测度论基础

高等概率论（讲义）
一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：
一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；
二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；
三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。

建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。

参考书
[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982
[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007
[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991
[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980
基本内容
[1] 测度与概率
[2] 随机变量的刻画：分布函数
[3] 随机变量的刻画：特征函数
[4] 随机变量的收敛性
[5] 渐近分布理论
第1章 Lebesgue 测度与概率
1.1 集和类 ● 基本概念
所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。

不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。

[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。

[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；
[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；
如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。

如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。

[4] 集的基本运算
（1）交。

集合A 与B 的交集：
A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）
简记为AB 。

一般地，对于任意非空参数集T ，定义交集为
},:{T t A A
t T
t t
∈∀∈=∈ωω （1.1.2）
（2）和与直和。

集A 和B 的和定义为
A B A ∈=ωω:{ ，或者}B ∈ω （1.1.3）
如果φ= B A ，则称 B A 为A 与B 的直和，记为A+B 。

ωω:{=∈ T
t t
A
至少属于一个},T t A t ∈ （1.1.4）
并且，如果对任意T t s ∈,，φ= t s A A ，此时将 T
t t A ∈记为∑∈T
t t A 。

（3）差与余。

集A 与B 的差定义为
},:{B A B A ∉∈=-ωωω （1.1.5）
特别地，当Ω=A 时，B -Ω称为集B 的余集，记为c B 。

（4）上极限。

集合列}1:{≥n A n 的上极限定义为
ωω:{lim =∞
→n n A 属于无穷多个)}1(≥n A n （1.1.5）
可以验证：
∞
=∞
=→∞
=1lim n n k k n n A A （1.1.6）
（5）下极限。

集合列}1:{≥n A n 的下极限定义为
ωω:{lim =∞
→n n A 至多不属于有限多个)}1(≥n A n （1.1.7）
可以验证：
∞
=∞
=→∞
=1lim n n k k n n A A （1.1.8）
并且
n n n n A A →∞
→∞
⊂lim lim （1.1.9）
（6）极限。

如果
n n n n A A →∞
→∞
=lim lim （1.1.10）
则称集合列}1:{≥n A n 的极限存在，记为n n A ∞
→lim 。

定义1.1.1 如果集合列}1:{≥n A n 具有性质：对每个)1(≥n n ，1+⊂n n A A （或n n A A ⊂+1），则称}1:{≥n A n 是单调不减的（或者，单调不增的），简记为↑n A （或者↓n A ）。

不减或者不增的集合列，称为单调集合列。

定理1.1.1 单调集合列的集合列存在，并且 （ⅰ）如果↑n A ，则 ∞
=∞
→=1lim n n n n A A ；
（ⅱ）如果↓n A ，则 ∞=→∞
=1
lim n n n n A A 。

证明：（ⅰ）如果↑n A ，则
⊂⊂⊂⊂n A A A 21 （1.1.11）
因此，n n
k k A A =∞
= ，从而
n n n n
k k n n n n
k k n n A A A A A ∞
→∞=∞
=∞=∞=∞=∞
→=⊃==lim lim 11
1 （1.1.12）
也就是n n n n A A ∞
→∞
→⊂lim lim ，但是n n n n A A →∞
→∞
⊂lim lim ，所以n n A ∞
→lim 存在，并且等于
∞
=∞
→=1
lim n n n n A A （1.1.13）
类似地，可以证明（ⅱ）成立。

定义1.1.2（环、域） 假设F 是非空集类，满足条件
（1）对“差”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈-B A ； （2）对“和”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈ B A ； 则称F 是环。

进一步，如果F 是环，并且∈ΩF ，则称F 是域。

定义1.1.3（σ域）假设F 是非空集类，满足条件 （1）F ∈Ω；
（2）对“余”运算封闭：若F ∈A ，则F ∈c A ； （3）对“可数和”运算封闭：若F ⊂≥}1:{n A n ，则
F ∈∞
= 1
n n
A
（1.1.14）
则称F 是σ域（或者σ代数）。

例1.1.1 },{Ω⊂=A A F （Ω的一切子集的全体）是σ域，它是Ω为空间的最大的σ域。

例1.1.2 },{φΩ=F 是σ域，它是Ω为空间的最小的σ域。

定义1.1.4（可测空间、可测集、波莱尔可测空间）对于给定的空间Ω及其σ域A 所构成的),(A Ω称为可测空间，A 中的元素称为可测集。

特别地，如果),(∞-∞==ΩR ，B A =是以R 为空间、开集类所构成的σ域，则称
),(),(B A R =Ω为波莱尔可测空间
1.2 测度
定义1.2.1（测度）假设m 是定义在环C 上的集函数，如果满足条件： （1）0)(=φP ；
（2）非负性：∞≤≤)(0A P ，对任意∈A C ；
（3）σ可加性（或可数可加性）。

对于任意的C ⊂≥}1:{n A n ，)(j i A A j i ≠=φ ，
C ∈∑∞
=1
n n
A
，均有
)()(1
1
∑∑∞
=∞
==n n n n A P A P （1.2.1）
则称P 是C 上的一个测度。

备注：如果P 是C 上的一个测度，C ∈B A ,，φ= B A ，则
)()()(B P A P B A P +=+ （1.2.2）
从而
)()(1
1
∑∑===n
k k n
k k A P A P （1.2.3）
例1.2.1 假设),(∞-∞==ΩR ，
∑=∞<≤<-∞=n
i i i i i b a b a 1
:],({C 且),,2,1](,(n i b a i i =互不相交，1≥n } （1.2.4）
在C 上定义集函数
∑∑==-=n
i i i n
i i i a b b a P 1
1
)(]),(( （1.2.5）
容易验证：P 是C 上的测度。

例1.2.1 假设},,,,{21 n ωωω=Ω，
)(Ω=S C 是Ω的一切子集类 （1.2.6）
在C 上定义集函数
i i p P =})({ω，∑∑=i
i
i i p P A P ωωω})({)(，0)(=φP （1.2.7）
此处)1(≥i p i 是非负实数。

容易验证：P 是C 上的测度。

特别地，如果
A A P =)(中点的个数 （1.2.8）
则0)(,1})({==φωm m i 。

性质1.2.1（单调性）如果C ∈B A ,，并且B A ⊂，则)()(B P A P ≤
证明：因为B A ⊂可得)(A B A B -+=；因为C 是环，以及C ∈B A ,，因此C ∈-A B ；根据测度的可加性，有
)()()(A B P A P B P -+= （1.2.9）
由于测度的非负性，知0)(≥-A B P ，因此
)()(B P A P ≤ （1.2.10）
性质1.2.2（减性）如果C ∈B A ,，B A ⊂，并且∞<)(A P ，则
)()()(A P B P A B P -=- （1.2.11）
证明：在性质1.2.1的证明过程中，有
)()()(A B P A P B P -+=
由于∞<)(A P ，在上式两边同时减去)(A P ，即可获得所需结论。

性质1.2.3（半σ可加性）如果C ⊂≥}1,{n A n ，C ∈A ，并且 ∞
=⊂1n n A A ，则
)()(1
∑∞
=≤n n A P A P （1.2.12）
特别地，如果C ∈∞
= 1
n n A ，则
)()(1
1
∑∞
=∞=≤n n n n A P A P （1.2.13）
性质1.2.4（下连续性）假设C ⊂≥}1,{n A n ，C ∈A ，如果)(∞→↑n A A n ，则)()(A P A P n ↑，也就是
)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞
→∞
→ （1.2.14）
证明：由于C ⊂≥}1,{n A n 是单调不减列，因此
φ=-==-∞
=∞
=∑011
1
),(A A A A A n n n n n （1.2.15）
根据测度的σ可加性，可得
))
((lim )
(lim )
()()(11
11
11
1
-=∞
→-=∞
→-∞
=∞=-=-=-==∑∑∑k n
k k n k n
k k n n n n n n A A P A A P A A P A P A P
))(lim n n A P →∞
= （1.2.16）
即)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞
→∞
→。

■
性质1.2.5（上连续性）假设C ⊂≥}1,{n A n ，C ∈A ，如果)(∞→↓n A A n ，并且存在一个0n A ，使得∞<)(0n A P ，则)()(A P A P n ↓，也就是
)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞
→∞
→ （1.2.17）
证明：因为)(∞→↓n A A n ，故)(000n n A A A A n n n ≥-↑-，根据性质1.2.4和1.2.2可知：当0n n >时，
)()()()()()(0000A P A P A A P A A P A P A P n n n n n n -=-↑-=- （1.2.18）
由于∞<)(0n A P ，因此)()(A P A P n ↓，结论成立。

■
备注：如果性质1.2.5中条件“∞<)(0n A P ”去掉，则结论不一定成立。

例1.2.2 假设},3,2,1{ =Ω，)(Ω=S C （Ω的一切子集构成的集合），
A A P =)(中点的个数
已知P 是测度，取
1},,2,1,{≥++=n n n n A n （1.2.19）
显然，φ↓n A ，且∞=)(n A P ，因此
)(0)(lim φP A P n n =≠∞=∞
→ （1.2.20）
● Lebesgue 测度
若I 是一个有界区间，则I 的长度定义为它的两个端点之间的距离，记为)(I l ；若I 是一个无界区间，则定义I 的长度为∞，也记成)(I l ，例如
1])1,0([=l ，∞=-∞))0,((l （1.2.1）
我们希望将上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集合上去，例如，我们把它推广一个由实数子集构成的集类A ，并且对A 中的每一个元A ，我们用)(A m 表示
A 的长度。

定义1.2.2（Lebesgue 外测度）对于每一个实数子集E ，定义
1}{:)(inf{)(*≥∑=n n n
n I I E P l 是一列开区间并且 n
n I E ⊂} （1.2.2）
此时)(*E P 称为E 的Lebesgue 外测度。

备注：空集的Lebesgue 外测度=0
例题 假设},2,1,{ ==n x E n 是R 中的一个可数子集，此书对任意0>ε，令
1),2
,2
(1
1
≥+-
=++n x x I n n n n n ε
ε
（1.2.3）
则n I 是一个开区间并且 n
n I E ⊂；现在2
)(ε
=
n I l ，所以ε=∑n
n I )(l ；从而ε≤)(*E P ，
但是ε可以是任意的，所以0)(*=E P 。

定理1.2.1（单增性）如果21E E ⊂，则)(*)(*21E P E P ≤。

定理1.2.2 如果I 是一个区间，则)()(*I I P l =。

定理1.2.3（次可加性）如果1}{≥n n E 是任意一列实数子集，则∑≤n
n n
n E P E P )(*)(* 。

定义1.2.3（Lebesgue 可测集）假设E 是一个实数子集，若对任何实数子集A 有
)(*)(*)(*c E A P E A P A P +≥ （1.2.4）
则称E 为Lebesgue 可测集，或可测集。

定义1.2.4（Lebesgue 测度）假设E 是一个实数子集，若对任何实数子集A 有
)(*)(*)(*c E A P E A P A P += （1.2.4）
则称)(*E P 为E 的Lebesgue 测度，记作)(E P ，即)(*)(E P E P =。

1.3 可测函数
假设函数f 的定义域是可测集D ，如果对于任意的实数a ，集合
},)(:{D x a x f x ∈> （1.3.1）
是可测集，则称f 是D 上的可测函数。

对于可测集D ，其示性函数记为)(x I D ；显然
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<≤≥=>0 ,10,1
,})(:{a R a D a a x I x D φ （1.3.2）
由于φ（空集），D 和R 都是可测集，因此，可测集D 的示性函数是可测函数。

定理1.3.1 设函数f 是定义在D 上的可测函数，则下面事件等价： （ⅰ）f 在D 上可测；
（ⅱ）对任何实数a ，},)(:{D x a x f x ∈≥是可测集； （ⅲ）对任何实数a ，},)(:{D x a x f x ∈<是可测集； （ⅳ）对任何实数a ，},)(:{D x a x f x ∈<是可测集。

证明：本定理可从下面四个集合等式得到：
（ⅰ） ∞
=∈->=∈≥1
},1
)(:{},)(:{n D x n a x f x D x a x f x ；
（ⅱ）},)(:{},)(:{D x a x f x D D x a x f x ∈≥-=∈<；
（ⅲ） ∞
=∈+<=∈≤1
},1
)(:{},)(:{n D x n a x f x D x a x f x ；
（ⅳ）},)(:{},)(:{D x a x f x D D x a x f x ∈≤-=∈>。

因此，定理结论成立。

定理1.3.2 设函数f 和g 是定义在D 上的可测函数，∞≤<≤∞-b a ，λ是实数，则： （ⅰ）},)(:{D x x f x ∈=λ是可测集； （ⅱ）},)(:{D x b x f a x ∈<<是可测集； （ⅲ）},)(:{D x b x f a x ∈≤≤是可测集；
（ⅳ）},)(:{D x b x f a x ∈≤<是可测集； 证明：（ⅰ）当λ是实数时，
},)(:{},)(:{},)(:{D x x f x D x x f x D x x f x ∈>-∈≥=∈=λλλ （1.3.3）
由于},)(:{D x x f x ∈≥λ和},)(:{D x x f x ∈>λ都是可测集，因此，},)(:{D x x f x ∈=λ是可测集。

（ⅱ）很明显，
},)(:{},)(:{},)(:{D x a x f x D x b x f x D x b x f a x ∈≤-∈<=∈<< （1.3.4）
由于},)(:{D x b x f x ∈<和},)(:{D x a x f x ∈≤都是可测集，因此，},)(:{D x b x f a x ∈<<是可测集。

（ⅲ）很明显，
},)(:{},)(:{},)(:{D x a x f x D x b x f x D x b x f a x ∈<-∈≤==∈≤≤ （1.3.5）
由于},)(:{D x b x f x ∈≤和},)(:{D x a x f x ∈<都是可测集，因此，},)(:{D x b x f a x ∈≤≤是可测集。

（ⅳ）很明显，
},)(:{},)(:{},)(:{D x a x f x D x b x f x D x b x f a x ∈≤-∈≤==∈≤< （1.3.6）
由于},)(:{D x b x f x ∈≤和},)(:{D x a x f x ∈≤都是可测集，因此，},)(:{D x b x f a x ∈≤<是可测集。

■
定理1.3.3 设函数1)}({≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数，则
)(lim ),(lim ),(inf ),(sup 1
1
x f x f x f x f n n n n n n n n ∞
→∞
→≥≥
都是可测函数。

证明：对任何实数a ，有
},)(:{},)(sup :{11
D x a x f x D x a x f x n n n n ∈>=∈>∞
=≥ （1.3.7）
由于},)(:{D x a x f x n ∈>是可测集，因此},)(sup :{1
D x a x f x n n ∈>≥是可测集，从而)
(sup 1
x f n n ≥是可测函数。

另一方面，
},)(:{},)(inf :{1
1
D x a x f x D x a x f x n n n n ∈<=∈<∞
=≥ （1.3.8）
由于},)(:{D x a x f x n ∈<是可测集，因此},)(sup :{1
D x a x f x n n ∈<≥是可测集，从而)
(inf 1
x f n n ≥是可测函数。

同时，由于
)(sup inf )(lim 1x f x f k n
k n n n ≥≥→∞
= （1.3.9）
和
)(inf sup )(lim 1x f x f k n
k n n n ≥≥∞
→= （1.3.10）
因此，)(lim x f n n →∞
和)(lim x f n n ∞
→是可测函数。

■
定理1.3.4 假设)(x f 是可测集D 上的可测函数，c 是一个常数，则c x f +)(，|)(|x f ，)
(2x f 和)(/1x f 都是可测函数。

证明：利用可测函数的定义直接验证。

定理1.3.5 假设)(x f 、)(x g 是可测集D 上的可测函数，则)()(x g x f +，)()(x g x f 和
)0)()((/)(≠x g x g x f 都是可测函数。

证明：因为对任意R a ∈，有
r
D x x g a r x f x D x x g a x f x D x a x g x f x }),()(:{ }),()(:{},)()(:{∈-<<=∈-<=∈<+
r
D r a x g x D x r x f x }),(:{},)(:{ ∈-<∈<= （1.3.11）
此处r 是有理数；很明显，},)()(:{D x a x g x f x ∈<+是可测集，因此)()(x g x f +是可测函数。

由于)(x g 是可测函数，因此，)(x g -是可测函数，从而)()(x g x f -是可测函数。

并且
})]()([)]()({[4
1
)()(22x g x f x g x f x g x f +-+= （1.3.12）
和
)
(1
)()()(x g x f x g x f ⋅= （1.3.13） 所以，)()(x g x f 和)0)()((/)(≠x g x g x f 是可测函数。

■ 定义1.3.1（简单函数）假设函数)(x f 可以表示为
∑==n
i E i x I a x f i 1)()( （1.3.14）
其中n a a a ,,,21 是常数，n E E E ,,,21 是互不相交的可测集，并且D E E E n =+++ 21，则称)(x f 是D 上的简单函数。

定理1.3.6 （可测函数的构造定理）假设)(x f 是可测集D 上可测函数，则存在D 上的简单函数列1}{≥n n f ，使得对每一个D x ∈，1)}({≥n n x f 收敛于)(x f ；并且 （ⅰ）当f 非负时，对每一个D x ∈，1)}({≥n n x f 单增收敛于)(x f ； （ⅱ）当f 有界时，1)}({≥n n x f 在D 上一致收敛于)(x f 。

定义1.3.2 （几乎处处成立）假设D 是可测集，)(x P 是一个与D 中每一个点有关的命题；如果除了一个测度为0的子集E 外，对于每一个E D x -∈，命题)(x U 成立，则我们说
)(x U 在D 上几乎处处成立，或者说“)(x U 对几乎所有的D x ∈成立。

”
定义1.3.3 （测度收敛）假设f 和)1(≥n f n 都是D 上几乎处处有限的可测函数，若对任何0>δ有
0})|)()(:|({lim =>-→∞
δx f x f x P n n （1.3.14）
则称n f 在D 上测度收敛于f 。

1.4 Lebesgue 积分
在数学分析中，Riemann 积分是通过球一个平面图形的面积而引进的；具体地说，为了求曲线0,,,0)(===≥=y b x a x x f y 所围曲边梯形的面积S ，先把该曲边梯形分成若干小曲边梯形k k x x x x f y ≤≤≤≤-1),(0，其中
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 （1.4.1）
然后，每一小曲边梯形的面积用底1--=∆k k k x x x ，高为],[),(1k k k k x x f -∈ξξ的长方形面积
k k x f ∆)(ξ来近似，最后S 可由分法愈来愈细时该近似值的极限来求得。

在上述过程中，最基本的事实是：立于],[1k k x x -上高为)(k f ξ的长方形面积是k k x f ∆)(ξ。

从几何上说，Riemann 积分可以看成是一些长方形面积和的极限。

从几何上说，Lebesgue 积分可以看成是一些拓广的长方形面积之和。

● 非负简单函数的Lebesgue 积分
设D 是可测集，}{k E 是D 的有限个或可数个两两不相交的可测子集，使得
k E D = （1.4.1）
则称}{k E 是D 的一个分划。

设f 是可测集D 上的非负简单函数，于是有D 的一个分划S i i E ≤≤1}{及非负实数组S i i a ≤≤1}{使得
D x x I a x f S
i E i i ∈=∑=,)()(1 （1.4.2）
此时，我们定义f 在D 上的Lebesgue 积分为
∑⎰
==S
i i i D
E P a dP x f 1
)()( （1.4.2）
并且，当∞<⎰D
dP x f )(时，称f 在D 可积。

下面的定理说明：f 的积分值不会因为f 的表达式不同而不同。

定理1.4.1 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数，而且它们在D 上几乎处处相等，则它们在D 上有相同的积分值。

证明：设
∑==S i E i x I a x f i 1
)()(，D x x I b x g T
j F j j ∈=∑=,)()(1
（1.4.3）
其中S i i E ≤≤1}{、T j j F ≤≤1}{是D 的一个分划，S i i a ≤≤1}{、T j j b ≤≤1}{是非负实数组。

由于f 和g 在
D 上几乎处处相等，因此，只要 j i F
E 不是测度为零的集合，就有j i b a =，所以，不管 j i
F E 是否是零测度集，均有)()( j i j j i i F E m b F E m a =，于是
∑∑∑∑∑∑=========T
j j
j
T j S i j
i
j
S i T j j
i
i
S i i
i
F m b F E m b F E m a E m a 1
11
11
1
)()()()( （1.4.4）
即
⎰⎰
=D
D
dP x g dP x f )()( （1.4.5）
定理结论成立。

■
定理1.4.2 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数。

（ⅰ）若在D 上)()(x g x f ≤几乎处处成立，则⎰⎰≤D
D
dP x g dP x f )()(；
（ⅱ）)()(max )(D m x f dx x f D
⋅≤⎰；特别地，当0)(=D m 时，0)(=⎰D
dP x f ；
（ⅲ）若λ和μ是两个非负实数，则
⎰⎰
⎰+=+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()((μλμλ （1.4.6）
（ⅳ）若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集，则
⎰⎰⎰+=B
A
B
A
dP x f dP x f dP x f )()()(
（1.4.7）
证明（ⅲ）和（ⅳ）。

（ⅲ）假设
∑==S i E i x I a x f i 1
)()(，D x x I b x g T
j F j j ∈=∑=,)()(1
其中S i i E ≤≤1}{、T j j F ≤≤1}{是D 的一个分划，S i i a ≤≤1}{、T j j b ≤≤1}{是非负实数组。

由于
T j S i j i F E ≤≤≤≤1,1}{ 是D 的一个分划，并且
)()()()(11
x I b a x g x f j
i
F E
i S i T
j i ∑∑==+=+μλμλ （1.4.8）
从而
∑∑∑∑∑∑∑∑⎰========+=+=+=+S
i j j S
i i i j i j S i T
j j i S i T
j i j
i
j
S i T
j i
D
F P b E P a F E P b F E P a F E P b a dP x g x f 1
1
11
1111
)
()( )()( )
()())()((μλμλμλμλ
⎰⎰+=D
D
dP x g dP x f )()(μλ （1.4.9）
（ⅳ）根据Lebesgue 积分的定义，有
∑∑∑∑⎰====+===S
i i i S
i i i S
i i i i S
i i i B
A
A E P a A E P a
B E A E P a B A E P a dP x f 1
1
11)
()( ))
()( ))
(()(
⎰⎰+=B
A
dP x f dP x f )()( （1.4.10）
定理1.4.3 假设}{n f 和}{n g 都是可测集D 上的非负简单函数，而且对几乎所有的D x ∈，
)}({x f n 和)}({x g n 都单增收敛于相同的极限，则
⎰⎰→∞
→∞
=D
n n D
n n dP x g dP x f )(lim )(lim （1.4.11）
● 非负可测函数的Lebesgue 积分
现在我们来定义非负可测函数的Lebesgue 积分。

假设f 是可测集D 上的非负可测函数，则可以取D 上非负简单函数列}{n f ，使得对每一个D x ∈，)}({x f n 单增收敛于)(x f ；此时，)(x f 在D 上的Lebesgue 积分定义为
⎰⎰→∞
=D
n
n D
dP x f
dP x f )(lim )( （1.4.12）
并称f 的积分由}{n f 来定义；并且，如果∞<⎰D
dP x f )(，称f 在D 上L 可积。

根据非负可测函数Lebesgue 积分的定义，以及定理1.4.2，可以得到如下结论： 定理1.4.4 设f 和g 都是可测集D 上的非负可测函数。

（ⅰ）若λ和μ是两个非负实数，则
⎰⎰
⎰+=+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()((μλμλ （1.4.13）
（ⅱ）若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集，则
⎰⎰⎰+=B
A
B
A
dP x f dP x f dP x f )()()(
（1.4.14）
（ⅲ）若在D 上)()(x g x f =几乎处处成立，则
⎰⎰
=D
D
dP x g dP x f )()( （1.4.15）
定理1.4.5（单调性收敛定理）设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的非负可测函数，而且对所有的D x ∈，)}({x f n 单调收敛于)(x f ，则
⎰⎰→∞
=D
n
n D
dP x f
dP x f )(lim )( （1.4.16）
也就是
⎰⎰∞
→∞
→=D
n n D
n
n dP x f dP x f
)(lim )(lim （1.4.17）
备注：积分号与极限号次序的交换。

证明：对于每一个n ，假设n f 的Lebesgue 积分由非负简单列1)(}{≥k n k ϕ定义，于是，对每一个D x ∈，1)()}({≥k n k x ϕ单增收敛于)(x f n 。

对于每一个1≥k ，令
D x x x x x k k k k k ∈=)},(,),(),(max {)()()2()1(ϕϕϕψ （1.4.18）
则k ψ是非负简单函数，并且
D x x x x k ∈≤≤≤≤,)()()(21 ψψψ （1.4.19） D x k n x f x x k k n k ∈≤≤≤≤,1),()()()(ψϕ （1.4.20）
从而
k n dP x f dP x dP x D
k D
k D
n k
≤≤≤≤⎰⎰⎰1,)()()()(ψϕ
（1.4.21）
在（1.4.20）和（1.4.21）中固定n ，而令∞→k ，则分别得到
D x n x f x x f k k n ∈≥≤≤∞
→,1),()(lim )(ψ （1.4.22）
以及
1,)(lim )(lim )(≥≤≤⎰⎰⎰∞
→∞
→n dP x f dP x dP x f
D
k k D
k k D
n
ψ （1.4.23）
然后，再（1.4.22）和（1.4.23）中令∞→n ，得
D x x f x k k ∈=→∞
),()(lim ψ （1.4.24）
以及
dP x dP x f D
k k D
n n ⎰⎰∞
→∞
→=)(lim )(lim ψ （1.4.25）
因此
dP x f dP x dP x dP x f D
D k k D
k k D
n n ⎰⎰⎰⎰===→∞
→∞
→∞
)()(lim )(lim )(lim ψψ （1.4.26）
即
⎰⎰→∞
=D
n
n D
dP x f
dP x f )(lim )( （1.4.27）
定理结论成立。

■
推论1.4.1（逐项积分）假设1}{≥k k u 是可测集D 上的一列非负可测函数，则
∑⎰⎰∑∞
=∞
→∞==11
)(lim )(k D
k
n D k k
dP x u dP x u （1.4.28）
证明：对每一个1≥n ，由定理1.4.5（单调性定理）
∑⎰⎰∑===n
k D
k
D n k k
dP x u dP x u 11
)()( （1.4.29）
现在∑∞==1
)()(k k x u x f 和∑==n
k k n x u x f 1
)()(满足定理条件，因此
⎰∑⎰∑=∞
→∞
==D n
k k
n D k k
dP x u dP x u 1
1
)(lim )( （1.4.30）
在（1.4.29）两边令∞→n ，就可以得到（1.4.28）。

■
定理1.4.6（Fatou 定理）假设)1(≥n f n 都是可测集D 上的非负可测函数，则
⎰⎰∞
→∞
→≤D
n n D
n
n dP x f dP x f
)(lim )(lim （1.4.31）
证明：对于每一个1≥n ，令
D x x f x g k n
k n ∈=≥),(inf )( （1.4.32）
则对每一个D x ∈，1)}({≥n n x g 单增收敛于)(lim x f n n ∞
→；根据定理1.4.5（单调性收敛定理），有
⎰⎰→∞
→∞
=D
n n D
n
n dP x g dP x f
)(lim )(lim （1.4.33）
但是，D x x f x g n n ∈≤),()(，因此
⎰⎰→∞
→∞
≤D
n n D
n n dP x f dP x g )(lim )(lim （1.4.34）
于是，综合（1.4.33）和（1.4.34），可得
⎰⎰∞
→∞
→≤D
n n D
n
n dP x f dP x f
)(lim )(lim
定理结论成立。

■
备注：Fatou 定理中的不等式不能改为等号。

例如，假设 )()(]/1,0[x nI x f n n =，则
⎰
⎰→∞→∞
=<=1
10)(lim 10)(lim dP x f dP x f n n n
n （1.4.35）
● 一般可测函数的Lebesgue 积分
假设f 是可测集D 上的可测函数，对于每一个D x ∈，令
}0),(m ax {)(x f x f =+，)}(,0m ax {)(x f x f -=- （1.4.36）
则+f 和-f 分别称为f 的正部和负部，它们都是非负可测函数，并且
)()()(x f x f x f -+-=，)()(|)(|x f x f x f -++= （1.4.37）
如果⎰+D
dP x f )(和⎰-D
dP x f )(不同时为∞，则称f 在D 上的Lebesgue 积分定义为
⎰⎰⎰-+
-=D
D
D
dP x f dP x f
dP x f )()()( （1.4.38）
此外，当⎰D
dP x f )(有限时，称f 在D 上L 可积，记作)(D L f ∈。

定理1.4.7 设f ，)(D L g ∈，则 （ⅰ）)(D L g f ∈+，并且
⎰⎰
⎰+=+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()(( （1.4.39）
（ⅱ）如果λ是实数，则)(D L f ∈λ，并且⎰⎰=D
D
dP x f dP x f )()(λλ；
（ⅲ）若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集，则
⎰⎰⎰+=B
A
B
A
dP x f dP x f dP x f )()()(
（1.4.40）
证明：（ⅰ）由于||||||g f g f +≤+，故)(D L g f ∈+； 其次
-+-+-++-+=+=-+-)()( )()(g f g f g f g g f f （1.4.41）
从而
--+-+++++=+++g f g f g f g f )()( （1.4.42）
根据非负可测函数的定理1.4.4，有
⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-
++
+++=+++D
D
D
D
D
D
dP g dP f dP g f dP g f dP g dP f )()
( （1.4.43）
由此可得
⎰⎰
⎰+=+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()((
（ⅱ）如果0>λ，则
++=f f λλ)(，--=f f λλ)( （1.4.44）
从而
)
( )()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰-+-+-++=+=+=D
D
D
D
D
D
D
dP f dP f dP f dP f dP
f dP f fdP λλλλλλ
⎰=D
dP x f )(λ （1.4.44）
（ⅲ）利用一般可测函数的Lebesgue 积分的定义，以及非负可测函数的定理1.4.4即可证明。

定理1.4.8（控制收敛定理）假设f 和n f 都是可测集D 上的可测函数，若满足以下两个条件：
（ⅰ）在D 上)(x f n 几乎处处收敛于)(x f
（ⅱ）存在)()(D L x g ∈，并且在D 上几乎处处有)(|)(|x g x f n ≤； 则f 和n f 都在D 上可积，并且
⎰⎰=→∞
D
D
n n dP x f dP x f )()(lim （1.4.45）
定理1.4.9（积分的可数可加性）假设)(D L f ∈，1}{≥k k E 是D 的分划，则
∑⎰⎰∞
==1)()(k E D
k
dP x f dP x f （1.4.46）
定理1.4.10（积分的绝对连续性）假设)(D L f ∈，则对任何0>ε，存在0>δ，使得对任何可测子集A ，只要δ<)(A P ，则
ε<⎰|)(|A
dP x f （1.4.46）
1.5 绝对连续测度与概率密度函数
定义 1.5.1（测度的绝对连续性）假设υ和μ都是可测空间),(F Ω上的测度，对于任意的F ∈A ，如果0)(=A μ，则0)(=A υ，则称υ对μ是绝对连续的，记为μυ<<。

例1.5.1 假设f 是测度空间),,(P F Ω上的非负可积函数，令
F ∈=⎰A dP x f A A
,)()(υ （1.5.1）
则υ是),,(P F Ω的测度，并且υ对测度P 绝对连续，即P <<υ。

定义 1.5.2（关于测度的导数） 假设P 是测度空间),(F Ω上的测度，如果对于任意的
F ∈A ，⎰=A
dP x f A )()(υ成立，则称)(A υ为)(x f 关于测度空间),(F Ω的不定积分，而
)(x f 称为υ对P 的导数，记为
dP
d υ
（1.5.2） 特别地，如果υ为概率测度，则)(x f 称为υ对P 的概率密度函数即1)(=Ωυ，则)(x f 称为υ对P 的概率密度函数；如果P 为Lebesgue 测度，则)(x f 称为υ关于Lebesgue 测度的密度函数；进一步，如果υ为分布函数，P 为Lebesgue 测度，则)(x f 称为分布函数关于Lebesgue 测度的密度函数。