Matlab信号处理——小波变换

小波变换核函数的表达形式是什么？具体表达式是什么？小波变换的结果是如何表示的？

答：小波变换是一种时频分析方法，其基本思想是，把信号首先划分为许多小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一段小的时间间隔，以便确定信号在该时间间隔存在的频率。这样就克服了傅立叶变换无法表达信号的时频局部性质的缺陷。

基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很 快在数学上满足积分为零的条件：

即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个区间外是 零，这是一类衰减最快的小波。

一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生：

)(1)(,a a x a

x b a -=ψψ 其中，a 为尺度参数，b 为位置参数。

常用的小波基函数有：

Haar 小波：H 1,00.51,0.510,x x ψ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他

Daubechies 小波：1

10P()N N k k k k y C y --===∑

Biorthogonal 小波：,,()()j k j k c

s x x dx ψ=⎰ ,,,j k j k j k

s c

ψ=∑ Coieflet 小波：如果()s x 是一光滑的连续时间信号，对较大的j

系数，则有2,,2(2)j j j k s s k φ-≈

如果)(x s 是一个d 级多项式，1-≤N d 则有

)

2(2,2,k s s j j k j -=ϕ Symlets

小波：假定2100

()N jkw k k m w h e --==∑，考虑20()m w 为jw z e =的函数W ，可以用不同的方法分解W 为1()()()W z U z U z

=—— Mexican Hat

小波：21422()(1)x x x e ψ--⎫=-⎪⎭ ∞<ψ==⎰⎰∞

∞-∞

∞-ds s

s C dt t 2)(0

)(ψψ而且其频谱满足条件：

Meyer小波：

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∉

≤

≤

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

≤

≤

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=-

-

3

8

,

3

2

,0

3

8

3

4

,

1

2

3

2

cos

)

2(

3

4

3

2

,

1

2

3

2

sin

)

2(

)

(ˆ2

2

1

2

1

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ψ

w

w w

V e

w w

V

e

w iw

iw

小波变换的结果是用图像来表示的。