有限域

陪集、指数
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H 有 aha 1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。 H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
商群：如果群G的子群H是正规子群，则模H的陪 集集合在运算(aH) · (bH)=(ab)H 下构成一个群， 称为G关于H的商群，记为G/H.
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定 义为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位 元。
内自同构和共轭元
群同态基本定理
定理： 设f：G→H是群G到群H上的满同态映射， 那么kerf是群的一个正规子群，而且H同构于商群 G/kerf，即G/kerf≌ H。反之，如果N是G的正规 子群，则映射
子群：群G的非空子集H称为G的子群，如果对 于G的运算，H本身成一个群。如果H为G的子群 且H≠G，则H称为G的一个真子群。
元素的幂
由于群里结合律是满足的，所以元素连乘 a1，a2 ，…，an有意义，它也是G中的一个元．我们 把a的n次连乘记为an， 称为a的n次幂（或称乘 n ． 方），即 n
例1：（Z，+）
离散对数问题是平凡的
例2：Zn，模n剩余类组成的加法群，g为Zn 的一个生成元，离散对数问题为：给定 h∈Zn，求解x，使得 xg≡h mod n
用扩展的欧几里得算法很容易求解。 ㏒g(h)=x=hg-1
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a, b G 有 f(a· b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同 态。 同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同 构。
例子（从群的角度）
整数集Z：加群 nZ，子群，正规子群 陪集a+{nZ} 商群 Zn={[0],[1],….,[n-1]}
Lagrange定理、欧拉定理
（拉格朗日定理）如果G为一个有限群，H为G的 子群，则|H|整除|G|，且|G|=|H|· [G:H]，因此，如 果a∈G，则a的阶整除|G| 。
环的例子
全体有理数、全体实数、全体复数和全体 整数集合对于普通的加法和乘法构成交换 环． {Z,+, ×} n ×n可逆矩阵,乘法,加法? n ×n矩阵,乘法,加法
域
有单位元的交换环 非零元构成乘法交换群
群的阶、子群
定义 如果一个群G中元素的个数是无限多个， 则称G是无限群；如果G中的元素个数是有 限多个，则称G是有限群，G中元素的个数 称为群的阶，记为|G|．
环的特征
定理：F是任意一域，那么F的特征或 者是0或者是素数。 推论：有限域的特征是素数。
习题
设p是一个素数，则阶为pm的群一定有一个阶 为p的子群 给出一个环的例子，使该环R有一个子环T，而 且 （1）R有单位元，T没有单位元 （2）R没有单位元，T有单位元 （3）R，T有相同单位元 （4）R，T有不同的单位元 （5）R不可交换，T可交换
参考书：
代数学基础与有限域. 林东岱 编著，高等教育出 版社. 代数和编码（第三版），万哲先，高等教育出版 社，2007。 Groebner 基理论及其应用，刘木兰，科学出版 社，2000。
教学内容
第一章 代数学基础（4学时） 1.1 群 1.2 环与理想 1.3 多项式环 1.4 域和扩域 第二章 有限域的结构（8学时） 2.1 有限域的特征性质 2.2 不可约多项式的根 2.3 迹，范数和基 2.4 单位根和割圆多项式 2.5 有限域元素的表示 第三章 有限域上的多项式（8学时） 3.1 多项式的阶和本原多项式 3.2 不可约多项式 3.3 不可约多项式的构造 3.4 有限域上多项式因式分解
有限域
Zn中若所有非零元构成交换群，则Zn为域 所有与n互素的元素构成交换群 1…n-1都与n互素，则n为素数 对于任一素数p，Zp为域
Zp
Zp在模p的加法和乘法运算下是一个域 证明一：直接验证Zp满足域的定义 证明二：证明Zp是整环，有限整环是域 证明三： Zp=Z/(p)，Z是主理想整环。
证明思路：通过元素个数的运算证明。
欧拉定理的传统证明方法
因为
循环群的性质
定理1.15的证明
离散对数
离散对数：设G是循环群，g为G的一个生 成元。群中的离散对数问题指得是给定群 中的一个元素h，找到正整数n，使得 h=gn
n称为h（相对于生成元g）的离散对数，记为
n=㏒g(h)
离散对数的例子
1.3 多项式环
我们本节主要讨论域上的多项式环
定义（续）
多项式除法和不可约多项式
定理
带余除法
定理(带余除法) 设a (x)和b(x)是F[x]中的两个多项式, 而b(x) 0.那么,F[x]中有唯一的一对多项式q(x)和r (x) 具有下面的性质: a(x)=q(x)b(x)+r (x), 0 r (x)< 0b(x)...............(1) 证明： 1.对a (x)的次数利用数学归纳法证明存在性. 归纳基础(初始条件): 0 a (x) 0b(x)时结论成立.[注意归纳基础的存在性] 归纳假设:假设 0 a (x) n时结论成立 归纳证明: 0 a (x)＝n时结论成立，分两种情况n 0b(x),n 0b(x) 2.唯一性. 次数小于0的多项式为0多项式. (1)式叫做带余除法算式,q(x)叫做用b(x)做除式去除被除式 a (x)所得的商,而r (x )叫做用b(x )去除a (x )所得的余式.我们记 r (x)=(a (x))b (x ) .
Leabharlann Baidu
环同态
主理想与主理想整环
定义 设X是环R的非空子集，{I1，I2，…} 是包含X的所有理想，则称它们的交是由X 生成的理想，记为(X)．X中的元素称为(X) 的生成元素．当X是有限集时，称(X)是有 限生成理想．由一个元素生成的理想(a)称 为主理想． 定义 如果一个整环上的理想都是主理想， 则称为主理想整环．
教学内容（续）
第四章 Grőbner基理论（6学时） 4.1 项序的定义和分类 4.2 多项式的除法算法 4.3 域上的Grőbner基定义及其计算方法 4.4 域上的既约Grőbner基定义及其相关性质 第五章 有限域上的离散对数问题（4学时） 5.1 有限域上的离散对数问题 5.2 Shanks算法 5.3 Pohlig-Heliman算法 5.4 Pollardp方法 5.5 指数演算方法
例子（从环的角度）
整数集Z：环 nZ，子环，理想 Zn：剩余类环 Zn中的乘法可逆元
{a|(a,n)=1}
整环、除环
一个环称为整环，如果它是一个有单位元 的交换环且无零因子。 一个环称为除环，如果所有的非零元在乘 法运算下构成群。
域的定义
交换除环称为域
定理：有限整环是域。 证明思路：根据域的定义，只需要证明每 一个非零元都有逆元即可。
循环群
循环群：群G称为是循环的，如果存在元素 g，使得对任一h∈G都有一个整数 i，使得 h= gi ，这样的元素g称为G的一个生成元。 可记G=<g>.
等价关系
陪集：设G为一个群，H是群G的一个子群。 集合{aH| a∈G}被称为群G中相对于子群H的 a-左陪集，表示为aH， a为左陪集代表元。 自然，也有右陪集Ha的概念。 指数：G可按其子群H的左陪集分排成一些 两两不交的等价类。若这些等价类的个数有 限，则称这个陪集的个数为H在G中的指数， 记为[G:H]。
a aa a
我们还将a的逆元a1的n次幂记为an，即 n a n a 1a 1 a 1 群的逆元（a1） 1=a
元素的阶
元素的阶 设G为群，a∈G，如果存在整数 t，使得at=1，则这样的最小正整数t定义为 a的阶，记为o(a)。如果这样的t不存在，则 a的阶定义为∞。 定理： o(a)=m，an=1当且仅当m|n。 证明思路： 充分性显然。必要性围绕着m 为最小正整数来证明。
什么是域？（续）
乘法满足：对于任意a,b,c∈F
a· b=b· a；交换律 (a· · b) c=a· c)；结合律 (b· 存在e ∈F，使得a· e=a；有单位元 存在a-1 ∈F，使得a· -1 =e；有逆元 a
乘法对加法满足分配率
a· (b+c)=a· b+a· c
域的例子
: G G / N : (a) aN
是G到G/N的满同态，且kerφ=N 证明思路： 紧扣正规子群和同态的定义
子环与理想
子环：环R的一个子集S称为R的子环，如果 S关于环中的两种运算封闭并且在这两种运 算之下形成一个环。 理想：环R的一个子环J成为一个理想，如 果对于任意a∈J，r ∈R，有ar ∈J和ra ∈J。 剩余类环：设R是一个交换环，而I是R的一 个理想，记 R/I={[a]=a+I|a∈R} 按照陪集的运算，R/I构成一个环，称为R 模I的剩余类环或商环。
有限域及其应用
聂旭云 xynie@uestc.edu.cn
教师简介
聂旭云 研究方向：密码学，公钥密码算法，密码 学相关代数理论
教学目的
掌握有限域的基本理论和基本方法, 熟悉有 限域的结构 了解有限域与多项式的关系, 熟悉不可约多 项式与多项式的分解 掌握有限域的应用与方法, 能用基本的有限 域理论解决和回答一些应用问题, 如编码理 论和密码理论中的有限域应用。
第六章 有限域上的椭圆曲线（4学时） 6.1 椭圆曲线上的群结构 6.2 椭圆曲线的射影坐标表示 6.3 椭圆曲线上的有理点 6.4 椭圆曲线密码学 第七章 有限域的应用（6学时） 7.1 有限域在流密码中的应用 7.2 有限域在公钥密码中的应用 7.3 有限域在编码中的应用
第一章 代数学基础
Q，R，C
a b 2, a, b Q
群
什么是群？ 集合 定义一个二元运算 二元运算满足封闭性、结合律 有单位元 有逆元 若满足交换律，则称为交换群，此时群中 运算可认为是加法，也称为加群
域的定义简化
F是一个非空集合，定义了加法、乘法两个 二元运算，对这两个运算封闭 对于加法构成交换群 对于乘法构成交换群 乘法对加法满足分配率
群的例子
{Z，+} 数域K中全体n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法 构成群称为n级一般线形群，记为GLn(K); GLn(K)中全体行列式为1的矩阵对于矩阵的 乘法也构成群，称为特殊线形群，记为 SLn(K)。
环
集合 集合+加法+乘法 加法交换群 乘法满足结合律 加法和乘法满足分配率 环中乘法不一定有单位元也不一定要满足 交换律 满足乘法交换律的环称为交换环
基本学习方法
紧扣定义，从定义出发，理解相关定理、 性质 掌握各种代数结构的性质及相互之间的关 系
考核方式
平时：40%，主要评价来源：考勤、课外 作业 期末考试：60%
参考教材
教 材：
Finite Fields, Rudolf Lidl ,Addison-Wesley Publishing Company， 1997.
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
什么是域
F是一个非空集合，定义了加法、乘法两个 二元运算，对这两个运算封闭 加法满足：对于任意a,b,c∈F
a+b=b+a；交换律 (a+b)+c=a+(b+c)；结合律 存在0 ∈F，使得a+0=a；有零元 存在-a ∈F，使得a+(-a)=0；有负元
商环、素理想和极大理想
定义 设I是具有单位元的交换环R的一个 理想，IR．如果abI，总有aI或bI， 则称I是R的一个素理想．如果不存在另一 个理想A(AR)，使IA，则称I是R的一个 极大理想．
商环、素理想和极大理想
例 整数环Z内由素数p生成的理想(p)是一个素理 想，同时也是一个极大理想． 证明 Z内由素数p生成的理想 (p) = {mpmZ}． 如果ab(p)，则pab，于是pa或pb，所以 a(p)或b(p)，(p)是一个素理想． 如果存在一个理想(n)使(p) (n)R，则np，由 于p是素数，则有n = 1或n = p．n = 1时(n) = Z， n = p时(n) = (p)，故(p)是极大理想．