矩阵理论第二章矩阵的标准型分析解析

a1 x a0
b1 x b0
若其同次项的系数都相等，即 ai bi , i 0 则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。
若 an 0, 则称an x n 为 f ( x) 的首项， an为首项系数，
n 称为 f ( x)的次数， 记作deg f ( x) 或 f ( x). 零多项式次数定义为 0.
2 矩阵的标准型
目录
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

1
一元多项式 因式分解定理 矩阵化简 l 阵的标准形 矩阵相似的条件 矩阵的若当标准形 矩阵的最小多项式
GEM
2.1 一元多项式
定义.设 n 是一个非负整数，表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0
k ai b j x k o i jk
mn
其中k 次项的系数是
ak b0 ak 1 b1 a1 bk 1 a0 bk
i jk
ab
i
j
deg( f ( x ) g ( x )) deg f ( x ) deg g ( x )
(3) 分配律： l ( f ( x ) g( x )) l f ( x ) l g( x )
(4) 单位元？？ : 1 f ( x) f ( x)
6
GEM
多项式乘法
f ( x ) g( x )
an bm xn m (an bm1 an1bm ) xn m1 (a1b0 a0 b1 ) x a0 b0
5
GEM
数乘多项式
kf ( x) kan x n kan1 x n1
kai x i
i 0 n
ka1 x ka0
运算规律:
(1) 结合律： (l) f ( x) l ( f ( x)) (2) 分配律: (l ) f ( x) lf ( x) f ( x)
7
GEM
运算规律:
(1) 交换律：f ( x) g( x) g( x) f ( x) (2) 结合律: ( f ( x) g( x))h( x) f ( x)( g( x)h( x)) (3) 分配律: f ( x)( g( x) h( x)) f ( x) g( x) f ( x)h( x)
10
GEM
2x2 4 x 3 2 x2 5 x 4 4 x4 2 x3 6 x2 5 x 9 4 x 4 10x 3 8 x 2
8 x 3 14x 2 5 x 9 8 x 3 20x 2 16x 6 x 2 11x 9
6 x 2 15x 12 4x 3
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x )
q( x) 2 x 2 4 x 3
11
r( x) 3 x 3
GEM
2.2 因式分解定理
h( x ) F [ x] 定义. 设 f ( x ) , g( x )，
若h(x)既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公因式。 若h(x)既是 f(x)的倍式，又是 g(x)的倍式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公倍式。
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x )
并且q(x)和 r(x)是唯一的， 其中degr ( x) deg g( x) 或 r ( x) 0 若r(x)=0，则称 g(x)是 f(x)的因式， f(x)是 g(x)的倍式， 也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。
9
GEM
例2.1.1设 f(x)和 g(x) 是有理数域 F上的两个Байду номын сангаас项式
f ( x) 4 x4 2 x 3 6 x 2 5 x 9, g( x ) 2 x 2 5 x 4
求满足等式 f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ) 的多项式 q( x ), r ( x )
(4) 消去律： 若 f ( x )h( x ) g( x )h( x ), h( x ) 0
则 f ( x) g( x)
(5) 单位元: 1 f ( x) f ( x)
8
GEM
带余除法
定理2.1.1（带余除法）设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式 ， 且 g(x) ≠0，则必存在多项式 q(x)和 r(x) ，使得
12
GEM
设 f ( x ) , g( x ), d ( x ) F [ x] ，并且满足:
(1) d ( x )是 f ( x)与 g( x)的公因式；
3
GEM
多项式加法
为了方便起见，设 n m, bn bm1 0
f ( x ) g( x )
(an bn ) xn (an1 bn1 ) xn1
(ai bi ) x i
i 0 n
(a1 b1 ) x (a0 b0 )
deg( f ( x ) g( x )) max{deg f ( x ),deg g( x )}
GEM
4
运算规律:
(1) 交换律：f ( x) g( x) g( x) f ( x) (2) 结合律: ( f ( x) g( x)) h( x) f ( x) ( g( x) h( x))
(3) 零元素： f ( x) 0 f ( x)
(4) 负元素: f ( x) ( f ( x)) 0
称为数域F上的一元多项式，
其中a0，a1， , an F
特别地， 0 称为零多项式 .
F[ x] { f ( x) | f ( x)是数域F上的一元多项式 }
2
GEM
定义. 设 f ( x ) , g( x ) F [ x]
f ( x) an xn an1 x n1
g( x) bm xm bm1 xm1