福建省福鼎市高三数学《不等式的证明与几个重要的不等式》复习课件

考点训练 1.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足x2+y2+z2=1的一切实数 x,y,z恒成立,则实数a的取值范围是________. 解析:由柯西不等式可得(12+22+22)(x2+y2+z2)≥(x+2y+2z)2, ∴x+2y+2z的最大值为3, 故有|a-1|≥3,∴a≥4或a≤-2. 答案:a≥4或a≤-2
4.已知x2 2y2 3z2 18 ,求3x 2y z的最小值. 17
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题型一不等式证明例1已知a, b为正数,求证 : 1 4 9 . a b ab
证明:方法1:比较法
点评:证明不等式的常用方法是比较法、综合法、分析法,而 综合法与分析法常常相结合的使用.
2.由下列不等式:a2+b2≥2ab,a3+b3≥a2b+ab2,…,其中a,b>0,
请猜想,若m,n∈N*,则am+n+bm+n≥________.
解析:考查归纳推理:am+n+bm+n≥ambn+anbm. ∵am+n+bm+n-(ambn+anbm)=am(an-bn)+bm(bn-an)=(an-bn)(am-bm), 分类讨论:若a≥b>0,则an≥bn,am≥bm. 若0<a<b,则an<bn,am<bm.故不论a,b的大小如何均有(anbn)(am-bm)≥0. ∴am+n+bm+n≥ambn+anbm.
(2)一般形式的柯西不等式
定理2:设a1,a2,…,an与b1,b2,…bn是两组实数. 则有(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2. 当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…bn)共线时,等号成立. 推论:设a1,a2,a3,b1,b2,b3是两组实数,则有 (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2. 当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时“=”成立.
求证 : 2 2 2 9. ab bc ca
解析:
本题主要考查利用柯西或均值不等式证明不等式,考查推理
论证能力.
证明
:
左边
[2(a
b
c)]
a
1
b
b
1
c
c
1
a
[(a
b)
(b
c)
(c
a)]
a
1
b
b
1
c
c
1
a
(1 1 1)2 9.
变式2:已知x,y,z∈R,若x4+y4+z4=1,
答案:ambn+anbm
3.(2009·江苏)设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
证明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0, 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0. 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
求证 : x2 y2 z2 3.
证明: x, y, z R,且x4 y4 z4 1为定值, 利用柯西不等式得到, (x2 y2 z2 )2 (12 12 12 ),[(x2 )2 ( y2 )2 (z2 )2 ], 从而(x2 y2 z2 )2 3? x2 y2 z2 3, 当且仅当 x2 y2 z2 时取“”号,
3.排序不等式 定理1:设a,b和c,d都是实数,如果a≥b,c≥d, 那么ac+bd≥ad+bc. 此式当且仅当a=b(或c=d)时取“=”号. 定理2:(排序不等式)设有两个有序实数组. a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn. 则a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bj1+a2bj2+…+anbjn≥a1bn+a2bn1+…+anb1. 即顺序和≥乱序和≥逆序和. 其中,j1,j2,…,jn是1,2,…,n中任一排列方式,上式当且仅当 a1=a2=…=an(或b1=b2=…=bn)时取“=”号.
回归教材 1.不等式的证明方法 (1)比较法 ①求差比较法 作差法:一般用于要证不等式两边是多项式或分式. 要证明a>b,只要证明a-b>0,即可. ②求商比较法 当a>0,b>0时要证明a>b,只需证明ab>1即可. 作商法用于证幂、指数不等式.
(2)分析法 从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为 止,这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. 分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于 掌握. (3)综合法 从已知条件出发,利用不等式的性质(或已知证明过的不等 式),推出了所要证明的结论,即“由因寻果”的方法,这种证 明方法称为综合法. 综合法的优点是宜于表述,条理清晰,形式简捷.
4.贝努利不等式 定理:对任何实数x≥-1和任何正整数n,有 (1+x)n≥1+nx.5.数学归纳法 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题,证明步骤: (1)验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题正确. (2)假设当n=k时(k∈N,k≥n0)命题正确,证明当n=k+1时命题 也正确. 则该命题对一切自然数n≥n0都正确.
(6)几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方 法称为几何法.
2.柯西不等式 (1)简单形式的柯西不等式 定理1:对任意实数a,b,c,d,有: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立. 这个不等式称为柯西不等式. 柯西不等式的向量形式 设α=(a,b),β=(c,d) 则|α·β|≤|α|·|β|.
(4)放缩法 通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)或通过放大(或
缩小)被减式(或减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法 称为放缩法. 放缩法的原理是不等式的传递性. (5)反证法 通过证明命题结论的否定不能成立,来肯定命题结论一定成 立.其证明的步Байду номын сангаас是: ①作出否定结论的假设;②进行推理,导出矛盾;③否定假设、 肯定结论.
变式1:已知a b c 1,求证 : a2 b2 c2 1 . 3
证明:∵a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab-abc+2ac)
≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2)
3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1
故a2+b2+c2≥ 1 .
3
例2已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,