结构力学 第11章 影响线及其应用
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§11—12简支梁的包络图
1. 问题的提出
§11—1 概述
工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷 载的作用。例如：见图。 在移动荷载作用下，结构的反力 和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必
须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。
为了解决这个问题，需要研究荷载移动时 反力和内力的变化规律。然而不同的反力和 不同截面的内力变化规律各不相同，即使同 一截面，不同的内力变化规律也不相同，解 决这个复杂问题的工具就是影响线。
计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁 简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横 梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为 间接荷载或结点荷载。
F 纵梁
横梁（结点）
主梁
2. 间接荷载影响线的绘制方法
F=1 F=F1=1 F=1
以绘制MC影响线为例
A
C
D
E
B
（1）首先，将F=1移动到各 结点处。其MC与直接荷载作用
1
⊖
FsA右影响线
绘制MK、FsK影响线
当F=1在DK 段上移动时
取K以左为隔离体 MK=－x FsK=－1
当F=1在KE 段上移动时 取K以左为隔离体
MK=0 FsK=0 绘制FsA左影响线
绘制FsA右影响线
§11—3 间接荷载作用下的影响线
1.间接荷载（结点荷载）
桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图 如图所示。
P274
§11—1 概述
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11—3 间接荷载作用下的影响线 §11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11—5 多跨静定梁的影响线 §11—6 桁架的影响线 §11—7 利用影响线求量值 §11—8 铁路和公路的标准荷载制 §11—9 最不利荷载位置 §11—10 换算荷载 §11—11 简支梁的绝对最大弯矩
在主梁上完全相同。
yD
y yE
x F=1
d
dx
x
d
d
MC影响线
（2）其次，当F=1在DE间移
动时，主梁在D、E处分别受到
结点荷载
d
d
x
及
x d
的作用。设直
接荷载作用下MC影响线在D、
E处的竖标为 yD、yE ，在上述
两结点荷载作用下MC值为
y=
dx d
yD
x d
yE（直线方程）
x=0, y=yD
x=d, y=yE
RA
⊕1
RA影响线
a
时，取截面C以右部分
为隔离体 有
MC=RBb FsC=－RB
RB影响线
a
当 F=1在CE段移动 MC影响线
时，取截面C以左部分
为隔离体 有
1
MC=RAa
FsC影响线
FsC=RA
b
RB ⊖
1
b
1
(3)伸臂部分截面内力影响线
F=1
Dx K
F=1
E
d
0
⊖
d
⊖ 1
1⊖
⊕
1⊕
MK影响线 FsK影响线 FsA左影响线
a l
当 F=1在CB段上移动时,
取截面 C以左部分:
FsC=RA (a＜x≤l) (右直线)
4. 伸臂梁的影响线
（1）反力影响线
D
x A
Fx=1 C
F=1
B
E
（由2平）衡跨条内件部求分得截面
内力RA影= 响L L线x (-l1≤x≤ RM线BC=、Lx FsC影响 l+l2) 当 F=1在DC段移动
2. 最不利荷载位置 某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷
载位置。
工程中移动荷载常由很多间距不变的竖向荷载组成， 类型多种多样，不可能逐一研究。
先研究最简单的荷载，即竖向单位集中荷载 F=1沿 结构移动时，对某量值产生的影响，据叠加原理可进一 步研究各种移动荷载对该量值的影响。
F=1ห้องสมุดไป่ตู้F=1F=1 F=1 F=1
RB
x l
(直线)
(0≤x≤l)
当
x=0, RB=0 x=l, RB=1
（2）弯矩影响线
绘制 MC的影响线
当F=1在C左侧移动时,
取截面C以右部分:
MC=RBb=
x l
b
(0≤x≤a)
x=0, MC=0 x=a, MC=ab/l
x
x
FF==x11 x
F=1
a
C
b
RA
RB
a
ab/l
b
0 MC影响线
得MC影响线的左直线。
A
B
1
2
3
RA 1
3/4
1/2
1/4
0
所得图形表示F=1在梁上移动时反力 RA的变化规律， 这一图形就称为反力 RA的影响线。
3. 影响线的定义
指向不变的单位集中荷载(竖直向下)沿结构移动时， 表示某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。
某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不 利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。
3. 简支梁的影响线
x F=1
K
（1）反力影响线
RA影响线: 由∑MB=0
RA
RB RAl F (l x) 0
RB影响10RR线AB影影⊕响响由线线∑MA=0物到力yKR理K A截R意的Bl面－⊕义大F时:小x10当=,支0 RFA座当=1AF移l的xxl动==x反0l,, (0lRR≤lxAAx≤==l0)1(直线)
F=1 F=1F=1 F=1 F=1
A
1
2
3
B
RA 1
3/4
1/2
1/4
0
RA的影响线
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线
1. 绘制影响线的基本方法： 静力法和机动法。 2. 静力法：
1) 选定一坐标系，荷载 F=1置于横坐标 x处; 2) 据静力条件求所求量值与荷载位置x之间的
函数关系S(x)，即影响线方程; 3) 根据方程S(x)绘影响线。
1/4 3/8
ME影响线
3/4
FsE影响线
1/4
§11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。
1.机动法的依据—— 虚位移原理
刚体体系在力系作用下处于平衡的充要条件是： 在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。
2. 机动法简介
A
作反力RA的影响线，为
F=1
B
求反力RA，撤掉与其相应
3. 结 论
间接荷载作用下影响线的绘制方法：
（1）首先作出直接荷载作用下量值的影响线。
（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁
范围内连成直线。
F=1
例题
K
a
RB影响线
0
1
a MK影响线
FsK影响线（练习）
练习：试绘制图示结构ME、FsE影响线。
15/8
5/4
3/2
5/4
5/8 1/2
1/4
当 F=1在截面C右侧移动时:
取截面C以左部分:
x=a,
MC=
ab l
x=l, MC=0
MC=RAa=
(a≤x≤l)
得MC影响线的右直线。
（3）剪力影响线
x
x
FF==x11 x
F=1
绘制 FsC的影响线
RA
a
C
b
RB
当 F=1在AC段上移动时,
1
取截面 C以右部分:
FsC影响线
-
1
FsC=－RB (0≤x＜a) (左直线)
1. 问题的提出
§11—1 概述
工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷 载的作用。例如：见图。 在移动荷载作用下，结构的反力 和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必
须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。
为了解决这个问题，需要研究荷载移动时 反力和内力的变化规律。然而不同的反力和 不同截面的内力变化规律各不相同，即使同 一截面，不同的内力变化规律也不相同，解 决这个复杂问题的工具就是影响线。
计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁 简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横 梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为 间接荷载或结点荷载。
F 纵梁
横梁（结点）
主梁
2. 间接荷载影响线的绘制方法
F=1 F=F1=1 F=1
以绘制MC影响线为例
A
C
D
E
B
（1）首先，将F=1移动到各 结点处。其MC与直接荷载作用
1
⊖
FsA右影响线
绘制MK、FsK影响线
当F=1在DK 段上移动时
取K以左为隔离体 MK=－x FsK=－1
当F=1在KE 段上移动时 取K以左为隔离体
MK=0 FsK=0 绘制FsA左影响线
绘制FsA右影响线
§11—3 间接荷载作用下的影响线
1.间接荷载（结点荷载）
桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图 如图所示。
P274
§11—1 概述
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11—3 间接荷载作用下的影响线 §11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 §11—5 多跨静定梁的影响线 §11—6 桁架的影响线 §11—7 利用影响线求量值 §11—8 铁路和公路的标准荷载制 §11—9 最不利荷载位置 §11—10 换算荷载 §11—11 简支梁的绝对最大弯矩
在主梁上完全相同。
yD
y yE
x F=1
d
dx
x
d
d
MC影响线
（2）其次，当F=1在DE间移
动时，主梁在D、E处分别受到
结点荷载
d
d
x
及
x d
的作用。设直
接荷载作用下MC影响线在D、
E处的竖标为 yD、yE ，在上述
两结点荷载作用下MC值为
y=
dx d
yD
x d
yE（直线方程）
x=0, y=yD
x=d, y=yE
RA
⊕1
RA影响线
a
时，取截面C以右部分
为隔离体 有
MC=RBb FsC=－RB
RB影响线
a
当 F=1在CE段移动 MC影响线
时，取截面C以左部分
为隔离体 有
1
MC=RAa
FsC影响线
FsC=RA
b
RB ⊖
1
b
1
(3)伸臂部分截面内力影响线
F=1
Dx K
F=1
E
d
0
⊖
d
⊖ 1
1⊖
⊕
1⊕
MK影响线 FsK影响线 FsA左影响线
a l
当 F=1在CB段上移动时,
取截面 C以左部分:
FsC=RA (a＜x≤l) (右直线)
4. 伸臂梁的影响线
（1）反力影响线
D
x A
Fx=1 C
F=1
B
E
（由2平）衡跨条内件部求分得截面
内力RA影= 响L L线x (-l1≤x≤ RM线BC=、Lx FsC影响 l+l2) 当 F=1在DC段移动
2. 最不利荷载位置 某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷
载位置。
工程中移动荷载常由很多间距不变的竖向荷载组成， 类型多种多样，不可能逐一研究。
先研究最简单的荷载，即竖向单位集中荷载 F=1沿 结构移动时，对某量值产生的影响，据叠加原理可进一 步研究各种移动荷载对该量值的影响。
F=1ห้องสมุดไป่ตู้F=1F=1 F=1 F=1
RB
x l
(直线)
(0≤x≤l)
当
x=0, RB=0 x=l, RB=1
（2）弯矩影响线
绘制 MC的影响线
当F=1在C左侧移动时,
取截面C以右部分:
MC=RBb=
x l
b
(0≤x≤a)
x=0, MC=0 x=a, MC=ab/l
x
x
FF==x11 x
F=1
a
C
b
RA
RB
a
ab/l
b
0 MC影响线
得MC影响线的左直线。
A
B
1
2
3
RA 1
3/4
1/2
1/4
0
所得图形表示F=1在梁上移动时反力 RA的变化规律， 这一图形就称为反力 RA的影响线。
3. 影响线的定义
指向不变的单位集中荷载(竖直向下)沿结构移动时， 表示某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。
某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不 利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。
3. 简支梁的影响线
x F=1
K
（1）反力影响线
RA影响线: 由∑MB=0
RA
RB RAl F (l x) 0
RB影响10RR线AB影影⊕响响由线线∑MA=0物到力yKR理K A截R意的Bl面－⊕义大F时:小x10当=,支0 RFA座当=1AF移l的xxl动==x反0l,, (0lRR≤lxAAx≤==l0)1(直线)
F=1 F=1F=1 F=1 F=1
A
1
2
3
B
RA 1
3/4
1/2
1/4
0
RA的影响线
§11—2 用静力法作单跨静定梁的影响线
1. 绘制影响线的基本方法： 静力法和机动法。 2. 静力法：
1) 选定一坐标系，荷载 F=1置于横坐标 x处; 2) 据静力条件求所求量值与荷载位置x之间的
函数关系S(x)，即影响线方程; 3) 根据方程S(x)绘影响线。
1/4 3/8
ME影响线
3/4
FsE影响线
1/4
§11—4 用机动法作单跨静定梁的影响线 静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。
1.机动法的依据—— 虚位移原理
刚体体系在力系作用下处于平衡的充要条件是： 在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。
2. 机动法简介
A
作反力RA的影响线，为
F=1
B
求反力RA，撤掉与其相应
3. 结 论
间接荷载作用下影响线的绘制方法：
（1）首先作出直接荷载作用下量值的影响线。
（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁
范围内连成直线。
F=1
例题
K
a
RB影响线
0
1
a MK影响线
FsK影响线（练习）
练习：试绘制图示结构ME、FsE影响线。
15/8
5/4
3/2
5/4
5/8 1/2
1/4
当 F=1在截面C右侧移动时:
取截面C以左部分:
x=a,
MC=
ab l
x=l, MC=0
MC=RAa=
(a≤x≤l)
得MC影响线的右直线。
（3）剪力影响线
x
x
FF==x11 x
F=1
绘制 FsC的影响线
RA
a
C
b
RB
当 F=1在AC段上移动时,
1
取截面 C以右部分:
FsC影响线
-
1
FsC=－RB (0≤x＜a) (左直线)