高三数学球面距离问题的求解专题辅导

球面距离问题的求解
玉邴图
在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。

一、几个相关概念
纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。

经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。

两地的位置关系：地球上两点A 、B 的位置关系有以下三种：
（1）A 、B 两地经度相同，纬度不同；
（2）A 、B 两地纬度相同，经度不同；
（3）A 、B 两地纬度不同，经度也不同。

球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A 、B 两点的球面距离为弧AB=R ⋅α（其中α是A 、B 两点的球心角，单位为弧度制，R 为球的半径）。

所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。

二、有关定理及其推论
为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经︒120记为︒-120，南纬︒30记为︒-30。

于是我们有如下的球心角的余弦定理。

定理1 设A 、B 是地球表面上的任意两地，A 地的经度为1θ，纬度为1ϕ，B 地的经度为2θ，纬度为2ϕ，地球的中心为O ，球心角∠AOB=α（],0(π∈α），则21sin sin cos ϕϕ=α ()2121cos cos cos θ-θϕϕ+。

证明：设地球半径为R ，A 、B 两地所在的纬度圈分别为圆1O 和圆2O ，由球的截面性质知1OO ⊥圆1O ，2OO ⊥圆2O ，且两圆所在的平面平行，故知1O ，O 、2O 三点共线，由有向角的概念知
|sin sin |R |O O |2121ϕ-ϕ=。

（1） 设NOS 为地轴，在半圆面NSA 内，作21O AA 圆⊥所在的平面，垂足为1A ，则1112cos R |A O ||A O |ϕ==，22cos R |B O |ϕ=，在三角形B O A 21中，由余弦定理得
()[]
21212212221cos cos cos 2cos cos R |B A |θ-θϕϕ-ϕ+ϕ=（2）
当∠︒≥θ-θ=180||B O A 2121时，因为有()[]()2121cos 360cos θ-θ=θ-θ-︒，故（2）
也成立，在直角三角形1ABA 中，由勾股定理得
2122121212|B A ||O O ||B A ||A A ||AB |+=+=（3）
将（1）、（2）代入（3）得
()[]21212122cos cos cos sin sin 1R 2|AB |θ-θϕϕ-ϕϕ-=（4）
在三角形AOB 中，由余弦定理得
2
2
2R 2|AB |R 2cos AOB cos -=α=∠（5） 将（4）代入（5）代简得()212121cos cos cos sin sin cos θ-θϕϕ+ϕϕ=α。

有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。

定理2 设A 、B 是地球表面上的任意两地，A 地的经度为1θ，纬度为1ϕ，B 地的经度为2θ，纬度为2ϕ，地球的半径为R ，则A 、B 两地的球面距离为劣弧AB=arccos R ⋅ ()[]212121cos cos cos sin sin θ-θϕϕ+ϕϕ。

证明：设A 、B 两地的球心角为α，则由定理1得
()212121cos cos cos sin sin cos θ-θϕϕ+ϕϕ=α，
所以，()[]212121cos cos cos sin sin arccos θ-θϕϕ+ϕϕ=α，
所以，A 、B 两地的球面距离为劣弧
AB=()[]212121cos cos cos sin sin arccso R θ-θϕϕ+ϕϕ⋅。

推论1 若A 、B 两地位于同一经度，则（1）()21cos cos ϕ-ϕ=α；
（2）球面距离()[]21cos arccos R AB ϕ-ϕ⋅=。

证明：因为21θ=θ，由定理1、定理2即可得证。

推论2 若A 、B 两地位于同一纬度ϕ，则
（1）()2122cos cos sin cos θ-θϕ+ϕ=α；
（2）球面距离()[]2122cos cos sin arccos R AB θ-θϕ+ϕ⋅=。

证明：因为ϕ=ϕ=ϕ21，由定理1、定理2即可得证。

推论3 若A 、B 两地经度差为
2
π，则 （1）21sin sin cos ϕϕ=α；
（2）球面距离()21sin sin arccos R AB ϕϕ⋅=。

证明：因为2
21π=
θ-θ，由定理1、定理2即可得证。

推论4 若A 、B 两地经度差为π，则 （1）2212cos sin cos ϕ-ϕ=α；
（2）球面距离()2212cos sin arccos R AB ϕ-ϕ⋅=.
证明：因为π=θ-θ21，由定理1、定理2即可得证。

推论5 若A 、B 两地位于同一纬度ϕ，经度差为θ，则ϕθ=αcos 2
sin 2sin。

证明：由题意及推论2得 ()θ-ϕ-=θϕ+ϕ-=θϕ+ϕ=αcos 1cos 1cos cos cos 1cos cos sin cos 22222。

所以ϕθ=α⇒ϕθ=α-22222cos 2
sin 22sin 2cos 2sin 2cos 1。

由纬度定义知⎪⎭⎫ ⎝⎛π-∈ϕ0,2⎪⎭
⎫ ⎝⎛π⋃2,0，所以ϕθ=αcos 2sin 2sin 。

这些公式虽然在考试中不能直接使用，但若我们掌握了它们的证明思路后，则球面距离问题便迎刃而解。

三、应用例说
例1（2004年希望杯培训题）设A 、B 两地分别位于东经︒60、南纬︒45和西经︒120、北纬︒30，O 是地球中心，试求∠AOB 的大小（小于平角的一个）。

解：因为︒=θ601，︒-=ϕ451，︒-=θ1202，︒=ϕ302，由定理1得α=∠cos AOB cos 4
26-=
，故知∠AOB=︒75。

例2（2003年吉林省高中数学竞赛题）设地球半径为R ，球面上有两点A 、B ，其中A 点在北纬︒60，B 点在南纬︒20，A 、B 两点经度相同，求A 、B 两点的球面距离。

解：因为()π-︒=︒-︒=ϕ-ϕ9480206021，由题意和推论1的（2）得劣弧BA=arccos R ⋅ R 9494cos π=⎪⎭⎫ ⎝
⎛π。

所以A 、B 两点的球面距离是R 94π。

例3 （2005年全国高考山东卷）已知地球半径为R ，球面上有两点A 、B ，其中A 点在北纬︒45东经︒120，B 点在南纬︒75东经︒120，求A 、B 两点的球面距离。

解：︒=ϕ451，︒-=ϕ752，由题意和推论1的（2）得()π=︒=︒--︒3
21207545，故A 、
B 两点的球面距离劣弧
()R 3
2120cos arccos R BA π=︒=。

例4（2006年全国高考浙江卷）已知A 、B 、C 三点在球心为O 、半径为1的球面上，且OA 、OB 、OC 两两互相垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 和大圆弧AC 的中点，求E 、F 两点的球面距离。

解：将A 点放在北极端点上，B 、C 两点放在赤道线上，画出图形结合已知条件可知E 、F 两点的纬度均为︒45，即︒=ϕ=ϕ4521，两点的经度差为︒90，故由推论3的（1）得
2145sin 45sin cos =
︒︒=α，所以球心角3
60π=︒=α， 所以A 、B 两点的球面距离是
3
13R 3π=⋅π=π。

例5（2006年全国高考北京卷）已知A 、B 、C 三点在球心为O 、半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，AB=R ，求A 、B 两点的球面距离。

解：画出图形结合已知条件可知A 、B 两点的纬度均为︒60，即︒=ϕ=ϕ6021，两点的经度差为︒180，故由推论4的（1）得2
160cos 60sin cos 22=︒-︒=α，所以球心角360π=︒=α，所以A 、B 两点的球面距离是R 3
π。

例6（2006年全国高考四川卷）已知A 、B 、C 三点在球心为O 、半径为1的球面上，
A 、
B 两点的球面距离是4π，A 、
C 两点的球面距离是4π，B 、C 两点的球面距离是3
π，求二面角C-OA-B 的大小。

解：将A 点放在北极端点上，B 点放在本初子午线上，画出图形结合已知条件可知B 、C 两点的纬度均为︒45，即︒=ϕ=ϕ4521，球心角︒=α60，故由推论2的（1）得()212cos 45sin 60cos θ-θ+︒=︒()︒=θ-θ⇒=θ-θ⇒900cos 2121，所以两点的经度差为︒90，故知二面角C-OA-B 的大小︒90。

例7（2007年高考四川卷）设球O 的半径为1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、
C 两点的球面距离都是
2π，且二面角C OA B --的大小为3
π，则从点A 沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是___________。

解：因为球O 的半径为1，故由题意知∠AOB=∠AOC=2
π，又二面角C OA B --的大小为3π，所以B 、C 都在0弧度纬度上（赤道线上），经度差为3π，故由推论2的（2）知B 、
C 两点的球面距离BC=33cos 0cos 0sin arccos 122π=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡π⋅+⋅。

所以点A 沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是3
4322π=π+π+π。

例8 地球上有两地A 、B 都位于同一纬度为ϕ的圆圈上，它们的经度差为θ，求A 、B 两地的球面距离（地球的半径为R ）。

解：由题意及推论5得⎪⎭
⎫ ⎝⎛ϕθ=α⇒ϕθ=αcos 2sin arcsin 2cos 2sin 2sin ，所以A 、B 两地的球面距离180R 2180R d π=απ=。

⎪⎭
⎫ ⎝⎛ϕθcos 2sin arcsin （角度以度为单位）。

例9 众所周知，第28届奥运会已于2004年在希腊首都雅典举行，它们于东经︒24北纬︒38，而第29届奥运会将于2008年在我国首都北京举行，它位于东经︒116北纬︒40，你能计算北京和雅典的球面距离吗？
解：设雅典的经度为1θ，纬度为1ϕ，北京的经度为2θ，纬度为2ϕ，从地图上可知︒=θ241，︒=θ1162，︒=ϕ381，︒=ϕ402，将它们代入定理1的（1）查表计算得
2079.0cos -=α，78.1102≈︒=α弧度，又知地球的半径6370=千米，所以北京和雅典的球面距离为劣弧11340637078.1R AB =⨯=⋅α=（千米）。

例10 （中国经营北京—纽约直飞航班的距离问题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京——纽约直飞首航成功完成，这是中国承运人第一次经极地经营北京——纽约直飞航线。

而从北京至纽约原来的航线是：北京（东经︒116，北纬︒40）——上海（北纬︒31，东经︒122）——东京（北纬︒36，东经︒140）——旧金山（北纬︒37，西经︒123）——纽约（西经︒74，北纬︒40）。

如果飞机飞行高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，你能计算新航线的空中航程比原航线的空中航程缩短了多少吗？
略解：在地球上，两地间飞行的最短距离是这两地所在大圆（其半径为地球的半径与飞行高度之和）的两地间的劣弧长。

本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长；北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度之和，然后求它们的差。

通过计算得新航线比原航线飞行距离大约缩短了4232千米。

由上述各个例题可知，高考题、竞赛题和实际生活问题都有涉及球面距离问题，且题型丰富多彩，千变万化，但从本文定理的推导过程知其本质是球面知识、平面三角知识和立体几何的线线角、线面角、面面角等知识的交汇。