北师版数学高二-选修2-1课时作业 2.5.3 直线与平面的夹角

5.3 直线与平面的夹角

课时目标 1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角．

1．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是__________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．

2．直线和平面所成的角可以通过直线的____________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin θ＝__________.

一、选择题

1．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 夹角的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2.

如图所示，四面体SABC 中，SA →·SB →＝0，SB →·SC →＝0，SA →·SC →＝0，，∠SBA ＝45°，∠SBC ＝60°，M 为AB 的中点．则BC 与平面SAB 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．75°

3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为( )

A ．30°

B ．60°

C ．45°

D ．120°

4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是()

A．等于90°

B．小于90°

C．大于90°

D．不确定

5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()

A．30°B．60°

C．150°D．以上均错

6．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()

A．30°B．60°C．150°D．90°

题号12345 6

答案

二、填空题

7.

如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．

8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．

9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.

三、解答题

10.

如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．

11.

如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．

能力提升

12.

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.

(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．

13．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝1

2AB ，N 为AB 上一

点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；

(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．

直线与平面所成角的求法

(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面

5．3 直线与平面的夹角

知识梳理

1．射影 ⎣⎡⎦⎤0，π

2 最小 2．方向向量 法向量 |cos φ|

作业设计 1．C

2．B [∵SB →·SC →＝0，SA →·SC →＝0，∴SB →⊥SC →，SA →⊥SC →

，即SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，又SB ∩SA ＝S ，

∴SC ⊥平面SAB ，∴∠SBC 为BC 与平面SAB 的夹角．又∠SBC ＝60°，故BC 与平面SAB 的夹角为60°.] 3．B

4．A [A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，故A 1B 1⊥MN ， 则MP →·MN →＝(MB 1→＋B 1P →)·MN → ＝MB 1→·MN →＋B 1P →·MN →＝0， ∴MP ⊥MN ，即∠PMN ＝90°. 也可由三垂线定理直接得MP ⊥MN .]

5．B [当直线l 的方向向量ν与平面α的法向量n 的夹角〈n ，ν〉小于90°时，直线l 与平面α所成的角与之互余．] 6．A [

如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系． 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)， C (－a,0,0)，P ⎝

⎛⎭⎫0，－a 2，a 2. 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a 2，CB →

＝(a ，a,0)． 设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB →

，n 〉＝CB →·n |CB →||n |

＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →

，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.] 7.45

解析 不妨设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x 轴垂直于AB )，

则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛

⎭⎫32

，－12，2，

则CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2，CB 1→

＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

n ·

CD →＝0，n ·

CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．