劣弧

AB=()[]212121cos cos cos sin sin arccso R θ-θϕϕ+ϕϕ⋅。

推论1 若A 、B 两地位于同一经度，则（1）()21cos cos ϕ-ϕ=α；

（2）球面距离()[]21cos arccos R AB ϕ-ϕ⋅=。

证明：因为21θ=θ，由定理1、定理2即可得证。

推论2 若A 、B 两地位于同一纬度ϕ，则

（1）()2122cos cos sin cos θ-θϕ+ϕ=α；

（2）球面距离()[]2122cos cos sin arccos R AB θ-θϕ+ϕ⋅=。

证明：因为ϕ=ϕ=ϕ21，由定理1、定理2即可得证。

推论3 若A 、B 两地经度差为

2

π，则 （1）21sin sin cos ϕϕ=α；

（2）球面距离()21sin sin arccos R AB ϕϕ⋅=。 证明：因为2

21π=

θ-θ，由定理1、定理2即可得证。 推论4 若A 、B 两地经度差为π，则 （1）2212cos sin cos ϕ-ϕ=α；

（2）球面距离()2212cos sin arccos R AB ϕ-ϕ⋅=.

证明：因为π=θ-θ21，由定理1、定理2即可得证。

推论5 若A 、B 两地位于同一纬度ϕ，经度差为θ，则ϕθ=αcos 2

sin 2sin

。 证明：由题意及推论2得 ()θ-ϕ-=θϕ+ϕ-=θϕ+ϕ=αcos 1cos 1cos cos cos 1cos cos sin cos 22222。 所以ϕθ=α⇒ϕθ=α-22222cos 2

sin 22sin 2cos 2sin 2cos 1。 由纬度定义知⎪⎭⎫ ⎝⎛π-∈ϕ0,2⎪⎭

⎫ ⎝⎛π⋃2,0，所以ϕθ=αcos 2sin 2sin 。 这些公式虽然在考试中不能直接使用，但若我们掌握了它们的证明思路后，则球面距离问题便迎刃而解。

三、应用例说

例1（2004年希望杯培训题）设A 、B 两地分别位于东经︒60、南纬︒45和西经︒120、北纬︒30，O 是地球中心，试求∠AOB 的大小（小于平角的一个）。

解：因为︒=θ601，︒-=ϕ451，︒-=θ1202，︒=ϕ302，由定理1得α=∠cos AOB cos 4

26-=

，故知∠AOB=︒75。

例2（2003年吉林省高中数学竞赛题）设地球半径为R ，球面上有两点A 、B ，其中A 点在北纬︒60，B 点在南纬︒20，A 、B 两点经度相同，求A 、B 两点的球面距离。

解：因为()π-︒=︒-︒=ϕ-ϕ9480206021，由题意和推论1的（2）得劣弧BA=arccos R ⋅ R 9494cos π=⎪⎭⎫ ⎝

⎛π。所以A 、B 两点的球面距离是R 94π。

例3 （2005年全国高考山东卷）已知地球半径为R ，球面上有两点A 、B ，其中A 点在北纬︒45东经︒120，B 点在南纬︒75东经︒120，求A 、B 两点的球面距离。

解：︒=ϕ451，︒-=ϕ752，由题意和推论1的（2）得()π=︒=︒--︒3

21207545，故A 、