新攻略大一轮课标通用夯基提能作业本：2-第二章2-第二节 函数的单调性与最值 Word版含解析

第二节函数的单调性与最值

A组基础题组

1.下列函数中,在区间(0,+∞)上存在最小值的是( )

A.y=(x-1)2

B.y=

C.y=2x

D.y=log

2

x

答案 A 当x>0时,y=>0,y=2x>1,y=log

2

x∈R,故B,C,D均不符合题意,而y=(x-1)2≥0,故选A.

2.下列函数中,满足“∀x

1,x

2

∈(0,+∞),且x

1

≠x

2

,(x

1

-x

2

)[f(x

1

)-f(x

2

)]<0”的是( )

A.f(x)= -x

B.f(x)=x3

C.f(x)=ln x

D.f(x)=2x

答案 A “∀x

1,x

2

∈(0,+∞),且x

1

≠x

2

,(x

1

-x

2

)[f(x

1

)-f(x

2

)]<0”等价于在(0,+∞)上f(x)为

减函数,易判断f(x)= -x符合题意,故选A.

3.函数f(x)= -x+在上的最大值是( )

A. B.- C.-2 D.2

答案 A 解法一:易知y=-x,y=在上均单调递减,∴函数f(x)在上单调递减,∴

f(x)

max

=f(-2)=.故选A.

解法二:函数f(x)=-x+的导数为f '(x)=-1-,

易知f '(x)<0,可得f(x)在上单调递减,

所以f(x)

max

=f(-2)=2-=.故选A.

4.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( )

A.f(-1)

B.f(0)>f(3)

C.f(-1)=f(3)

D.f(0)=f(3)

答案 A 依题意得f(3)=f(1),因为-1<0<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得

f(-1)

5.(2016北京海淀期末)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )

A.∃x

0∈R,f(-x

)≠-f(x

) B.∀x∈R,f(-x)≠f(x)

C.函数f(x)在上单调递增

D. f(x)的值域是[-1,1]

答案 D 结合函数的图象(图象略),由于图象关于原点对称,故f(x)是奇函数,因此A,B选项错误;观察图象可知函数在[-3,-1]上递减,在(-1,1]上递增,在(1,3]上递减,且值域为[-1,1],故C 错误,D正确.故选D.

6.(2018北京石景山期末,6)给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是( )

A.①④

B.①②

C.②③

D.③④

答案 C 本题主要考查函数的单调性.

①由幂函数的性质可得,y=在定义域内单调递增,故①错误;

②由对数函数的性质可知,y=lo(x+1)在定义域内单调递减,故②正确;

③由函数的图象及性质可得,y=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故③正确;

④由指数函数的性质可得,y=2x+1在定义域内递增,故④错误.

故选C.

7.(2016北京朝阳二模,7)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)的最大值为1,则a的取值范围是( )

A. B.(0,1) C. D.(1,+∞)

答案 A 当x≤2时, f(x)=x-1单调递增,

=f(2)=1,

∴f(x)

max

由题意知,当x>2时, f(x)=2+log

x必为减函数,

a

∴解得≤a<1,

∴a的取值范围是.

8.已知函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.

解析f(x)===+a.

任取x

1,x

2

∈(-2,+∞),且x

1

2

,

则f(x

1)-f(x

2

)=-=.

∵函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,

∴f(x

1)-f(x

2

)<0.

∵x

2-x

1

>0,x

1

+2>0,x

2

+2>0,∴1-2a<0,∴a>,即实数a的取值范围是.

9.已知函数f(x)= - (a>0,x>0).

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.

解析(1)证明:任取x

1,x

2

∈(0,+∞),且x

2

>x

1

,

则x

2-x

1

>0,x

1

x

2

>0,

∵f(x

2)-f(x

1

)=-=-=>0,

∴f(x

2)>f(x

1

),

∴f(x)在(0, +∞)上是增函数.

(2)∵f(x)在上的值域是,

且f(x)在上单调递增,

∴f=,f(2)=2,∴a=.

B组提升题组

10.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=,则f(x)的( )

A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数

B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数