材料力学 第八章 能量法

由胡克定律可知, Ei Ai li Ei Ai Ni (u cos i v sin i ) li li
N i2li Ei Ai 第 i根杆的变形能， U (u cos i v sin i ) 2 i 2 Ei Ai 2li n n Ei Ai 结构的总变形能， U U (u cos i v sin i ) 2 i 2l i 1 i 1 i
n 1 1 1 1 U P 1 P2 2 Pn n Pi i 1 2 2 2 i 1 2
即，在上述三个条件下，弹性体内的变形能与外 力加载的次序（加载路径）无关。
在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件 下，弹性体内的变形能与外力加载的次序无关。
•P1和P2同时比例加载
对于一般的线弹性体，变形能为 ，
1 2 2 U 1 2 32 2 1 2 2 3 3 1 ) dV 2E V


用能量原理计算杆件的变形
杆件承受外载荷P作用，沿P 的作用方向上发生位移 。
1 U W P 2
例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到 集中力P作用，求自由端的垂直位移。 解： 外力功：
1 U W P 2 3）既可以用杆件系统所受外力，也可以用结构的位移表示 杆件系统的变形能。 一般而言，线弹性杆件i承受外载荷Pi作用，发生位移i 。
1 U Pi i U ( P , P2 ,, Pn ; 1 , 2 ,, n ) 1 2 i 1
n
结构所受外力
h2 2 y 4
弯曲切应力产生的变形能:
Q L UQ LdA 2G 8GI 2 A

2
2
h 3P 2 L y 2 bdy / 2 4 5GA h
h/2 2
2
组合变形杆件的变形能
长L的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭转组合变形 。
第八章 能量法作业
8-1 （b）、（d） 8-2 （b）、（d） 8-3 （b）、（d） 8-4 8-6 8-10 8-9 8-11 （a）、（b） 8-10 （a）、（b） 8-12 （a）、（b） 8-11 （a）、（b）
8-15
8-13
第八章 能量法
8.1 杆件的变形能 8.2克拉贝隆原理 卡氏定理
弹性材料的弹性比能
u de
0
e
线弹性材料的弹性比能
1 u e 2
思考:计算弹性比能时，什么时候需要沿加载路径积分？
平面弯曲直梁
长为L的等直杆，横截面弯曲刚度为EI 。 •当弯矩M=常数时，杆的变形能为 1 M 2 L EIL 2 (y ) U=W= M 2 2 2 EI 1 2 L M 2 2 M 2L U LdA ( ) y dA 2E 2E I A 2 EI A
N 2L UN 2 EA
N 2 ( x)dx UN L 2 EA
N i2 Li U i 1 2 E i Ai
n
N 2 ( x)dx EA l ( x))2 dx U L L 2L 2 EA
以上分析，杆件均为线性弹性材料制成
圆轴扭转
长为L的等截面圆杆，其截面扭转刚度为GIp 。 •当扭矩MT=常数时，杆的变形能为 U MT 2 M T L GI p 2 1 U=W= M T 2GI p 2 2L 2 M T2 ( x)dx 1 2 L MT 2 2 MT L U MT U LdA ( ) dA L 2GI p 2G 2G I p A 2GI p A •当扭矩MT=MT(x)时，杆的变形能为
2 N 2 ( x)dx M T ( x)dx M 2 ( x)dx Q 2 L U k L L L 2 EA 2GI p 2 EI 2GA
式中，k为弯曲切应力产生的变形能的计算因子；
[]表示弯曲切应力产生的变形能通常忽略不计。 *上式适用条件：杆件均为线性弹性材料制成* *而且扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*
8.3 虚功原理
互等定理
8.4 单位力法 图乘法
8.5 超静定问题 力法正则方程
8.6 冲击应力 动载强度计算
第八章 能量法
8.1 杆件的变形能
基于能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在 弹性体内的变形能。 即 U=W
例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力P作用。
1 外力功： W P 2
变形能： U U U 或 U U M U Q 在数值上，U=W
一般而言，在细长梁、刚架等构件中， 弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。
例：图示由 n 圈弹簧丝组成的密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受压力 F 作用。设弹簧 的平均直径为 D，弹簧丝的直径为 d ，切变模量为 G 。试计算弹簧的轴向变形δ 。 F F 解：沿弹簧丝任一横截面将弹簧截开，讨 论其内力
FD/2 F
U We
N 2L
弯曲切应力产生的变形能
一般而言，在细长梁、刚架等构件中， 弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。
例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到集 中力P作用，求弯曲切应力产生的变形能。 解：在梁的长度方向上，Q=P;0<x<L 梁的弯曲切应力:
Q 2I
设应变能以广义力为自变量的形式表示 U U (1 , 2 ,..., n ) U dΡi 给定一个载荷增量 dPi ，则应变能增量：dU Pi 同时 ，则外力功增量： dW dΡi i U 由功能原理 dU=dW， 得： i Pi 设应变能以广义位移为自变量的形式表示 U U (1 , 2 ,..., n ) U Pi 如上述类似地证明， i
1 Pl 2 EA 2 (内力2)*杆件长度 2 M T L 变形能 =内力功= 1 2*(杆件刚度) M T 2GI p 2 M 2L 1 M 2 2 EI 1 2 N 2L dV 2 EA V 2E 1 2 M T L 变形能 =弹性比能*杆件的体积 2 dV U udV 2G 2GI p V V 1 M 2L 2 dV 2E 2 EI V
设 =0.25, G=0.4E, 并注意到，
1 I bh 3 , A bh 12
则
PL3 3 h2 3 h2 (1 ) 0 (1 ) 2 2 3EI 4L 4L
PL3 0 3EI
对细长梁L>4h,<1.0468750，相对误差≤5% 对更多细长梁L>10h,<1.00750。相对误差仅为0.75%
ub de Ke de
0 0
e1
e1
1 n
nKe 1 n
1 1 n 1
n P ( )1 n (1 n) K n 2 A cos 2lAn P U b ub (2lA) ( )1 n (1 n) K n 2 A cos
例题由n(n>2)根均匀直杆组成的平面汇交杆系，如图所示。 已知每根杆长li，横截面面积Ai，杆材料的弹性模量Ei以及 杆轴线与X轴正向的夹角i。当A点发生水平位移u和垂直 位移v时，计算结构的变形能。 解：分析第i根杆的变形， li u cos i v sin i
而外力在弹簧变形过程做的功等于应变能，有
1 4 F 2 D 3n F U 2 Gd 4
8D 3n F 4 Gd
Gd 4 Gd 4 可知，该弹簧的弹簧常数为：k 3 8D n 64 R 3n
例题 如图所示结构受到载荷P作用。结构中两杆的长度均 为l，横截面面积均为A。试分别计算杆件材料单轴拉伸的 应力-应变关系如图(a)和(b)所示条件下结构的变形能。
结构的自由度 杆件的变形
杆件的内力
杆件/结构的 变形能
小
1）杆件弹性变形能计算式为
结
长L的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭转组合变形 。
2 N 2 ( x)dx M T ( x)dx M 2 ( x)dx Q 2 L U k L L L 2 EA 2GI p 2 EI 2GA
1 W P 2
变形能： U U M U Q 在数值上，U=W
UM
( Px) 2 dx P 2 L3 2 EI 6 EI 0
L
3P 2 L UQ 5GA
PL3 6 PL 自由端的垂直位移: 3EI 5GA
讨 论
自由端的垂直位移:
PL3 6 PL 3EI 5GA
杆件的内力
U U ( P , P2 ,, Pn ) 1
杆件的变形
力 法 杆件/结构的 变形能
结构的自由度
杆件的变形
U U (1 , 2 ,, n )
杆件的内力
位移法
8.2 克拉贝隆原理
卡氏定理
在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条 件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为，
P 解：由静力平衡，两杆内力 N1 N 2 2 cos P 两杆横截面上的应力 1 2 2 A cos
(a)线弹性材料的弹性比能
P2 ua 2 E 8EA2 cos 2 lP 2 U a ua (2lA) 4 EA cos 2
2
(b)非线弹性材料弹性比能
2 MT L 2GI p
GI p d 2 M ( x)dx U dx L L 2 2GI p dx
2 T
2 M Ti Li U i 1 2Gi I pi n
*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成* *而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*
基本变形杆件的变形能计算公式
UM
M 2L 2 EI
M 2 ( x)dx UM L 2 EI
•当弯矩M=M(x)时，杆的变形能为
M 2 ( x)dx EI y)2 dx U L L 2 2 EI
M i2 dxi U i 1 Li 2 Ei I i
n
*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成* *而且只考虑了弯曲正应力产生的变形能*
1 1 U P 1 P2 2 1 2 2
•首先，加载P1，然后施加P2
1 U1 P 11 1 2 1 U 2 P2 22 P 12 1 2 •按照克拉贝隆原理，
U U1 U 2
线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数 等于相应于该力的广义位移 ，即卡氏第二定理
*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成* *而且扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*
对于一般的线弹性体，变形能为 ，
1 2 2 U 12 2 3 2 1 2 2 3 3 1 ) dV 2E V


2）用功能原理计算杆件的变形 杆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ承受外载荷P作用，沿P 的作用方向上发生位移 。
直杆的轴向拉伸与压缩
长为L的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为EA 。 •当轴力N=常数时，杆的变形能为 1 N 2 L EA 2 U=W= Nl l 2 2 EA 2 L 1 1N N N 2L U V e ( AL) 2 2 A EA 2 EA •当轴力N=N(x)时，杆的变形能为
外力功的表达式
载荷-位移(P-)曲线
观察加载过程，加载路径与外力功关系？
静加载下的外力功
W
Pd
0

思考：外力功在P-曲线上的几何意义?
线弹性小变形下的外力功
1 W Pd P 2 0

内力功（变形能）的表达式
应力-应变(-e)曲线
思考:材料力学性能、加载路径与变形能的关系？
FS F cos F FN F sin 0 FD FD T cos M 0 2 2
弹簧的变形主要由扭矩引起，可忽略剪 力影响。对密圈弹簧，弹簧丝总长可近 似为 s nD 则由内力功计算弹簧应变能，有
5 D d
D
U
nD
0
T2 nDT 2 4 F 2 D 3n ds 2GI p 2GI p Gd 4