二进制有限域的乘逆算法分析
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ｐ ． ２ ２ ｒ ０１
２１ ０ ２年 ４月
文 章 编 号 ：０ ４—１７ （０ ２ ０ １０ ４ ８ ２ １ ）２—０ ８ ０ ０ ４— ３
二进制有限域的乘逆算法分析
陈道 波 ， 姜 宇鸣
（ 河南 省轻 工业 学校 信 息 Ｓ程 系 ，河 南 郑 州 ４ ００ ） － ５０ ６
Ｃ ＨＥＮ Ｄａ — ｏ Ｊ ＡＮ Ｙ — ｎ ｏ ｂ ， Ｉ Ｇ ｕ ｍｉ ｇ
（ ｅｔｏ ｎ ｒＥ ｇ ，ｃｏｌ Ｌｇ ｔ ｎ ．ｎＨ ，ｔ ｒ ｉｃ，ｈｎ ｚｏ ５Ｏ ６ Ｃ ｉ ） Ｄ ｐ． ｆ ． ｎ ．Ｓｈｏ ｉｈ ｌｄ ｉ ｅ ￣ ｏ ｎｅＺ ｅｇｈｕ４ ００ ，ｈｎ ｆＩ ｏ ｆ ｏ Ｒ ｒＰ ｖ ａ
案， 并进行 系 统 的理 论分 析 ．
收稿 日期 ：０ １ ０ ２ ２ １ — ９— ７
作 Ｇ （ ， 中 ｍ 是 Ｆ 上 ｎ Ｆ ｐ ）其 （） 次不可约多项式．
若 ｑ Ｐ是 素数 ， Ｆ ＝Ｆ ， ＝ 则 。 ｐ这样 就 完全 刻 画 了 有 限域． 于 Ｇ ｐ ） 对 Ｆ（ 的构造 ， ） ｍ（ 不可 约 多项 式 的
第２ ７卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ０ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ） Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
作者简介 ： 陈道 波（９ ６ ） 男， １６ 一 ， 河南省永城县人 ， 河南省轻工业 学校 高级讲 师， 主要研 究方向为密码学、 网络安全
集、 ８ 模 剩余集确立模 Ｐ剩余集上 的有限域概念 ， 继
而从 Ｇ （ 开 始 认 识 ｑ＝ 阶 的有 限域 ． 就 是 Ｆ ２） Ｐ 也
素 的域 ， 域 上 的乘法 逆元 计 算 在 密码 学 中 的应 用 该 相 当广泛 ， 对称 密码 体 系 中 Ａ Ｓ算 法 的字 节 替 换 如 Ｅ （ ｓ盒 的计 算 ） 列混 合变换 ， 开密码 体 系 中的基 于 、 公 有 限域 离散 对数 难题 的 Ｄ Ａ算 法 ， 于 椭 圆 曲线 上 Ｓ 基 离 散对 数难 题 的 Ｅ Ｃ Ｓ Ｃ Ｄ Ａ算 法 和 超 级 椭 圆 曲 线 加 密 算法 等 ． 密码学 界 对 于 有 限域 上 乘 法 及 乘法 逆 元
这 意味着 ２ ３ ４ ５ ７， ， ， ， ， ， ８ ９元域 是存在 的 ， ６ １ 而 ，０元
域 不存 在 ； ） 于 ｇ元 域 ， 同 构 意 义 上 讲 ， ３对 从 若 ｑ＝ Ｐ是 素数 ， ≥２则 Ｆ ＝ ［ ］ ｐ， ｎ ， ｘ ／＜ｍ（ ）＞， 记
法 和 费尔 马 小 定 理 … ． 文 着 眼 于 完 善 密 码 体 制 ， 本 通过 对二进 制 有 限域 的 分 析 ， 密码 学 的完 善提 供 为 有效 模板 ， 吸收前 人 经 验 的基础 上 提 出可 行性 方 在
计 算 的研究 非 常活 跃 ， 要 是 为 了扩 展 欧 几 里德 算 主
说 ， 限域 中示 例 域 的元 素 个 数 要 么是 素 数 ， 么 有 要 是 素数幂 ． 这不 是偶 然 ， 于 １个抽 象 的有 限元 数 学 对 结构 ， 要构 造有 限域 ， 结构 定 理 是 必要 的 ：１ 对 ３条 ） 于 ｇ元 域 Ｆ ， 定 存 在 特 征 素 数 Ｐ， 得 ｑ＝ｐ ； 一 使 ２ 对于任 意 素数幂 Ｐ ， 定 存 在 １个 Ｐ 有 限 域 ， ） 一 元
摘要 ： 分析 了二进制有限域的结构特征， 对二进制模式下的有限乘逆求法进行 了归纳， 解决了有限域
运算模 块 无 法通 用 的 问题 ．
关键 词 ： 进制 有 限域 ； 二 多项 式基 ； 正规基 ； 法逆元 乘
中 图分类 号 ：Ｐ ０ ． Ｔ ３９ ７ 文献标 志码 ： Ａ
Ａｎ ｌｓｓｏ ｎ ｅ ｓ ｌ ｏ ｉｈ ｎ ｅ ｒ ｓ ｎ ａ ｉ ｎ ｏ ｎ ｒ ｎ ｔ ｅｄ ａ ｙ ｉ ｆｉ ｖ ｒ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ａ ｄ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｎ ｂｉ ａ ｙ ｆ ｉｅ ｆ ｌ ｓ ｉ ｉ
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０ 引言
有 限域 的 运 算 具 有 无 进 位 、 比特 、 舍 入 误 等 无
１ 有 限域 的结构
一
般来说 ， 认识 Ｇ ｏ 域 ， ｌ ｓ ａ ｉ 大体上是从模 ７剩余
差等特点 ， 纠错码 、 在 加密 和数字信号处理等领域
有着 广泛 的用 途 ． 限域 Ｇ Ｐ ） 包 含 了 Ｐ 有 Ｆ（ 是 个元
２１ ０ ２年 ４月
文 章 编 号 ：０ ４—１７ （０ ２ ０ １０ ４ ８ ２ １ ）２—０ ８ ０ ０ ４— ３
二进制有限域的乘逆算法分析
陈道 波 ， 姜 宇鸣
（ 河南 省轻 工业 学校 信 息 Ｓ程 系 ，河 南 郑 州 ４ ００ ） － ５０ ６
Ｃ ＨＥＮ Ｄａ — ｏ Ｊ ＡＮ Ｙ — ｎ ｏ ｂ ， Ｉ Ｇ ｕ ｍｉ ｇ
（ ｅｔｏ ｎ ｒＥ ｇ ，ｃｏｌ Ｌｇ ｔ ｎ ．ｎＨ ，ｔ ｒ ｉｃ，ｈｎ ｚｏ ５Ｏ ６ Ｃ ｉ ） Ｄ ｐ． ｆ ． ｎ ．Ｓｈｏ ｉｈ ｌｄ ｉ ｅ ￣ ｏ ｎｅＺ ｅｇｈｕ４ ００ ，ｈｎ ｆＩ ｏ ｆ ｏ Ｒ ｒＰ ｖ ａ
案， 并进行 系 统 的理 论分 析 ．
收稿 日期 ：０ １ ０ ２ ２ １ — ９— ７
作 Ｇ （ ， 中 ｍ 是 Ｆ 上 ｎ Ｆ ｐ ）其 （） 次不可约多项式．
若 ｑ Ｐ是 素数 ， Ｆ ＝Ｆ ， ＝ 则 。 ｐ这样 就 完全 刻 画 了 有 限域． 于 Ｇ ｐ ） 对 Ｆ（ 的构造 ， ） ｍ（ 不可 约 多项 式 的
第２ ７卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
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作者简介 ： 陈道 波（９ ６ ） 男， １６ 一 ， 河南省永城县人 ， 河南省轻工业 学校 高级讲 师， 主要研 究方向为密码学、 网络安全
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而从 Ｇ （ 开 始 认 识 ｑ＝ 阶 的有 限域 ． 就 是 Ｆ ２） Ｐ 也
素 的域 ， 域 上 的乘法 逆元 计 算 在 密码 学 中 的应 用 该 相 当广泛 ， 对称 密码 体 系 中 Ａ Ｓ算 法 的字 节 替 换 如 Ｅ （ ｓ盒 的计 算 ） 列混 合变换 ， 开密码 体 系 中的基 于 、 公 有 限域 离散 对数 难题 的 Ｄ Ａ算 法 ， 于 椭 圆 曲线 上 Ｓ 基 离 散对 数难 题 的 Ｅ Ｃ Ｓ Ｃ Ｄ Ａ算 法 和 超 级 椭 圆 曲 线 加 密 算法 等 ． 密码学 界 对 于 有 限域 上 乘 法 及 乘法 逆 元
这 意味着 ２ ３ ４ ５ ７， ， ， ， ， ， ８ ９元域 是存在 的 ， ６ １ 而 ，０元
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法 和 费尔 马 小 定 理 … ． 文 着 眼 于 完 善 密 码 体 制 ， 本 通过 对二进 制 有 限域 的 分 析 ， 密码 学 的完 善提 供 为 有效 模板 ， 吸收前 人 经 验 的基础 上 提 出可 行性 方 在
计 算 的研究 非 常活 跃 ， 要 是 为 了扩 展 欧 几 里德 算 主
说 ， 限域 中示 例 域 的元 素 个 数 要 么是 素 数 ， 么 有 要 是 素数幂 ． 这不 是偶 然 ， 于 １个抽 象 的有 限元 数 学 对 结构 ， 要构 造有 限域 ， 结构 定 理 是 必要 的 ：１ 对 ３条 ） 于 ｇ元 域 Ｆ ， 定 存 在 特 征 素 数 Ｐ， 得 ｑ＝ｐ ； 一 使 ２ 对于任 意 素数幂 Ｐ ， 定 存 在 １个 Ｐ 有 限 域 ， ） 一 元
摘要 ： 分析 了二进制有限域的结构特征， 对二进制模式下的有限乘逆求法进行 了归纳， 解决了有限域
运算模 块 无 法通 用 的 问题 ．
关键 词 ： 进制 有 限域 ； 二 多项 式基 ； 正规基 ； 法逆元 乘
中 图分类 号 ：Ｐ ０ ． Ｔ ３９ ７ 文献标 志码 ： Ａ
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０ 引言
有 限域 的 运 算 具 有 无 进 位 、 比特 、 舍 入 误 等 无
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一
般来说 ， 认识 Ｇ ｏ 域 ， ｌ ｓ ａ ｉ 大体上是从模 ７剩余
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有着 广泛 的用 途 ． 限域 Ｇ Ｐ ） 包 含 了 Ｐ 有 Ｆ（ 是 个元