金融中的鞅测度以及布朗运动假设

金融经济学，最核心的东西是资产定价，什么是资产呢，说白了就是
能够在未来产生未定权益（contingent claim）的东西，不准确的说，就是在未来生成outcome 的东西，这样资产定价就是通过未来的收益来决定资产现在的市场价格。

再直白一些，就是寻找到这样的一个函数，它的定义域是未来未定权益空间的一个子空间，值域是实数集。

如果找到这个函数的显示形式，那么我们就做到资产定价了。

可是，我们发现，我们的信息太少了，根本无法建立出这样的函数出来，所以，我们期待加进最少的假设，然后找到这样的函数，注意，这里加入假设很关键，一方面尽量最少，一方面尽量符合现实，很庆幸，我们找到了这样的假设，这个假设就是布朗运动（Bro wnian motion）。

其实，我们真正加入的假设，是独立增量的假设，就是任何两个不同时间断下，资产价格的差是相互独立的，白话一些就是说，昨天股票价格的涨跌和今天股价的涨跌是独立的，我想，任何一个玩过股票的人都会有这样的感觉吧，有这个假设，和中心极限定理，就得出，独立增量符合正态分布，再加入技术性的限制，初值为零，就得到了标准布朗运动的假设，为了不出现负的价格，我们常常使用几何布朗运动，也就是说把这个随机过程弄到e的指数上去。

讲完了假设，继续我们的工作，加入这个假设为什么可以解决问题呢，因为，标准布朗运动有一个极好的性质，就是鞅性（Martingale），什么是鞅性的，简单的说就是在任何一个时期对未来资产价格做一个
期望，（就是条件期望，条件是所处的哪个时间点处所知的全部信息），这个期望恰好等于所处时点的资产价格。

说白了，就是期望等于自身，好了，这下回忆我们要做的工作。

我们需要寻找一个函数，把未来的收益映射为现在的价格，现在鞅性给我们提供了一个思路，鞅不就是把未来的期望收益映射成为一个现在的价格了吗，（这里，我们完全可以用期望收益代表未来的收益，因为，期望收益可以退化为收益），到这里，我们很欣喜了，只要一个资产价格符合标准布朗运动，我们就找到了这个函数，这个函数就是这个鞅。

是不是问题解决了呢，很不幸，不是，因为我们证明了，只有标准布朗运动才有鞅性，更不幸的是，我们还可以证明，一个带着漂移的布朗运动是没有鞅性的，什么是漂移呢，就是，我们用实际的数据分析，发现，资产价格的真实运动，是有趋势的，不是期望为零的（标准布朗期望为零），这个趋势就是漂移，所以，我们现在知道了，我们的真实股价，是有漂移项的，那样，它就没有鞅性，我们的工作又遇到瓶颈了。

怎样处理呢，这时候的想法，真的比较天才了，鞅性的本质，是条件期望，条件期望里有两个因素，状态概率和状态值，状态值是不能改变的，这时候，天才们说，既然，带了漂移，条件期望不能等于条件时点的价格，那么，我可不可以通过调整期望的计算中的不同因素的值的大小，然后让其相等呢，而，状态值不可以改变，所以只能
改变状态概率了，答案是，这样的做法，在某些情况下是可行的，有些则不能，这个相应的改变后的概率就称为等价鞅测度，也就是说，在这个测度下，把原来不是鞅，所以找不到定价函数的资产转化成为了鞅。

这就是天才的测度转化定理！！！当然，不是所有的情况，都可以找到这样的等价测度的，对于这类，不能找到等价测度的资产，我们就不能对它们定价了。

这时，有出现两个问题了，第一，什么时候存在这样的测度转换，什么时候不存在，第二，对于转化测度后的期望，怎样计算。

先来说第二个问题，数学家们证明了，转化测度后，有些分布的期望是不会改变的，其中就有，布朗运动符合的正态分布，这个问题解决了。

第一个问题很有趣，显然，不存在这样的测度转换，是由于资产市场特定的支付结构，，就是那个支付矩阵，这个矩阵反应了
不同状态下的不同支付情况。

如果这个矩阵给出，我们是可以判断的。

这里，有两个定义，一个叫做完全市场，一个叫做无套利市场，它们的定义大家都知道的，我们证明了，无套利和存在这样的测度转化是等价的，也就是说，如果市场可以套利，就不存在测度转化，就不是鞅，就不可以对它定价，反之，则可以。

而完全市场，是说，在这样的市场中，任何一个未定权益都是可以到达，获得的，所以说，如果，一个市场如果完全且无套利，则，其中的任何资产我们都可以给出等价鞅测度，从而写出定价函数。