第一章仿射几何学

第二部分高等几何学习指导
第一章仿射几何学
本章内容的安排在于揭示一种思想方法，从观察到概念形成到不变量系统再到代数系统，这种安排思想也充分反映了历史上射影几何建立过程中综合方法与解析方法各有所长交替作用互相影响的发展历程。

本节研究的内容来自于生活、自然与生产建设实践，如正交变换是从研究我们生活空间中物体位置改变的最简单的情形移动、转动和镜面反射开始的，仿射变换则是从太阳光的照射开始的。

因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。

《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。

怎样进行观察？需要注意三点：一是有意识、有目标，处处留心，总想‘找岔儿’，从中发现点什么，否则就会熟视无睹，看等于不看；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出‘门道儿’，而只能是‘外行看热闹’；三是要有方法，否则就看不到‘点子’上，抓不住要领。

在观察中，要特别注意从个别想到一般，从平常中发现异常”；而“归纳是由个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、以实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。

人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。

通过本章学习，首先对观察、归纳应该有一个较为深刻的认识，为在以后的学习中能熟练应用观察而打下良好的基础，其次对数学研究的目标之一——对象的结构——有一个初步的了解。

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§1 正交变换
本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。

其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。

一、基本概念
实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有
平移0X l ： ⎩⎨⎧+='+='0
0y y y x x x ， 即 0X X X +='； (b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有
旋转θr ： ⎩⎨⎧+='-='θ
θθθcos sin sin cos y x y y x x ，
即 X X ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-='θθθθcos sin sin cos ； (c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有
反射x r ： ⎩⎨⎧-='='y
y x x ， 即 X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='1001。

这三种变换是平面上物体运动的最基本方式，它们的组合就形成了物体在平面上的丰富多彩的运动方式。

这三种变换有一个最基本的共同的度量特征“保持两点间的距离不
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变”，从而它们的组合也是如此。

由此可给出如下概念：
正交变换 保持任何两点间的距离不变的变换。

通过研究正交变换的不变量系统：保持两点之间的距离不变；保持直线之间的夹角不变等，由此可建立起相应的在正交变换下保持不变的笛卡尔直角坐标系。

二、重要结果
1．正交变换的代数表示：
,23
2221131211⎩⎨⎧++='++='a y a x a y a y a x a x 其中 0,122122111222221212211=+=+=+a a a a a a a a 。

或用矩阵表示为 )(,
0I AA X AX X T =+=' （满足I AA T =的方阵A 称为正交矩阵。

）
2．正交变换的结构定理
定理：正交变换可分解为平移、旋转和反射的积。

三 例题选讲
例 求以直线0=++C By Ax 为轴的轴反射变换公式。

解 当0≠A 时，直线与x 轴的交点为)0,(0A C X -
15 斜率为,B
A tg -=θ 则 22222cos
B A A B +-=θ， 2222sin B
A A
B +-=θ 。

通过正交变换的分解可得
)(00X l r r r l X X x X --='θθ
即
00)(cos sin sin cos 1001cos sin sin cos X X X X +-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='θθθθθθθθ 00)(2cos 2sin 2sin 2cos X X X +-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθ 将各已知量分别代入，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+--+-='+-+-+-='22222222222222222222B A BC y B A A B x B A AB y B A AC y B A AB x B A A B x （*） 容易验证，当A=0时，（*）式也成立。

所以（*）为所求。

评注： 正交变换，寥寥几页，但在全书中的地位十分重要，因为它揭示了贯穿于全书的研究思想方法：
（1）观察具体的实际现象及相关资料（平移、旋转和反射）；
（2）归纳抽象，形成概念（正交变换）；
（3）研究不变性质（正交变换的不变量系统）；
（4）利用不变量系统建立相应的坐标系（笛卡尔直角坐标系）；
（5）研究对象的结构（正交变换的分解）。

§2 仿射变换
本单元主要分两个部分介绍仿射变换，其一是通过平行投影建立仿射对应，研究仿射变换的不变量系统；其二是利用仿射变换的不变量系统建立与之相应的仿射坐标系，利用解析法研究仿射几何。

一、基本概念
空间中的物体在太阳光的照射下，会在地面上投下影子。

若物体是平面图形，那么图形和影子之间即建立了一种一一对应。

太阳光线可近似地看成是平行的，从而我们有以下概念。

1．平行投影：若从平面π到平面π'的一一点对应满足对应点的连线互相平行，则称此对应为从平面π到平面π'的平行投影。

注：透视仿射对应就是平行投影。

2.仿射对应：有限个平行投影的积。

注：仿射变换的结构（即仿射变换的分解）问题已解决，即仿射变换可分解为有限个平行投影的积。

但我们仍然可提出这样的问题“最少可用几个透视仿射变换表示仿射变换？”
3.仿射不变量和仿射不变性
图形的在仿射变换下保持不变的性质（数量）称为图形的仿射不变性（仿射不变量）。

4．单比
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设A 、B 、C 三点共线，称有向线段的比值
BC AC 为A 、B 、C 的单比，记为)(ABC ，即BC
AC ABC )(。

注：单比的实质是解析几何中的定比分点中的分比，两者之间相差一个符号而已。

由此可见，仿射几何对解析几何会有重要的指导意义。

二 重要结果
1．仿射对应的不变量体系
① 基本不变量： 同素性、结合性、平行性、单比； ② 常用不变量： 平行线段之比、封闭图形面积之比。

注：（1） 由基本不变量和常用不变量经过“组合”，可导出许多不变量，如线段的中点、三角形的中线和重心、平行四边形的性质等。

（2） 必须引起重视的是角度不是仿射不变的。

2．仿射坐标系（根据仿射不变量体系所建立的相应的
坐标系）
其中PP x //EE x //y 轴，PP y //EE y //x 轴，且x 轴与y 轴上不一定垂直，其上的度量单位在一般情形下不一致。

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3．仿射对应的代数表示 0,22211211232221131211≠⎩⎨⎧++='++='a a a a a y a x a y a y a x a x
或 0,0≠+='A X AX X 。

4．仿射几何基本定理： 不共线的三对对应点唯一决定一个仿射对应。

注：为什么要研究变换的不变量？
我们所研究的变换是连续性的，一个图形经过连续变形而变到另一个图形，在连续变化过程中得到的一系列图形具有一定的共性。

这种共性是变化前后的图形都拥有的，换句话说，这种共性不因变换而改变，即它们是变换的不变量（性质）。

不变量的作用在于：（1） 我们可以从特例或比较简单图形的性质导出复杂图形的性质，这是从特殊到一般的哲学思想在几何研究中的体现。

（2） 不变量系统可使我们弄清楚几何学的构建或者解决结构问题。

例如我们研究n 阶矩阵的特征值和特征向量而导致线性变换下的不变子空间，最终导致线性空间分解为不变子空间的直和。

又如我们研究正交变换下的不变量系统，导致我们建立笛卡尔直角坐标系，从而给出正交变换的代数表示，最终导出正交变换可分解为平移、旋转和反射的积，从而解决了正交变换的结构问题。

三、例题选讲
例1 求椭圆122
22=+b
y a x 的面积。

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解 适当选取仿射变换 ⎪⎩⎪⎨⎧='='y
y x a b x ，将椭圆变成圆。

因为面积之比是仿射不变量，
所以 B
A O OA
B S S S S '∆∆=圆椭圆 所以
b b ab S ππ=⋅=
22椭圆
小结：（1） 由本例可建立
模型：在仿射变换下，叙述形式保持不变的命题（称为仿射命题）。

解法：适当选取仿射变换或仿射坐标系，将一般问题变为特殊情形，使问题获得解决，再利用不变性返回一般情形。

(2) 仿射几何是射影几何的子几何。

本章在全书中的作用是为射影几何的展开铺路、提供素材，以便初学者入门。

例2 梯形两底的中点，两腰的交点，两对角线的交点，四点共线。

分析 梯形、线段的中点、直线的交点和点共线都是仿射不变的，从而本命题的叙述形式在仿射变换下保持不
解 取两底中点的连线为y x 轴建立仿射坐标系如图，那么
AC 的方程为 x+(a+1)y –1 = 0 BD 的方程为 x-(a+1)y+1 = 0 解得P 的坐标为 （0，1） AD 的方程为 x+(a-1)y+1 = 0
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BC 的方程为 x-(a-1)y –1 = 0
解得Q 的坐标为 （0，1/（a - 1））。

所以O 、M 、P 、Q 都在y 轴上，即O 、M 、P 、Q 四点共线。

例3 求把直线x+y –1 = 0，x –2y = 0 分别变为x –y+1 = 0，2x + y –1 = 0 及把点（1，1）变为 （1，1）的仿射变换。

为了提高解题的效率，培养解决问题的能力，我们根据解题的一般过程，来完成本问题的解答如下。

一、归类：求公式的计算题，常用的方法有待定系数法等。

二、知识点：仿射变换。

三、联想
仿射变换的性质：同素性、结合性、平行性、单比不变等。

仿射变换的代数表达式：
,232221131211⎩⎨⎧++='++='a y a x a y a y a x a x 022211211≠a a a a 。

四、分析
仿射变换是由点的形式表达的，那么直线变为直线是如何表示的呢？
直接从变换式看，我们有直线 0131211=++a y a x a 变为直线0'=x ，直线 0232221=++a y a x a 变为直线 0'=y 。

可以设想，对应本题有
21 ⎩
⎨⎧-=-'+'-+=+'-')2(12)1(1y x m y x y x k y x 。

五、叙述：
解 设 ⎩⎨⎧-=-'+'-+=+'-')
2(12)1(1y x m y x y x k y x 。

把（1，1）变为（1，1）代入得 2,1-==m k ，
⎩⎨⎧+-=-'+'-+=+'-'y
x y x y x y x 421211 。

解得所求变换为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-='-+-=')524(31)15(31y x y y x x 。

六、总结
类型：求仿射变换的代数表示式，特征是线、线、点变到线、线、点。

方法：待定系数法；
技巧：用另一种角度，即直线变为直线的角度去看待用点表示的仿射变换，从而把6个待定系数减少到2个。

七、研究
1．求仿射变换： 仿射变换是点变换，而本例是通过直线变为直线和点变为点的情形来解决变换问题的。

因此可以想到还有
（1） 点、点、点变为点、点、点；
（2） 线、点、点变为线、点、点；
22 （3） 线、线、线变为线、线、线。

经过实验可发现，（2）涉及到一个仿射不变量，即两点到一直线的距离之比是仿射不变量。

因此，当两个原象点到原象直线的距离之比与两个象点到象直线的距离之比不等时，问题无解；而当两个原象点到原象直线的距离之比与两个象点到象直线的距离之比相等时，问题有无数解。

2. 指导意义：用待定系数法解决问题时，关键是如何减少待定系数的数目。

如考察双曲线的标准方程 122
22=-b
y a x ，将其化为1))((=-+b y a x b y a x ，而0=+b y a x 和0=-b
y a x 正好是渐近线，这可给下面的问题提供了解法。

求过点)1,1(-且以0143,02=+-=-+y x y x 为渐近线的双曲线。

解 设所求曲线为
a y x y x =+--+)143)(2(
将)1,1(-代入得 16-=a ，
故 16)143)(2(-=+--+y x y x
化简得 01495432
2=++---y x y xy x
在解析几何中，我们经常以点的坐标来表示曲线的方程，以上的例子说明当我们用另一种观点即用直线的观点来考察点方程时，往往能得到全新的解决问题的方法。

23
例4 求仿射变换 ⎩⎨⎧++='-+-='5
2212y x y y x x 的不变点和不变直线。

解 设),(y x 是不变点，则它们满足
⎩⎨
⎧++=-+-=5
2212y x y y x x 由此解得 3
4,611-=-=y x ，即所求的不变点为)34,611(--。

再设0=++c by ax 为不变直线，则由 0=++c by ax 变为0=+'+'c y b x a
及
)5()22()2()522()12(c b a y b a x b a c
y x b y x a c y b x a ++-++++-=++++-+-=+'+'
可知有
λ=++-=+=+-c
c b a b b a a b a 5222 由此解得a : b : c = 29:2:1或a : b : c =37:1:2-，故所求的不变直线为
0942=++y x 和 0736=+-y x 。

注意：变换的不变直线指的是直线作为一个几何元素通过变换保持不变，而不一定是其上的每个点都不变。

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训 练 与 提 高
1． 设D 、E 、F 各是ΔABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且
DE//AB ，DF//CA 。

求证： CDE BFD AEF S S S ∆∆∆=2。

2． 平行于平行四边形ABCD 的对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F 。

证明： CDF AED S S ∆∆=。

3． 在三角形的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB=1：n ，设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明： 1
)1(22
++-=∆∆n n n S S ABC LKM 。

4． 将三角形的每边分成三等分，再将每个分点与三角形的对应顶点相连，这六条直线构成一个六边形，求证：这个六边形的三双对顶点的连线共点。

5． 设A 1、B 1、C 1分别在ΔABC 的边BC 、CA 、AB 上，且B C AC A B CB C A BA 111111:::==，三线AA 1、BB 1、CC 1构成222C B A ∆。

求证：ΔA 1B 1C 1，ΔABC 与222C B A ∆有共同的重心。

6． 设M 是椭圆的不在长轴上的任意点，连M 和长轴的两端点，所得两直线交短轴于A 、B 两点，证明：OA ·OB 是常数。

7.设M 为椭圆上给定的一点，过椭圆的轴的端点A ，作AQ//OM （O 为椭圆的中心），交椭圆于Q ，交另一轴于P ，求：
25
2OM
AP AQ ⋅ 。

8.设A 、B 、C 三点共线，D 、E 是直线AB 外的两点且满足AD//BE ，EC//BD ，证明：ΔDBE 的面积是ΔADB 的面积与ΔBEC 的面积的比例中项。

9.设D 、E 分别是ΔABC 的边BC 、CA 上的点，满足（DCB ）=x,（EAC ）=y ，BE 交AD 于P ，证明：x
y x EBP )1)(1()(---= 。

10．试证：对于共线的四个不同点A 、B 、C 、D ，存在此直线上的一点M 使 （ADM ）=（BCM ） 。

问题探索：
（1）透视仿射变换的代数表示是什么？
（2）仿射变换成为透视仿射变换的充要条件是什么？
（3）最少能用几个透视仿射变换表示仿射变换？
（提示：在此我们提供一种思路，利用训练题10来考虑。

）
（4）还有其它的确定仿射变换的条件吗？
（5）一般体（域）上的仿射几何。

（参见第二版《高等几何》（梅向明等编）P.216）
（7）设φ是仿射变换,证明至少有一对互相垂直的方向在φ下的象仍然垂直。

(这样的方向称为φ的主方向，仿射变换可看成是沿主方向的伸缩。

)
（8）作出由ΔABC 与ΔA ′B ′C ′确定的仿射变换的不变点。

（提示：利用（3）的结论）
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阅读材料一 —— 封闭图形面积之比是仿射不变量
（1）由下图可导出
F B E A B X A X XB XA BD AC ''=''== 即“
是仿射不变量。

”
（2）由右图可导出 a a A XY XYA h h S S ''=∆∆ 即“有一条共公边在对应轴上的
两对应三角形的面积比是一个常数（这个常数与平行投影有关）。

”
（3）由下图可知
Z Y C Z X A Y X B CYZ AXZ BXY C
B A AB
C S S S S S S S S '
'''''''''''+-+-=∆∆∆∆∆∆∆∆
由（2）知这是一个常数（与平行投影有关）。

即有“对
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应三角形的面积之比是常数（与平行投影有关）。

”
（4）两三角形的面积之比是仿射不变量。

任取两个三角形ABC 和DEF ，根据（3）有
F E D DEF C B A ABC S S S S '
''∆∆'''∆∆= 即
F E D C B A DEF ABC S S S S ''''''=∆∆∆∆ （与平行投影无关）。

因为任何多边形总可剖分成若干个三角形，故由（4）可得
（5）两个多边形面积之比是不变量。

因为任一条闭曲线总可用闭折线来逼近，从而通过取极限获得
（6）两个封闭图形的面积之比是仿射不变量。

阅读材料二 —— 仿射变换的分解
定义：设ϕ是平面π的一个点变换ϕ。

若任给π∈Q P ,，都有)(//)(Q Q P P ϕϕ，则称ϕ是π的一个透视仿射变换。

定义1：设ππ',是两个平面，点对应ππϕ'→:。

若任给π∈Q P ,，都有)(//)(Q Q P P ϕϕ，则称ϕ是从π到π'的透视仿射对应。

定义2 有限个透视仿射对应的积称为仿射对应。

28
在仿射坐标系下，仿射变换的代数表示为
111213212223
x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨'=++⎩ 定理 仿射变换是透视仿射变换的充要条件是
131112212223
11a a a a a a -==-。

证明 设透视仿射变换为 f ，P(x,y)是平面上任一点，根据定义有
111213212223()(,)
((1),(1))
Pf P x x y y a x a y a a x a y a ''=--=-+++-+u u u u u u u r 平行于固定方向 (a ，b)，于是有
111213212223(1)(1)a x a y a a a x a y a b -++=+-+ 由x, y 的任意性，分别取（0，0）、（1，0）和（0，1）代入，即得
131112212223
11a a a a a a -==-。

反之，因为
131112212223
11a a a a a a -==- 那么由等比定理易得
29
111213212223(1)(1)a x a y a x x a y y a x a y a b
'-++-=='-+-+ 即Pf(P)平行于固定方向，所以f 是透视仿射变换。

定理 任一非透视仿射变换的仿射变换都可分解为两个透视仿射变换的积。

证明：如图，设仿射变换f 由三角形ABC 与三角形A B C '''的顶点,,A A B B C C '''与与与的对应而确定，选择一个与AC 与A C ''都不平行的方向v r 。

过,A C ''作与方向v r 平行的直线分别交AC 于,A C ''''；过B '作平行于方向v r
的直线和过B 平行于AC 的直线交于B ''。

记由对应点,,A A B B C C ''''''与与与确定一个透视仿射变换1f ；由,,A A B B C C '''''''''与与与确定一个透视仿射变换
2f ，那么 21f f f =非透视仿射变换的仿射变换都可分解为两个透视 仿射变换的积。

根据仿射变换的分解定理，我们立即得到代数上的一个
命题：设A 是二阶非奇异矩阵，则A 可表为两个以1为特征值的二阶非奇异矩阵的积。

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B'根据此分解定理，我们还可得到由两三角形确定的仿射变换的不变点的作图方法如下：
设仿射变换由ΔABC 与ΔA ’B ’C ’顶点之间的对应所确定。

过A 、B 、C 和A ’、B ’、C ’分别作两组平行线，如图，对应的平行线交成第三个三角形A 0B 0C 0；作出AB 与A 0B 0的交点，BC 与B 0C 0的交点，此两点的连线为l 1；再作出A ’B ’与A 0B 0的交点和B ’C ’与B 0C 0的交点的连线l 2，那么l 1与l 2的交点即为仿射变换的不变点。