定积分的近似计算方法..

定积分的近似计算方法

摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求

积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.

关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算

1引言

在计算定积分的值()b a

I f x dx =

⎰

时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函

数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()b

a

I f x dx F b F a =

=-⎰

.但在实际应用中,

这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2

b

x a

e dx ⎰

,2

sin b

a x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.

与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替

()f x ,且()b

a

x dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()b

a

f x dx ⎰转化为求简单的积分值

()b a

x dx ϕ⎰.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.

2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法

牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.

利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：

给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数

()(0,1,2,...,)i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式

()()()

n

n i i i x f x l x ϕ==∑,

其中 011011()()()()

()()()()()

i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=

----,将插值公式

(1)1()

()()()

(1)!n n n f f x x x n ξϕω++=++.

其中 1012()()()()()n n x x x x x x x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得

(1)1()

()()()(1)!

n b

b b

n n a

a a

f f x dx x dx x dx n ξϕω++=++⎰

⎰⎰

(1)(1)0

()

()()()(1)!

n n

b b

i

i

i

n a

a

i f f x l x dx x dx n ξω++==++∑⎰⎰

(1)(1)0

()

()()()(1)!n n

b b

i i n a

a

i f f x b l x dx x dx

n ξω++==++∑⎰⎰

若记 (),(0,1,2,b

i i

a A l x dx i =

=⎰

….. )n (1)

(1)1()

[]()(1)!n b

n a

f R f x dx

n ξω++=+⎰

, (2)

则有

()()[]n

b

i i a

i f x dx A f x R f ==+∑⎰

(3)

称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,

[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.

2.1.1梯形求积公式

1梯形公式

当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数

10012b

b a

a x x x

b b a

A dx dx x x a b ---===

--⎰⎰,

01102b

b a

a x x x a

b a A dx dx x x b a ---===

--⎰

⎰.

从而的求积公式

()[()()]2

b

a

b a

f x dx f a f b -≈

+⎰

. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.

2梯形公式截断误差: 3

*()[](),12

b a R f f ξ-''=-

*[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2

b

a

b a

dx b a x b a -=-=

+=-⎰

. 精确成立.

2.1.2 辛普森求积公式

1辛普森求积公式

当选取节点为012,,2

a b

x a x x b +==

=时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()

2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===

+----⎰⎰,

0211002()()()()2()

()()3()()

22b

b a

a x x x x x a x

b b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===

++----⎰

⎰.

0122021()()()()2()()6()()

22b b a a a b

x a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +--

---===

++----⎰⎰ .

从而求积公式

()[()4()()]62b

a

b a a b

f x dx f a f f b -+≈

++⎰

. （6）

称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.

2抛物线求积公式误差估计

定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:

5(4)**

()[](),[,]2880

b a R f f a b ξξ--=

∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.

易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4

()f x x =时,式(6)不能精确成立.

2.1.3 牛顿-科茨公式

1牛顿-科茨公式