10扇形有关的计算.习题集(2014-2015)-教师版

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(10)A ，

，(20)B ，，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，点D 的坐标为：________；在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是_______；保持上述运动过程，经过(20143)，的正六边形的顶点是_______。

(2014年西城区一模)

【答案】

(4,0)，2，B 或F

题型一：扇形有关的计算

【例1】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（ ）．

A ．

15π4 B ．15π2 C ．5π4 D ．5

π2

【答案】D

【例2】如果钟表的轴心到分针针端的长为5，那么经过40分钟，钟表的分针针端转过的弧长是________．

【答案】20

π3

【解析】一小时有60分钟，所以40分钟相当于转过了表的

23，所以转过的弧长是2

3

圆的周长． 【例3】一条弧的长度为12π，所对的圆心角为108°，那么这段弧的半径为___________． 【答案】20

【例4】若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为____________

（2014年西宁）

【答案】6

【例5】如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）．

（2012年漳州）

1 2 3 y

x

O

1

2

3 4

A B

C D E F 1 2 3

y

x

O

1

2 3

4

A B C D E

F 与扇形有关的计算学案

真题链接

课堂练习

A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm

【答案】B

【解析】圆心移动的距离等于圆的周长．

【例6】通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为_____

（2014年内江）

【答案】1344

【解析】它从A位置开始，滚过与它相同的其他2014个圆的上部，到达最后位置．则该圆共滚过了2014段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2012段是半径为2r，圆心角为60度的弧长，所以可求得．

【例7】如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是___________m．

（2013年玉林）

O1O2

【答案】40π

【解析】解：如图，连接

122

O O CD CO

，，，

C

O1O2

∵

1221

015

O O C CO cm

===，

∴

21

60

CO O

∠=︒，

∴

2

120

CO D

∠=︒，

则圆

12

O O

，的圆心角为360120240

︒︒=︒

-，

则游泳池的周长为

π240π15

2240π

180180

n r

C

⨯

=⨯=⨯=

【例8】如图，ABC

∆是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A B C

、、，如果1

AB=，那么曲线CDEF的长是____________．

（2013年宜宾）

【答案】4π

【解析】弧CD的长是

120π12

π

1803

⨯

=，

弧DE的长是：

120π24

π

1803

⨯

=，

弧EF的长是：

120π3

2π

180

⨯

=，

则曲线CDEF的长是：

24

π+π+2π4π

33

=

【例9】如图，在扇形OAB中，110

AOB

∠=︒，半径18

OA=，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长为_________．

（2013年扬州）

A

C

B

O

D

【答案】5π

【解析】连接OD

A

C

B

O

D 根据折叠的性质知，OB DB

=．

又∵OD OB

=，

∴OD OB DB

==，即ODB

∆是等边三角形，

∴60

DOB

∠=︒．

∵110

AOB

∠=︒，

∴50

AOD AOB DOB

∠=∠∠=︒

-，

∴弧AD 的长为50π18

5π180

l ⨯=

=．

题型二：多边形滚动问题

【例10】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过

路径的长度为（ ）cm ．

（2013年遵义）

A ．3π2

B ．22+π3

C ．4π3

D ．3

【答案】C

【解析】通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B 两次划过的弧长，即可得出所经过路

径的长度．解题过程如下： 解：∵ABC ∆是等边三角形， ∴60ACB ∠=︒ ，

∴120AC

A ∠=︒（） ， 点

B 两次翻动划过的弧长相等， 则点B 经过的路径长120π14

2π1803

l ⨯=⨯

= 【例11】已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受

损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O 所经过的路线长是_____________米．

【答案】

2π+50 【解析】解：由图形可知，圆心先向前走12O O 的长度即

14圆的周长，然后沿着弧23O O 旋转1

4

圆的周长， 最后向右平移50米，

所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50， 由已知得圆的半径为2， 设半圆形的弧长为l ， 则半圆形的弧长(9090)π2

=

2π180

l +⋅⋅=，