2012-5-8-6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

证明:充分性 由于 [a,b] [0,1] ,因此我
们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可. 见下图 必要性 设X是一个正规空间，A和B 是X的两个无交的闭集,QI Q [0,1] .
QI {r (1), r (2), r (3)} 不妨设r(1)=1和
r(2)=0
继续
X A B
Ur (1) ,Ur (2)
, 满足 U
r (2)
Ur (1)
，则
满足(1)和(2),设对于n>2,A
的开邻域 Ur (1) ,,Ur (n1) 已经定义.
令 s max{r (i}| r (i) r (n), i 1,, n 1}
b max{r (i}| r (i) r (n), i 1,, n 1}
是实数空间R的一个子基，从而[0,1]
的一个子基为 S1 S| [0,1]
则
S1 {(a,1]| a [0,1)} {[0, b) | b (0,1]} { ,[0,1]}
事实上 S S1 { ,[0,1]}还是[0,1]的一
个子基.
因此我们只需证明 S 的每一个元素 在 f 下的原象是开集就可以了.
f
0
1
下面我们要做的工作是对每一个有理 数r(n)∈QI,对应着A的一个开邻域 Ur(n),使得满足条件：
(1) Ur (1) B ; (2) 若 r (n) r (m) ,则
U
r (n)
U r ( m) .
接下来我就用归纳的方法定义A的 见下图 这些开邻域：
A
B
继续
ห้องสมุดไป่ตู้
取 Ur (1) B ， r (2) U
如果x B 如果x B inf{r Q r | x U r } f ( x) 1
显然如果 x A ,则 x U r (2) ，所以 f(x)=0 ；若 x B ，则 f(x)=1 .
下面证明 f 的连续性，我们知道： S = {(a, ) | a R} {, b) | b R}
§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
定理6.3.1 设X是一个拓扑空间， [ a, b] 是一个闭区间，则X是一个正规空间 当且仅当对于X中的任意两个无交的 闭集A和B，存在一个连续映射 f ( x) a x A f 使得当: X [a, b] 时 和当 时
xB
f ( x) b
见图
由定理6.2.2，选取Ur(n)为 U s 的一 个开邻域使得 U
r ( n)
Ub ，从 Ur(n)的
取法可知A的诸开邻域仍然满足条件
(1)和(2).
根据归纳原则，A的诸开邻域已经全 部定义，且满足条件(1)和(2).
见图
定义映射： f : X [0,1]
使得对任意 x X ,
f •即证对于任意 a [0,1) ， ((a,1])
1
是X中的开集; •对于任意 b (0,1] ，f ((0, b])
1
是X中的开集.
定理6.3.2
T4 空间中的任何一
个连通子集如果包含多于一点,则它
一定是一个不可数集.
引理6.3.3 设X是一个正规空 间,A是X中的一个闭子集, 是一个 正数,则对于任何一个连续映射:
f : A [a, b]
有一个连续映射 g : X [a, b]
是 f 的扩张
作业：1
g : A [ , ]
存在一个连续映射g : A [ 1 , 1 ] 3 3

使得对于任何
有| g (a) g (a) | 2 a A 3
*
定理6.3.4 设X是一个拓扑空间, [a,b]是一个闭区间,则X是一个正规空
间当且仅当对于X中的任何一个闭集A
和任何一个连续映射