NR法潮流计算

若修正量 ∆x
(0)
x ( 0 ) 处展开为泰勒级数： 很小， 处展开为泰勒级数： 很小，在
(∆x (0) ) 2 f ( x (0) − ∆x (0) ) = f ( x (0) ) − f ′( x (0) )∆x (0) + f ′′( x (0) ) −L 2!
忽略高次项及更高项： 忽略高次项及更高项：
二、牛顿-拉夫逊法的基本原理 牛顿1、N-R法解单变量非线性方程 、 法解单变量非线性方程 非线性方程： f ( x ) = 0
∆x ( 0 ) 设方程初始解为 x ，初解与真解的偏差为
( 0)
则真解为：
x = x ( 0) − ∆x ( 0)
f (x
(0)
− ∆x ) = 0
(0)
f ( x (0) − ∆x (0) ) = 0
∆δ1 ∆δ ∆δ = 2 L ∆δ n−1
H 雅可比矩阵： 雅可比矩阵： J = J
N L
∆P H ∆Q = J
N ∆δ ∆U U L
∂∆Pi N ij = Uj ∂U j ∂∆Qi Lij = Uj ∂U j
n Pi = U i ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) j∈i n Qi = U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) j∈i
δ ij = δ i − δ j
二、节点分类
1、PQ节点 、 节点 & 待求。 已知， 节点注入的 Pi + jQi 已知，节点电压 U i 待求。 2、PV节点 2、PV节点 & 已知， 待求。 节点注入的有功 Pi 、 U i已知，节点 δ i 待求。 3、平衡节点 、 已知， 待求。 节点的 U i 和 δ i 已知，节点的 Pi 和 Qi 待求。
0 (0) 2
∂ f1 L ∂xn ∂f 2 ∂xn ∂f n ∂xn
( ∆ x n0 ) = 0 0 ( ∆ x n0 ) = 0 0
∂f 2 ∂f ( ∆ x1( 0 ) − 2 ∆ x 2 0 ) L ∂ x1 0 ∂x2 0 L ∂f n ∂f n (0) ( ∆ x1 − ∆ x 20 ) L ∂ x1 0 ∂x2 0
( ( x 1( 0 ) , x 2 0 ) L x n 0 )
按泰勒级数展开，并忽略高次项： 按泰勒级数展开，并忽略高次项：
（ 0） f1 − （ 0） f2 − f （ 0） − n ∂ f1 ∂ f1 (0) ∆ x1 − ∂ x1 0 ∂x2 ∆x
max max
≤ ε1 ≤ ε2
∆Pi ( k ) ≤ ε1 或者： max ∆Qi( k ) ≤ ε2 max
n 平衡节点功率： 平衡节点功率： Pn = U n ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) j =1 n Qn = U n ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) j =1
初值设置： 初值设置： U
(0) i
= 1、δ
(0) i
=0
节点电压修正值： 节点电压修正值 U i( k +1) = U i( k ) − ∆U i( k ) ( k +1) δi = δ i( k ) − ∆δ i( k ) 收敛条件： 收敛条件
∆ δ i( k ) ∆ U i( k )
PV节点功率： 节点功率： 节点功率
Qi = U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij )
）个方程 （n − m − 1 ∆Pi = Pis − U i ∑U j (Gij cosδ ij + Bij sin δ ij ) i = m + 1、 n − 1 L j =1
n
PV节点注入无功功率与平衡节点注入功率不参加 节点注入无功功率与平衡节点注入功率不参加 迭代计算。 迭代计算。
∆P H ∆Q = J
2.6 电力系统潮流的计算机算法简介
2.6.1
节点电压方程与节点导纳矩阵
节点电压方程： 节点电压方程：
& I1 Y11 Y12 Y13 & I 2 Y21 Y22 Y23 & I 3 = Y31 Y32 Y33 K K K K I Yn1 Yn 2 Yn 3 & n
f ( x (0) ) （ ∆ x 0） = f ′( x ( 0 ) )
x
（1）
=x
(0)
− ∆x
(0)
无限接近真解。 当 f ( x (k ) ) < ε ，或者 ∆x (k ) < ε 时，x ( k ) 无限接近真解。 初值要选择比较接近真解，否则迭代过程可能不收敛。 初值要选择比较接近真解，否则迭代过程可能不收敛。
( ∆ x n0 ) = 0 0
（0） ∂f1 ∂f1 ∂f1 ( 0) ( 0) ( f1 − ∆x1 − ∆x2 L ∆xn0 ) = 0 ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0 （0） ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 (0) ( 0) ( f2 − ∆x1 − ∆x2 L ∆xn0 ) = 0 ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0 L f （0）− ∂f n ∆x ( 0) − ∂f n ∆x ( 0) L ∂f n ∆x ( 0 ) = 0 1 n 2 n ∂x1 0 ∂x2 0 ∂xn 0
2、N-R法解多变量非线性方程组 、 法解多变量非线性方程组
非线性方程组： 非线性方程组：
f1 ( x1 , x 2 L x n ) = 0 f (x , x L x ) = 0 2 1 2 n L f n ( x1 , x 2 L x n ) = 0
初始值： 初始值：
Yij = Gij + jBij
2.6.3 功率方程与节点分类
一、功率方程
（ & = Pi + jQi） = ∑ Y U Ii ij j &∗ Ui j =1
n
∗
（i = 1、L n） 2
Yij = Gij + jBij
& U i = U i e jδ i = U i cos δ i + U i sin δ i
n ∆Pi = Pis − U i ∑ U j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) j =1 n ∆Qi = Qis − U i ∑ U j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) j =1
m个方程 i = 1、L m 2
节点， 对PV节点，功率偏差方程： 节点 功率偏差方程：
H ii = U i2 Bij + Qi N ii = −U i2Gii − Pi i = j时： K ii = U i2Gii − Pi Lii = U i2 Bii − Qi
δ
( k +1)
=δ
(k )
− ∆δ
Байду номын сангаас
(k )
U
( k +1)
=U
(k )
− ∆U
(k )
N-R法潮流计算过程 法潮流计算过程 1、形成网络节点导纳矩阵 Y 、 2、设置节点电压初值 U i( 0 )、 δ i( 0 ) 、 3、求雅可比矩阵各元素 、 4、求修正方程中功率的不平衡量 ∆Pi(0)、∆Qi(0) 、 5、解修正方程，求 ∆δ i(0)、∆U i(0) 、解修正方程， 6、求各节点电压修正后值 δ i1、U i1 、 7、检查是否收敛 、 8、若不收敛，重复步骤 3 ~7，直至收敛。 、若不收敛， ，直至收敛。 9、迭代结束，计算 节点注入无功、平衡节点 节点注入无功、 、迭代结束，计算PV节点注入无功 功率、线路功率及网络总损耗。 功率、线路功率及网络总损耗。
N ∆δ ∆U U L
H ij = −U iU j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij ) N = −U U (G cos δ + B sin δ ) ij i j ij ij ij ij i ≠ j时： K ij = U iU j (Gij cos δ ij + Bij sin δ ij ) Lij = −U iU j (Gij sin δ ij − Bij cos δ ij )
Y11 Y 21 Y = Y31 K Yn1
自导纳
Y12 Y13 Y22 Y23 Y32 Y33 K K Yn 2 Yn 3
n
K K K K K
Y1n Y2 n Y3n K Ynn
Yii = yi 0 + ∑ yij
j∈i
互导纳
1 Yij = − yij = − = Y ji zij
& K Y1n U1 & K Y2 n U 2 & K Y3n U 3 K K K & K Ynn U n
节点电压方程： 节点电压方程：
I = YU
• Y：节点导纳矩阵 • U：节点电压列矩阵 • I：节点注入电流列矩阵
N2.6.4 N-R法潮流计算
一、常规的潮流算法
1）高斯-赛德尔法(GS) 高斯-赛德尔法(GS) 内存需求量很少，但计算时间长。 内存需求量很少，但计算时间长。 牛顿-拉夫逊法(N (N2）牛顿-拉夫逊法(N-R) 具有较高的收敛可靠性和收敛速度， 具有较高的收敛可靠性和收敛速度，但是需较好的 初始值，且内存占有量大。 初始值，且内存占有量大。 PQ快速解耦法 3）PQ快速解耦法 计算时间少，内存占用少，但是对病态潮流敏感。 计算时间少，内存占用少，但是对病态潮流敏感。
支路两端节点号 1 2 2 3 3 3 4 5 0 0 1 0 1 2 2 3
阻抗值
导纳值 0.25j 2*0.25j
0.04+0.25j 0.25j 0.1+0.35j 0.08+0.3j 0+0.015j 0+0.03j
简单五节点系统 导纳矩阵
0 0 1.379 − j 6.292 − 0.624 + j 3.900 − 0.755 + j 2.642 − 0.624 + j 3.900 1.454 + j 66.981 − 0.830 + j3.112 j 66.667 0 Y = − 0.755 + j 2.642 − 0.830 + j 3.112 1.585 + j 35.735 0 j33.333 0 0 − j 66.667 0 j 66.667 0 0 0 − j33.333 j 33.333
其中： 其中：
N ∆δ ∆U U L
∆U1 U1 ∆U U 2 2 ∆U U = L ∆Um Um
∆P ∆Q1 1 ∆P ∆Q 2 ∆Q = 2 ∆P = L L ∆Pn−1 ∆Qm
∂∆Pi H ij = ∂δ j ∂∆Qi J ij = ∂δ j
H ⇒ (n - 1) × n - 1 （ ）阶方阵； N ⇒ (n - 1) × m 阶矩阵； （ ）阶矩阵； J ⇒ m × n -1 L ⇒ m × m 阶方阵；
∆P H ∆Q = − K
修正方程： 修正方程： F（x
(k )
） J ∆x =
(k )
（k）
xi
( k +1)
= xi
(k )
− ∆xi
(k )
收敛条件： 收敛条件： ∆ x
(k ) i
<ε
fi ( x , x ,Lx )
(k ) 1
(k ) 2
(k ) n max
<ε
三、极坐标形式的N-R法潮流计算 极坐标形式的N
对节点编号： 节点， 节点， 对节点编号：1~m为PQ节点，m+1~n-1 为PV节点， 为 节点 节点 n为平衡节点 。 为平衡节点 节点， 对PQ节点，功率偏差方程： 节点 功率偏差方程：