数列极限的定义

a的极限是无穷大，记作 n
lim a
n
n

2n 1 2 . 例2 证明 lim n 3 n 1 3
证
2n 1 2 7 1 7 an a 3n 1 3 3( 3n 1) 9n n
对 0, 取 N 1 ,
n

收敛于 a， a 称为它的极限，记作 lim an a 或
an a ( n ) ．
如果数列 an 没有极限，则称它是发散的或发
散数列．
注意:
0, 存在N（），使得，当 N时， n an a 成立
a ( a ) a
N 定义的要点.
ln 对1 0, 取N , 则当n N时, ln | q |
恒有 | q n 0 | ,
lim q n 0.
n
证明 lim(1) n 不存在 .
n
只要n无限增大，an 无法与始终和1无限靠近, 也无法和始终和－1无限靠近。
| q | 1 0 | q | 1 n lim q n q1 1 不存在 q 1
n
an充分接近1
n N

确保
an 1
( 刻画an与1的接近程度)
给定 0,
1 只要 n N ( [ ])时, 有 an 1 成立.
定义 1( N 定义)Fra Baidu bibliotek
设 an 是一个数列， a 是一
个确定的数，若对任给的正数 ，相应地存在正整数 N， 使得当 n N 时， 总有 an a ， 则称数列 an
当n无限增大时, 如果数列{an}的一般项an无限接近 于常数a, 则数列{an}收敛a. 当n无限增大时, an无限接近于a . 当n无限增大时, |ana|无限接近于0 . 当n无限增大时, |ana|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |ana|能小于事先给定的任意 小的正数.
2n 1 (1) n1 都没有极限. ，
如果当n 无限增大时，数列 an 不能接近于一个确定的常数， 则称数列 a 没有极限，或称数列 an 发散，记作 n 存在.
lim a 不
n n
当 n 无限增大时，如果 an 无限增大，则数列没有极限.这时， 习惯上也称数列
N定义 :
0, 存在N（），使得，当 N时， n an a 成立
几何解释:
a
a2 a1 a N 1
2
a
aN 2
a
a3
x
当n N时, 所有的点 an都落在 (a , a ) 内, 只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
例1 ， 数列
1 给定 , 10
只要 n 10时,
1 有 an 1 , 10
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 an 1 100 , 100 n 100 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 an 1 1 , 1000 1000 1 1 , 给定 , 只要 n 10000 , 有 an 1 时 10000 10000
a1
an
a4
a3
a5 a2
数列的极限
例如
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
3 4 n1 2, , , , ,; 2 3 n
n 1
1 { n} 2
n1 { } n
n ( 1) n1 1 4 n ( 1) } 2, , , , ,; { n 2 3 n 观察数列 {an } 当 n 时的变化趋势.
引例:截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第 天 下 杖 为 一 截 的 长
第 天 下 杖 为 二 截 的 长

第n天 下 杖 为 截 的 长
1 an n 2
1 a1 ; 2 1 a2 2 ; 2 1 an n ; 2
0
2、数列
数列{a n }.
注意:
数列对应着数轴上一个点列,可看作一动 a1 , a2 ,, an ,. 点在数轴上依次取
n
n
n
随着n的增加，1/n会越来越小.
( 1) n1 1 n 1 1 1 ( 1) an 1 1 n n n
随着n的增加，1/n会越来越小.例如 1 有 an 1 1, 只要 n 1时, 由 1, 给定 1, n
1 1 由 , n 10
证明的步骤： (1) 对于任意给定的正数 , 令 |ana|< ; (2) 由上式开始分析倒推, 推出 n > () ;
(3)取N=[ ()] , 再用 N语言顺述结论.
注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的N,故可把 |ana|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N. (2)从 |ana|< 找 N 与解不等式 |ana|< 意义不同.
[x]为取整函数
任意给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 an 1 成立.
1
1 ( 1) n1 n 1 1 an 1 1 1 ( 1) n n n
只要n无限增大，an 就会与1无限靠近, 即 an 1 可任意小 引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大.
例3 证明 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
证
则 lim q n lim 0 0; 任给 0, 若q 0, n n
n
ln 若0 | q | 1, | an 0 || q | , n ln | q | ln , n , ln | q |
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
通过观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, an 1 无限接近于 1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数 的 接近程度. 1 ( 1) n1 n 1 1 an 1 1 1 ( 1)
则当n N时,
2n 1 2 1 总有 , 3n 1 3 n
2n 1 2 lim . n 3 n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时， an a 成立
用定义证明 lim an= a，就是证明对 >0，N存在.
n