测度论基础

高等概率论（讲义）

一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：

一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；

二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；

三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。

参考书

[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982

[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007

[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991

[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980

基本内容

[1] 测度与概率

[2] 随机变量的刻画：分布函数

[3] 随机变量的刻画：特征函数

[4] 随机变量的收敛性

[5] 渐近分布理论

第1章 Lebesgue 测度与概率

1.1 集和类 ● 基本概念

所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。

[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。 [2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；

[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；

如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。 [4] 集的基本运算

（1）交。集合A 与B 的交集：

A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）

简记为AB 。一般地，对于任意非空参数集T ，定义交集为

},:{T t A A

t T

t t

∈∀∈=∈ωω （1.1.2）

（2）和与直和。集A 和B 的和定义为

A B A ∈=ωω:{ ，或者}B ∈ω （1.1.3）

如果φ= B A ，则称 B A 为A 与B 的直和，记为A+B 。

ωω:{=∈ T

t t

A

至少属于一个},T t A t ∈ （1.1.4）

并且，如果对任意T t s ∈,，φ= t s A A ，此时将 T

t t A ∈记为∑∈T

t t A 。

（3）差与余。集A 与B 的差定义为

},:{B A B A ∉∈=-ωωω （1.1.5）

特别地，当Ω=A 时，B -Ω称为集B 的余集，记为c B 。

（4）上极限。集合列}1:{≥n A n 的上极限定义为

ωω:{lim =∞

→n n A 属于无穷多个)}1(≥n A n （1.1.5）

可以验证：

∞

=∞

=→∞

=1lim n n k k n n A A （1.1.6）

（5）下极限。集合列}1:{≥n A n 的下极限定义为

ωω:{lim =∞

→n n A 至多不属于有限多个)}1(≥n A n （1.1.7）

可以验证：

∞

=∞

=→∞

=1lim n n k k n n A A （1.1.8）

并且

n n n n A A →∞

→∞

⊂lim lim （1.1.9）

（6）极限。如果

n n n n A A →∞

→∞

=lim lim （1.1.10）

则称集合列}1:{≥n A n 的极限存在，记为n n A ∞

→lim 。

定义1.1.1 如果集合列}1:{≥n A n 具有性质：对每个)1(≥n n ，1+⊂n n A A （或n n A A ⊂+1），则称}1:{≥n A n 是单调不减的（或者，单调不增的），简记为↑n A （或者↓n A ）。不减或者不增的集合列，称为单调集合列。 定理1.1.1 单调集合列的集合列存在，并且 （ⅰ）如果↑n A ，则 ∞

=∞

→=1lim n n n n A A ；

（ⅱ）如果↓n A ，则 ∞=→∞

=1

lim n n n n A A 。

证明：（ⅰ）如果↑n A ，则

⊂⊂⊂⊂n A A A 21 （1.1.11）

因此，n n

k k A A =∞

= ，从而

n n n n

k k n n n n

k k n n A A A A A ∞

→∞=∞

=∞=∞=∞=∞

→=⊃==lim lim 11

1 （1.1.12）

也就是n n n n A A ∞

→∞

→⊂lim lim ，但是n n n n A A →∞

→∞

⊂lim lim ，所以n n A ∞

→lim 存在，并且等于

∞

=∞

→=1

lim n n n n A A （1.1.13）

类似地，可以证明（ⅱ）成立。

定义1.1.2（环、域） 假设F 是非空集类，满足条件

（1）对“差”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈-B A ； （2）对“和”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈ B A ； 则称F 是环。进一步，如果F 是环，并且∈ΩF ，则称F 是域。 定义1.1.3（σ域）假设F 是非空集类，满足条件 （1）F ∈Ω；

（2）对“余”运算封闭：若F ∈A ，则F ∈c A ； （3）对“可数和”运算封闭：若F ⊂≥}1:{n A n ，则

F ∈∞

= 1

n n

A

（1.1.14）

则称F 是σ域（或者σ代数）。

例1.1.1 },{Ω⊂=A A F （Ω的一切子集的全体）是σ域，它是Ω为空间的最大的σ域。 例1.1.2 },{φΩ=F 是σ域，它是Ω为空间的最小的σ域。

定义1.1.4（可测空间、可测集、波莱尔可测空间）对于给定的空间Ω及其σ域A 所构成的),(A Ω称为可测空间，A 中的元素称为可测集。

特别地，如果),(∞-∞==ΩR ，B A =是以R 为空间、开集类所构成的σ域，则称

),(),(B A R =Ω为波莱尔可测空间