曲线拟合的应用

曲线拟合的应用

摘要：在实际问题中，常常会从一组数据中筛选出对自己有用的部分，这样的问题可转化为寻找一种函数曲线去拟合这些数据，在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用最广泛的是曲线拟合。它不但可以提高数据处理效率，而且还能保证相当的精确度。 关键词：曲线拟合，最小二乘法，应用

1.直线拟合

直线拟合数据点(,)(1,2,

)i i x y i n =的最小二乘法，即找一个一次函数y Ax B =+，使二元函数

21(,)()n

i i i E A B Ax B y ==+-∑

达到最小。

由多元函数取得极值的必要条件知，由方程组：

1

1(,)2()0(,)2()10

n

i i i i n

i i

i E A B x y x A

E A B x y B

==∂⎧=+-⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-⋅=⎪∂⎩∑∑ 化简可得正规方程组：

2

111

1

1()()()n n n i i i i i i i n n

i i i i A x B x x y A x nB y

=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ （1-1）

由方程组（1-1）解出,A B ，即得一次函数y Ax B =+为所求的拟合直线.

2.幂函数拟合

在某些情况下的拟合函数M

y Ax =，其中M 是一个已知常数 设}

{

1

(,)n

i i i x y =有n 个点，最小二乘幂函数拟合曲线M

y Ax =，求函数()E A 的最小值？

21

()()n

M

i

i i E A Ax

y ==

-∑

对上式求关于A 的导数： 1

()2()()n

M M i

i i i E A Ax

y x ='=-⋅∑

令导数等于0，化简得： 21

1

(

)()0n

n M

M i

i i i i A x

x y ==-=∑∑

121

()

n

M

i

i i n M

i

i x

y A x

===

∑∑

即：M

y Ax =为所求的拟合曲线。

3.指数拟合

3.1 求解Ax y Ce =的非线性最小二乘法

设给定一组点集(,)(1,2,

)i i x y i n =，需要拟合指数曲线

采用非线性最小二乘法求下式的最小值： 21

(,)()i

n

Ax i i E A C Ce

y ==

-∑

（3.1-1） 对上式分别求关于的偏导数，并令导数等于0

1

1(,)2()()0(,)2()()0

i i

i i n Ax Ax i i i n

Ax Ax i

i E A C Ce y Ce x A

E A C Ce y e C ==∂⎧=-⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=-⋅=⎪∂⎩∑∑ （3.1-2） 化简可得正规方程组：

211

211()()0()()0i i

i i n n Ax Ax i i i i i n n

Ax Ax i i i C x e x y e C e y e ====⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∑∑∑∑ （3.1-3） 方程（3.1-3）对于未知数A 和C 是线性的，可用牛顿法求解。但这是一个耗时的计算，而且迭代

需要好的A 和C 的初始值。

3.2 求解Ax y Ce =线性化方法

设给定一组点集(,)(1,2,

)i i x y i n =，求指数函数Ax y Ce =的拟合曲线.

对上式两边同取对数得： ln ln y C Ax =+

令： ln Y y =，ln B C =，X x = 得： Y AX B =+

xy 平面上的初始点集(,)i i x y 变成平面上XY 的点集(,)(,ln )i i i i X Y x y =，这个过程称为数据线性化。这样可用最小二乘拟合曲线拟合点集}

{

1

(,)n

i i i X Y =，求解A 和B 的正规方程组为：

2

111

1

1()()()n n n

i i i i i i i n n

i i i i A X B X X Y A X nB Y

=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 解出A 和B ，B

C e =.

4.线性最小二乘法的一般形式

一般地，设给定数据组(,)(1,2,)i i x y i n =,01(),(),()m x x x ϕϕϕ为已知的一组[],a b 上线性

无关的函数，选取近似函数为：

0011()()()()m m x a x a x a x ϕϕϕϕ=++

+

使得： []2

2

110()()n

n

m

i i i k k i i i k y x y a x ϕϕ===⎡⎤

-=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑ （4-1）

[]2

1

min ()n

i i H

i y x ψψ∈==-∑

H 为01(),(),,()m x x x ϕϕϕ的线性组合的全体，这就是线性最小二法的一般形式。

特别地，取()(0,1,,)k k x x k m ϕ==，就是多项式拟合。

上述问题的正规方程组为:

[]1()()0n

i

i

j

i

i y x x ϕϕ=-=∑ (0,1,

,)j m = （4-2）

即：

11

[()()]()m

n

n

k k

i

j

i

i

j

i

k i i a x x y x ϕϕϕ===⋅=∑∑∑ (0,1,

,)j m = （4-3）

如果记1(,)[()()]n

k j k

i

j

i

k x x ϕϕϕϕ==

∑，1

(,)()n

j

i

j

i

i y y x ϕϕ==∑方程组（4-3）可表示成矩阵形式：