多元函数的极值与拉格朗日乘数法

1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
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求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
2
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
2 （2） AC B 0 时没有极值；
（3） AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2
还需另作讨论．
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例4
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
x x0 y y0 z z0 化简为 2 2 1, 2 a b c
该切平面在三个轴上的截距各为
b c a x ， y ，z , z0 y0 x0 2 2 2 1 a b c 所围四面体的体积 V xyz , 6 6 x0 y0 z 0
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2
2
2
2 2 2 x0 y0 z 0 在条件 2 2 2 1下求 V 的最小值, a b c
问题.
有时条件极值 可通过将约束条件代入 目标函数中化为无条件极值. 但在一般情形 下,这样做是有困难的, 甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y )在条件 ( x , y ) 0下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) ， 其中 为拉格朗日乘数，可由
无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外, 并无 其他条件.
条件极值 对自变量有附加条件的极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例5 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z , 由题意 x y z 18,
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法
小结
思考题
1/29 第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
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1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
2
x y6
由 f x 4 x ( x 6) 2 x 0 ,
2
D
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x | x 4 2,
f (4,2) 64,
比较后可知 f ( 2,1) 4 为最大值,
f (4,2) 64 为最小值.
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x y 例 6 求z 2 的最大值和最小值. 2 x y 1
z 18 x y
长方体的体积为 V xyz xy(18 x y )
18xy x y xy x 区域D： 0, y 0, x y 18 2 Vx 18 y 2 xy y 0 驻点(6,6) 2
2
2
V y 18 x x 2 xy 0
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
2
1 B z |P 0, C zyy |P , xy 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 4
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) 解 由 zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
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3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有可能极值点处的函数 值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数,
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1 A z |P , xx 2 z
解 令 F ( x, y, z, ) x3 y 2 z ( x y z 12) ,
则
3 x2 y2z 0 Fx F y 2 x 3 yz 0 Fz x 3 y 2 0 x y z 12
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仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 极值点(具有偏导数 注意：驻点 的函数的极值点）
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点， 但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
3 2
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
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x2 y2 z2 例 8 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1 的 a b c
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体 体积最小，求切点坐标.
解 设 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 为椭球面上一点,
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
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例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２ 函数 z x 2 y 2
在 (0,0) 处有极大值．
(1)
(2)
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
(3)
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2、多元函数取得极值的条件
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
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故当 y y0 ， x x0 时， f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) , 有
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
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f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 0 时具有极值，
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
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拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数 F ( x, y, z, t , 1 , 2 ) f ( x, y, z, t )
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例5 求二元函数 z f ( x , y ) x 2 y ( 4 x y ) y x D 在直线 x y 6 ， 轴和 轴所围成的闭区域 上的最大值与最小值.
解
如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
x
D
o
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解方程组
f x ( x , y ) 2 xy (4 x y ) x 2 y 0 f y ( x , y ) x 2 (4 x y ) x 2 y 0
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
推广 如果三元函数u f ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
Байду номын сангаас
1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z , t )
其中 1 , 2 均为拉格朗日乘数，可由 偏导数为零解 出 x, y, z , t ，即得极值点的坐标.
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例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u x y z 为最大.
由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积 一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方 体体积最大.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
上例的极值问题也可以看成是求三元函数
V xyz
的极值, 但x、y、z 要受到条件 目标函数 x y z 18 的限制, 这便是一个条件极值 约束条件
x2 y2 z2 令 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, a b c
2 y0 2 z0 2 x0 则 Fx |P 2 ， F y | P 2 ， Fz | P 2 a b c
过 P ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为
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y0 z0 x0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 0 , 2 c a b
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x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
二、条件极值 拉格朗日乘数法
得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
D 再求 f ( x , y ) 在 边界上的最值，
在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
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在边界 x y 6 上，即 y 6 x
y
于是 f ( x, y ) x (6 x )(2) ,