第十章 第3节

第3节二项式定理

考试要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

.

知识梳理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N+)；

(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－k

n

增减性二项式

系数C k n

当k＜

n＋1

2(n∈N+)时，是递增的

当k＞

n＋1

2(n∈N+)时，是递减的

二项式系数最大值

当n为偶数时，中间的一项2

C

n

n

取得最大值

当n为奇数时，中间的两项

1

2

C

n

n

-

与

1

2

C

n

n

+

取得最大值

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.

[微点提醒]

(a＋b)n的展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n

n .

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)C k n a

n －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )

(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )

解析 二项式展开式中C k n a

n －k b k 是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(选修2－3P27例2改编)(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m n

B.C m ＋1

n C.C m －1n

D.(－1)m －1C m －1n

解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n

(－1)m －1. 答案 D

3.(选修2－3P30A3改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 019

2 019

C 02 018＋C 22 018＋C 42 018＋…＋C 2 0182 018

的值为( ) A.2 B.4

C.2 019

D.2 018×2 019

解析 原式＝22 01922 018－

1

＝22

＝4. 答案 B

4.(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛

⎭⎪⎫x 2＋2x

5

的展开式中x 4的系数为( )

A.10

B.20

C.40

D.80

解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x r

＝C r 52r x 10－3r

，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22

＝40.

答案 C

5.(2019·东营调研)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个递增数列，则k 的最大值是( ) A.5

B.6

C.7

D.8

解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11).

又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6. 答案 B

6.(2018·浙江卷)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8

的展开式的常数项是________.

解析 该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r 3

⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 8⎝ ⎛⎭

⎪⎫12r

x 8－4r 3.令8－4r 3＝0，解

得r ＝2，所以所求常数项为C 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫122

＝7.

答案 7

考点一 通项公式及其应用

多维探究

角度1 求二项展开式中的特定项

【例1－1】 (1)(2019·北京海淀区二模)(x 2

＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25

的展开式的常数项是( )

A.5

B.－10

C.－32

D.－42