浅谈经典物理,相对论及量子力学

浅谈经典物理、相对论及量子力学
宋雨晴（2007213177） （华中师范大学物理科学与技术学院 07 级基地班，武汉，430079） 摘 要：经典物理是一门已经得到了充分地发展的科学，而与其有着矛盾的相对论和量子力 学也推动着物理学进入了新时期。本文介绍了经典物理、相对论和量子力学的基本方程，并 通过比较量子力学与相对论、量子力学与经典物理来揭示量子力学的本质。 关键词：经典物理 相对论 量子力学 一维势阱 某物体的坐标和动量，通过牛顿运动定律
v
ˆ 的偏差的平方平均值 学量的算符 f
ˆ− f) (Δf ) = ( f
_______ 2
_______ 2
____________ 2
来 量 度 ， 符 号
ψ (r , t ) 是一种几率波幅，表示的是某些叠
加态的几率，而不是振幅的叠加。微观粒子 所呈现出来的波动性， 只是波动性中最本质 的东西——波的“叠加性” ，抛弃了经典波 中“实际物理量在空间的分布”这一概念。 总之， 微观客体有着它自己独特的本性—— 波粒二象性。它并不是经典意义下的粒子， 只不过是在和物质相互作用时呈现出粒子 性，服从粒子间相互作用机制；它也不是经 典意义下的波，只不过在空间传播过程中， 呈现出波动性，会发生干涉、衍射。
7 测量
8 量子力学与相对论的共同之 处：属性成了关系
相对论坚持因果律和连续性， 而量子力 学的哥本哈根解释则注重统计解释和不确 定关系。两者在本质上有着很大的矛盾。然 而， 从某个角度来说， 它们又有着共同之处。 在狭义相对论中， 我们知道物体运动尺 度缩短也是时空的基本属性， 与物体内部结 构无关。在 ∑ 上观察固定于 ∑′ 上的物体长 度缩短了。长度缩短效应是相对的，同样在 ∑′ 上观察 ∑ 上的物体长度也是缩短的。运 动 长 度 l 与 静 止 长 度 l0 之 间 存 在 关 系 式
9 量子力学与经典力学的比较
通过对一维方形势阱的探讨，我们会对 微观粒子的波粒二象性有更加深刻的体会。 设质量为 m的粒子在宽度为 2a 的一维对称 方形势阱中运动，[4] 一维方形势阱，势能是
⎧0, U ( x) = ⎨ ⎩− U 0 ,
解：定态薛定谔方程为
当x > a 当x < a
。
−
h2 ψ ′′ + U ( x)ψ = Eψ 2m
−8
v v ∂B ∇× E = − ∂t v v v v ∂E ∇ × B = μ 0 ( J + J D ) = μ 0 J + μ 0ε 0 ∂t v ρ ∇•E = v ∇•B = 0
ε0
(v << c ≈ 3 × 1010 cm / s ) 所作的机械运动。
牛顿三大定律进行表述。具体地说，一个物 v 体的运动状态可以由它的坐标 r 以及动量
4 高速运动的规律
当物体的速度接近光速时， 就需要用狭 义相对论来描述，它是高速运动的基本规 律。 通过洛伦兹变换来反映同一事件的时空 坐标在不同惯性参考系之间的变换关系。 若 ∑′ 系相对于 ∑ 的运动速度为 v ，则相对论 时空坐标变换公式为：
波假说的启发下， 对微观粒子能量量子化问 题给出了一个系统的理论方案， 即把它作为 一个波动方程的本征值问题来处理。 他深入 分析了正则形式下经典粒子与几何光学的 相似性， 并参照几何光学与波动光学的光学 的关系，建立起粒子的波动力学，提出薛定 谔方程
（1）
在图中所示的三个区域里分别为
l = l0 1 −
v2 。 c2
ψ 1″ +
同样， 既然在量子力学中观察会对被观 察客体产生干扰， 那么用不同的实验装置对 同一粒子进行观察所得到的结果应是不同 的。量子力学中的基本问题不再是（1）系 统 S 具有物理量 F 的某一值 f n 的几率 a n 是多少， 而是 （2） 基于实验装置 A 对系统 S 中的物理量 F 进行测量，得到的结果为 f n 的几率是多少。简而言之，就是系统的状态 对于一个 就不仅仅取决于 S ， 还与 A 有关。 系统状态的描述， 表示的是粒子和全部涉及 到的测量仪器间的一种关系。 在这一点上，比较相对论与量子力学， 就会发现它们存在着共同之处。相对论中， 在不同参考系里对同一物理量进行测量会 得到不同的结果；在量子力学中，不同的实 验装置也会对测量结果产生影响， 因为不同 的实验装置决定了什么是可以测量的量。 这 样，类似于“长度” 、 “面积”等这些在牛顿 物理中被视为物质客观属性的物理量在狭 义相对论中都成了关系， 必须要说明是在参 照哪一惯性系才能正确地说明它们具有怎 样的值。同样，在量子力学中，也必须指明 是通过怎样的实验装置对粒子的坐标和动 量进行测量才有意义。
它反映了一般情况下电荷电流激发电磁场 以及电磁场内部运动的规律。 在ρ 和J 为0 的区域， 电场和磁场通过本身的互相激发而 运动传播。 电磁场的相互激发是它存在和运
v
v v p （或速度 v ）来描述。若知道了在时刻 t 0
动的主要因素， 而电荷和电流则以一定形式 作用于电磁场。 麦克斯韦方程组具有重要的 物理意义，既揭示了电磁场的运动规律，也 揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。 也就是说，在电磁学和电动力学中，场 的运动状态是由电场强度 E ( r , t ) 和磁感应
3 电磁场和电动力学
电磁场的研究对象主要是稳恒的电场、 磁场以及电磁波的传播。电荷守恒定律、麦 克斯韦方程组和洛伦兹力公式的三维和四 维形式是经典电磁场的普遍规律。 其中，真空中的麦克斯韦方程组为：[2]
2 经典力学
经典物理的研究对象是宏观的物理现 象，包括低速宏观物体的运动、电磁场以及 电荷体系与电磁场相互作用几个方面。[1] 所谓低速宏观物体的运动是指特征尺 度远大于原子尺度 (l >> a ≈ 10 cm) 的物 体 以 远 低 于 光 速 的 速 度
从而成功地解决了量子态怎样随时间演化 以及在各种具体情况下如何求出波函数的 问题。 微观粒子所遵从的方程是薛定谔方程， 它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。 作为量子力学中最基本的方程， 它是一种假 设，不能用更根本的假定来证明它，其地位 与牛顿方程在经典力学中地位相当。
6 微观粒子的波粒二象性
戴维逊—革末的电子衍射实验证明了电 子的波动性， 从而使微观粒子具有波粒二象 性的说法有了实验证明， 从实验上充分证实 了德布罗意假设的正确性。那么，微观世界 中的粒子和经典力学中的粒子有什么不同
v v d 2r v F = ma = m 2 和运动学方程， 我们就可 dt
以知道任意时刻 t 该物体的运动状态。因为 v v 在任意时刻 t ，物体的坐标 r 和动量 p 都有 确定值，它们均是可以测量的物理量。当然 在经典力学中还可以用拉格朗日和哈密顿 方式来表述， 虽然在形式上与牛顿运动定律 有所不同，但三种方式的实质内容是相同 的，可以互相推导。
程可写为协变形式 K μ =
dp μ dτ
5 量子物理
在微观世界中， 一个粒子的量子态用波 函数 Ψ ( r , t ) 来描述，它本身是不可观测的 量， 其作用只在于用它可以对微观粒子的各 种力学量（坐标、动量、能量、角动量等等） 的观测结果作出预言。波函数 Ψ ( r , t ) 本身 是没有物理意义的， 其意义在于玻恩对它的 统计解释。 既然一个微观粒子的状态是用波 函数来描述的， 我们就需要知道一种运动规 律，通过它能够求得在任一时刻 t 的波函数
v
Δf = (Δf ) 就表示的是 f 的偏差。在经
典物理中， 粒子的坐标和动量是可以同时确 定 的 ， 也 就 是 同 时 要 满 足
Δqຫໍສະໝຸດ Baidu→ 0, Δp → 0 。这时就必须有 h → 0 。
从而表现了量子力学向经典力学的过渡。 事 实上不确定关系表明，对于微观物理学，不 可能像在经典物理学中那样， 也建立一种误 差修正理论， 忽略或是用补偿法进行修正实 验对象或者说微观客体与测量仪器之间的 相互作用。 这种相互作用成了现象的不可分 割的部分。 任何量子力学测量的结果告诉我 们的并不是客体本身的态， 而是客体所处的 [3] 整体实验情态。
x′ =
x − vt 1− v2 c2
，
ih
∂ h2 2 v v ψ (r , t ) = (− ∇ + V )ψ (r , t ) ∂t 2m
y′ = y ，
z′ = z ，
v x c2 t′ = v2 1− 2 c t−
经典力学对伽利略变换来说是协变的， 在旧时空概念下， 牛顿定律对任意惯性系成 立。由于时空观的发展，洛伦兹变换代替了 伽利略变换， 经典力学的原有形式不再是协 变的。 在相对论力学中外界对物体的作用可 以用一个四维力矢量 K μ 描述，力学基本方
呢？如果电子流很弱， 以致电子是一个一个 通过”光栅”的，在底板上看到的将是一个个 不相重叠的斑点。 这也就说明了电子在与底 板上的原子发生相互作用时， 是一份份地交 换能量、动量和电荷，体现出了一个完整的 粒子所具有的性质。同时，我们也发现，电 子在底板上的斑点并不重合。也就是说，它 们并不是沿相同的轨道运动的。 而在经典力 学中，在相同的实验条件下，电子所受到的 力以及初始条件和边界条件都是相同的， 轨 道也就应该相同。 所以微观世界中的粒子性 和经典物理中的粒子所具有的特性并不能 完全等价。电子所具有的粒子性，只是经典 粒子概念中“原子性”或“颗粒性” ，即总 是以一定的质量 m 、 电荷 e 等属性的客体出 现，抛弃了经典粒子概念中的“粒子有确切 轨道”的概念。在电子衍射实验中，如果让 曝光时间足够长， 就会发现底板上的斑点是 有规律分布的，呈现出了衍射图样，与入射 电子流强度很大时的衍射图样是一样的。 于 是就说明了电子在传播过程中呈现出了干 涉、衍射这些“波”的特征行为，并且实验 所显示的电子的波动性是许多电子在同一 实验中的统计结果， 或是一个电子在许多次 相同实验中的统计结果 （单个粒子也有波动 性） 。与经典的波不同的是，微观世界中的 波并不是实在的、可直接观察的波动。经典 波的衍射图样体现的是振动的强弱分布， 而 微观粒子的波是几率波， 反映的是微观客体 不确定性的统计规律。波函数的振幅
1 前言
微观粒子具有与宏观物体运动不同的 规律，从根本上说，这是由微观粒子本身的 性质——波粒二象性决定的。 虽然相对论遵 循因果律和确定性， 和量子力学有着本质上 的区别，但它们却仍旧有着相似之处。本文 对这三者的联系及不同进行了简单的介绍。 内容安排如下： 2、 3 两节介绍经典物理的基 本内容；第 4 节简单地谈了狭义相对论；第 5、 6 节简介量子力学的基本知识以及对微观 粒子波粒二象性的认识； 第 7 节着重说明了 经典物理与量子力学在测量上的差异；第 8 节讲述了相对论与量子力学的相似之处； 最 后通过对一般情况下一维方形势阱的求解， 来比较微观粒子和经典粒子的不同。
v v
v v 强度 B ( r , t ) 来描述的。若已知 t 0 时刻在空 v 间坐标 r0 处的电场强度或磁场强度， 则可以
通过麦克斯韦方程组和推迟势公式求得空 间中任一点在任一时刻的电场或磁场。
v
v
v v v v E (r , t ) 、 B (r , t ) 也是实验直接可以测量的
量。
v Ψ (r , t ) 。1926 年，薛定谔在德布罗意物质
经典物理与量子力学相比，一个很大的 不同之处就在于经典物理中的物理量都是 可以直接测量的， 而在量子力学中对物理量 的精确测量则存在一种限制， 即为不确定关 系
Δp • Δq ≥
h 2
也就是说，坐标和动量不能同时确定。在原 先， 这一海森堡关系式往往被称为测不准原 理。要注意的是，测不准并不是由于测量仪 器精确度不够而导致的无可奈何的结果， 反 之， 不如说是这个原理以及同观察者总要不 可避免地对实验对象产生干扰这个性质结 合起来，是不可能达到精确测量的原因。从 这个意义上说， 坐标和动量的无法同时确定 是量子世界的基本原理， 并不是实验手段不 完善的后果，因此，将其称为不确定关系更 为合适。 这一关系是微观粒子波粒二象性矛 盾的反映， 并给我们指出了使用经典粒子概 念的一个限度。这个限度用普朗克常量 h 来 表征。当 h → 0 时，量子力学将回到经典力 学，或者说量子效应可以忽略。因为某一力 学量 F 在状态 Ψ ( r , t ) 中的平均值为 f ，F 在该状态中的取值的不确定程度用它对力