第5章单自由度结构的非线性振动课件

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显然R大于零时，运动是稳定的。由单根的条件可以求出稳定运动的条件：
1
k3
220
3
186m13 p02
二、响应幅值的跳跃
，
a33 4kk3 1 2 021a3 4kk1 3
p0 k1
0
K 3 A 2 1 A 1 0
，
0
K
3 4
k3 k1
p0 k1
2
A k1 a p0
5.1.2 辐射状系泊船的的非线性纵荡运动
m * y cdy 2F HF w (t)
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2
F HFsin ly [R 0AlE ll]
sin y l
ll 1(y l)2
FH R0(yl )2Al3Ey3
m * y cdy 2R l0yA l3 y E 3F w (t)
5.1.3 铰接塔-油轮体系的非线性运动
响应幅值跳跃曲线
幅值。
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非线性结构体系的动力特性主要是：
（1）结构振动体系最重要的概念是固有频率,“固有”的意义就在于它与初始条件无关, 也与振幅无关，对非线性体系来说,这个概念不存在，体系自由振动的频率与振幅有关,固 有频率这个概念本身就没有意义；
（2）线性系统强迫振动的频率必然与激励频率相同,但非线性系统强迫振动时,有时异 于激励频率的振动成分很突出；
2）软刚度特性：如 k3 0 称为软刚度特性，随位移增加，刚度减小。
图5-4 非线性体系自由振动频率-幅值特性
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5.2.2 非线性结构体系的动力响应特性
一、运动的稳定性分析
稳定性指运动的幅值相位是否保持不变。稳定性的研究即是要研究在什么参 数的组合情况下，运动的幅值保持不变。
m y k1yk3y3p0co ts
（3）强迫振动问题中频率与响应的关系在线性系统和在非线性系统也大不相同,线性系 统的频率响应曲线是单值的,而非线性系统的频率响应曲线在一个频率点可能对应若干振 幅值,即出现响应多解；
（4）在简谐激励作用下,线性系统的振动仍然为简谐振动,响应的大小与初始条件无关, 但是非线性系统的响应与初始条件密切相关,由于初始条件不同,其振动响应的发展将出现 不同的结果,其一可能表现为周期振动,另外一个可能是更复杂的振动,例如运动失去稳定性 甚至进入混沌运动。
s
；
（1）随K减小，幅值响应特性近似于无阻尼线性系
统的频率响应函数，（非线性影响趋于零。）
（2）随K增大，幅值响应曲线向右倾斜。
（3）随频率比增大，幅值沿上一支曲线增大到图中 点S，沿曲线向下跳跃到下支曲线的 3 。
（4）从 减3小频率比时，沿下支曲线改变幅值，到 达频率比1.1，幅值从2跳跃到点3，沿上支曲线改变
第5章 单自由度结构的非线性振动
2008年10月
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1
非线性振动：当动力学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次 项外,还出现它们的高次项时,方程称为非线性的，由非线性方程描述的振动，称
为非线性振动。
5.1海洋工程中的非线性振动实例
5.1.1 舰船倾覆过程的非线性运动
I c 1 c 3 3 k 1 k 33 k 55 M 0 si tn
y 1 B 1 c~ o t B s 2 s~ it n 3 A ~ 3 2 2 c3 o ~ t s 2 t~ A A f 4 3 A 3
由消除永年项的条件得：
f A 3 A2
4
自由振动的频率是：
~20
3k3 A2 4m
1
2
自由振动的频率与初始条件有关，不再仅由系统的刚度和质量决定。
I c d ( ) g () (F ˆncn o s G ˆnsn i n ) n 0
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3
阻尼力矩：
d()DD 22
0 0
恢复力矩：
g() kk12
0 0
分段刚度系统
5.2 结构体系非线性振动的特点
5.2.1 非线性结构体系自由振动的频率特性
m y k1yk3y30 y0A ,y (0)0
（5）线性振动系统的振动作为稳定平衡附近的运动总是稳定的,而非线性振动呈现出多 种稳定和不稳定运动，稳定的振动（运动）使得相近的其它运动向自己靠拢,而不稳定运 动在数学上或近似解中虽然存在,却无法在物理上实现,因此运动的求解和运动稳定性的判 断对于非线性振动结构体系是十分重要的。
例题5-1 计算辐射系泊船横荡频率。系泊船的质量为8800000kg，离开 其平衡位置的振幅是A=0.914m。 恢复刚度 f(y)185.55 y7 12 49y34 (k1N )8k1185.5N7/m 2k31494N1/m 83
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5
解：
0188850.550170 2200.1 04(R 4a/sd)
yk1 yk3 y3 0 mm
20 k1 m
k3 m
设解的形式为： yy0ty1t
相应的频率：
~22 0fA
2 0~2fA
y 0 y 1 ( ~ 2 f ( A ) y 0 ) y 1 ) ( ( y 0 y 1 ) 3 0
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4
通解：
y 0 ~ 2 y 0 0 y 1 ~ 2 y 1 f A y 0 y 0 3 1 o 2 0 y 0~2y00 y 1 ~ 2 y 1fA y 0 y 0 3
~
20
3k3 A2 4m
12
~ 0 .14 23 4 1 4 4 89 8 0 .9 4 02 1 0 12 4 8 0 0 0 .10 ( 7 R7/a s)d
考虑非线性恢复刚度影响后，横荡频率增加了22.9%，结果表明了初始 条件和运动幅值对于“频率”运动快慢的影响。
如果初始位移为1.0m，则频率为：
y 2 0yk3y3p0co ts
m22 0ap04 3k3a3
a33 4kk3 1 2 021a3 4kk1 3
p0 k1
0
4k1 3k3
202
1
4 k1 p0
3 k3 k1
a3a0
三次方程根的判别式为： R 1 a3 12
27 4
0 三个不相等的实根
R
0，有重实根
0，1个单实根
~ 0.14 24 34 18489 0 12 4 0 12 1 00 8 .1 08 0 (R3a /s)d
考虑非线性恢复刚度影响后，横荡频率增加了27.1%。
计算结果表明：振动频率受初始位移的影响，固有频率概念不再适用。
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硬刚度特性与软刚度特性： （1）硬刚度特性： 如 k3 0称为硬刚度特性，随位移增加，刚度增大。