幂等矩阵组合的可逆性

幂等矩阵组合的可逆性

左可正,谢 涛

(湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002) 摘要：本文研究的是组合aP bQ cPQ dQP ePQP +---的两个矩阵P 和Q 的非奇异性(,,,,,0,0)a b c d e a b ∈≠≠ 。利用P Q -的可逆性和幂等矩阵的性质，我们得到了两个幂等矩阵P 和Q 的组合aP bQ cPQ dQP ePQP +---的可逆性的一些充分条件和必要条件。推广了J.J.Koliha and V.Rakocevic'[1], ZuoKe-zheng[2].的结论。

关键词：幂等矩阵；直和；矩阵的秩；核子空间；非奇异性 MR(2000)主题分类号：15A03; 15A24

中图分类号:O151.21文章ID ：0255-7797(2009)03-0285-04

1 引言

一个在数域 上的复矩阵A ，若2A A =，则我们称A 未幂等矩阵；如果它是幂等且共轭的，那么我们叫它为一个正交投影，使得2*A A A ==，其中*A 表示A 的转置。作为矩阵理论的基本模块之一，幂等矩阵在许多地方是非常有用的，并且已经在大量文献中被广泛研究。

特别是，许多作者都研究了这个问题：如果P 和Q 是幂等，那么在什么情况下P Q ±和PQ 也是幂等？见，例[]3,4,5。在什么情况下P Q ±和aP bQ cPQ +-非退化的？见，例[]6,7,8。在这篇文章中，我们研究的是P Q -和aP bQ cPQ dOP ePQP +---(,,,,,0,0)a b c d e a b ∈≠≠ 之间非奇异性的关系，而且我们得到了两个幂等矩阵P 和Q 的组合a P b Q c P Q d Q P e P +---(,,,,,0,0

a b c d e a b ∈≠≠ 的可逆性的一些充分条件和必要条件。这些结论是由J.J.Koliha and V.Rakocevic'[1], ZuoKe-zheng[2].的结论推广得到的。 我们把m n ⨯ 记未复数域上的所有m n ⨯矩阵的集合。n 表示 上的n -列向量

空间。如果m n A ⨯∈ ，则()()(), *,r A A R A N A ，

分别表示A 的秩，转置，零空间和核空间。p n 就表示所有n n ⨯复矩阵的结合，使得

{}2,P

m n n P P P P ⨯==∈ 。

一些关于(,)m n P Q P Q ⨯±∈ 的非奇异性的结果是由J. J. Koliha and V. Rakoˇcevic'( *1+), ZuoKe -zheng([2]).的结论得到的。

引理1.1 [1]令,p n P Q ∈ ，则下列条件是等价的：

（a ）P Q -是非退化的。（b ）P Q +和()I PQ I QP --或是非退化的。 （c ）()()()()**n R P R Q R P R Q =⊕=⊕ 。

（d ）()()()()n R P R Q N P N Q =⊕=⊕ 。

（e ）()()()(){}0R P R Q N P N Q ??。

引理1.2[2]令,p n P Q ∈ ,,,0,0a b c a b ∈≠≠ 。则

()(),(),r P r aP bQ c Q c a b P a Q r P Q c b

-=+⎧=⎨+≠++-⎩。

特别是

（a ）P Q -是非退化的⇔aP bQ cPQ +-是非退化的，其中c a b =+。 （b ）P Q +是非退化的⇔aP bQ cPQ +-是非退化的，其中c a b ≠+。

引理1.3令,p n P Q ∈ ，则P Q +是非退化的⇔()()(){}0N I P Q N P -?

P Q PQ Û+-是非退化的。

证明由引理1.2我们很容易得到P Q +是非退化的 P Q PQ Û+-是非退化的。令P Q PQ +-是非退化的。如果()()()x N I P Q N P ? ，则0Px =且

Qx PQx =，所以()0P Q PQ x +-=，又因为 P Q PQ +-是非退化的，所以 0x =，

所以

()()(){}0N I P Q N P -?。

令()()()

{}0N I P Q N P -?。如果()0P Q PQ x +-=，则0Px =且Qx PQx =，所以()()()x N I P Q N P ? ，所以 P Q PQ +-是非退化的。 2P 和Q 的一些组合的非奇异性。

我们的第一个结果给出了两个幂等矩阵的一些组合的新的零空间。

定理2.1令,p n P Q ∈ ,,,0,0a b c a b ∈≠≠ ，c a b =+，则

()()()()()()() () N aP bQ cPQ N P Q R P R Q N P N Q +-=-= ÅÇ （2.1）

()()()()()() N P I Q R Q N P N Q -=徘 （2.2）

证明 假设()x N aP bQ cPQ ∈+-，则()0aP bQ cPQ x +-=，所以

Qx PQx Px ==且()0P Q x -=，也就是说()() N aP bQ cPQ N P Q +-⊂-。假设()x N P Q ∈-，则Qx Px =，所以()0aP bQ cPQ x +-=，所以

()() N aP bQ cPQ N P Q +-⊃-，（2.1）中的第一个式子得证。

我们首先知道()()()()()()

0R P R Q N P N Q 乔?且 ()()()()()()()R P R Q N P N Q N P

Q 乔?Å。假设()x N P Q ∈-，则()()

u P x Q x P u Q u R P R Q ====吻。所以()()x u N P N Q -吻且 ()()()()()()x u x u R P R Q N P N Q =+-吻徘，所以（2.2）中的第二个式子得证。

同理()()()R Q N P I Q ?和()()()()N P N Q N P I Q 翘-也很容易验证。反过来，令(())x N P I Q ∈-，则()x Qx I Q x =+-，()() ()I Q x N P N Q -∈⋂。（2.2）得证。

定理 2.2 令,p n P Q ∈

,,,,,,a b c d e f ∈ ，a b c d e f +=++++ ，则a P b Q c P Q d Q P e P Q P f Q P Q +-----是非退化的ÛP Q -是非退化的。

证明 假设n x Î，()0P Q x -=，则

()0aP bQ cPQ dQP ePQP fQPQ x +-----=