小波与零树

2015年11月28日
第8章 小波图像编码
21/50
8.3 EZW编码(续10)
表8-1 EZW系数符号集
2015年11月28日
第8章 小波图像编码
22/50
8.3 EZW编码——算法举例

实例

假设有一幅8×8的图像，经过3级分解的小波图像 系数见图8-10(a)，扫描方式见 8-10(b)
(a) 小波图像数据 (b) 迂回扫描 图8-10 8×8小波变换图像
768 KB

tiffany24.bmp

http://sipi.usc.edu/database/
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 10/50
Standard test image(cont'd 3)

Mandrill (a.k.a. Baboon)

Size

512×512 pixels, 24 bits/pixel
图8-3 Lena的多分辨率分析图像
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 6/50
8.1 从子带编码到小波编码(续5)
…
(a) 一级分解
(b) 三级分解
（c) Lena三级分解
图8-4 Lena图像的数据分解
2015年11月28日
第8章 小波图像编码
7/50
Standard test image

Lenna Soderberg (ne Sjö ö blom)




The First Lady of the Internet Size：512×512 pixels Colors：24 bits/pixel Lena24.bmp: 768 KB
In 1972
http://www.cis.rit.edu/~cnspci/misc/lenna/


2015年11月28日
第8章 小波图像编码
15/50
8.2 图像失真度量法

峰值信号噪声比(PSNR)


在图像编码系统中，常用峰值信号噪声比(peak signal to noise ratio, PSNR)来衡量 最大像素值的平方与均方差(mean square error， MSE)之比[5]
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 8/50
Standard test image(cont'd 1)

Lenna Soderberg (Sjö ö blom) and Jeff Seideman

In May 1997 at IS&T's (Imaging Science and Technology)50th Anniversary conference
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 16/50
8.2 图像失真度量法(续)

其他方法

规格化均方差(normalized mean square error，NMSE)
M 1 N 1
NMSE
m 0 n 0 M 1 N 1 m0 n 0
2 [ x ( m , n ) x ( m , n )] 2 [ x ( m , n )]

信号噪声比(signal to noise ratio，SNR)

1 SNR 10log10 NMSE 平均绝对误差(mean absolute error，MAE) 1 M 1 N 1 (m, n)] MAE [ x(m, n) x MN m0 n0
图8-1 Lena图的子带编码
2015年11月28日
第8章 小波图像编码
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8.1 从子带编码到小波编码(续2)

多分辨率分析

S.Mallat于1988年在构造正 交小波基时提出了多分辨 率分析(multiresolution analysis)的概念，从空间上 形象地说明了小波的多分 辨率的特性，提出了正交 小波的构造方法和快速算 法，称为Mallat算法。根 据Mallat和Meyer等科学家 的理论，使用一级小波分 解方法得到的图像如图8-2 所示
第8章 小波图像编码 20/50
2015年11月28日
8.3 EZW编码(续8)

算法

阈值T的选择

初始阈值：
T0 2
log2 (MAX(|X i |))
其中, x 表示其值为等于或小于x的最大整数(≤x) MAX(.)表示最大的系数值， X i 表示小波变换分解到第i级时的系数 以后每扫描一次，阈值减少一半

Set Partitioning in Hierarchical Trees
Embedded Block Coding with Optimal Truncation Adopted by JPEG 2000
第8章 小波图像编码 18/50

EBCOT [Taubman-1998]


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Color


mandrill24.bmp

768 KB
http://sipi.usc.edu/database/
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第8章 小波图像编码
11/50
Standard test image(cont'd 4)

Peppers

Size

512x512 pixels 24 bits/pixel 768 KB
图8-3 Lena的 多分辨率分析图像
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第8章 小波图像编码
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8.1 从子带编码到小波编码(续3)

一级分解后继续分解的过程叫做多分辨率分析，即多 级小波分解的概念。


使用多级小波分解可得到分辨率不同的图像，这些图像被称 为多分辨率图像(multiresolution images) 图8-3表示Lena的多分辨率图像。其中，粗糙图像1的分辨率 是原始图像的1/4，粗糙图像2的分辨率是粗糙图像1的1/4
8 bits/pixel 256 KB

barbara8.bmp

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第8章 小波图像编码
14/50
Standard test image(cont'd 7)

Goldhill Size

512×512 pixels

Grayscale
8 bits/pixel goldhill8.bmp 256 KB
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 23/50
8.3 EZW编码——算法举例(续9)

在第一次解码之后，解码器需要判断是否要进一步 重构比较精细的图像

如果不需要，则退出解码 如果需要则进入第二次解码
图8-16 第一次解码
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 24/50
8.3 EZW编码——算法举例(续11)
http://www.cis.rit.edu/~cnspci/misc/lenna/
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 9/50
Standard test image(cont'd 2)

Girl (Tiffany)

Size

512×512 pixels

Color

24 bits/pixel
小波图像编码
第8章 小波图像编码目录
8.1 从子带编码到小波编码
8.1.1 子带编码 8.1.2 多分辨率分析 8.1.3 滤波器组与多分辨率 8.1.4 子带编码与小波编码 8.1.5 小波分解图像方法
8.2 PSNR失真度量法 8.3 EZW编码
8.3.1 介绍 8.3.2 算法 8.3.3 算法举例

Color


peppers24.bmp

http://sipi.usc.edu/database/
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 12/50
Standard test image(cont'd 5)

Elaine

Size

512×512 pixels 8 bits/pixel 256 KB


子带编码的应用


子带分割方法

符号：2↓表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带，LL表 示频率最低的子带

这个过程可以重复，直到符合应用要求为止 滤波器组称为分解滤波器树(decomposition filter trees)
2015年11月28日
第8章 小波图像编码
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8.1 从子带编码到小波编码(续1)
( Peak Signal Value)2 PSNR 10log10 (db) MSE 2552 (db) 对8位二进制图像：PSNR 10log10 MSE
1 MSE 其中， MN
M 1 N 1 m0 n 0

(m, n) x(m, n) x
2
x(m, n) 为原始图像的像素值 (m, n) 为解压缩之后的像素值 x
2015年11月28日
第8章 小波图像编码
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8.1 从子带编码到小波编码

子带编码
wenku.baidu.com
子带编码(subband coding，SBC)的基本思想

把信号的频率分成几个子带，对每个子带分别进行编码 根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据
20世纪70年代，开始用于语音编码 20世纪80年代，开始用于图像编码 1986年Woods, J. W.等人曾经使用一维正交镜像滤波器 (QMF)把信号的频带分解成4个相等的子带，如图8-1所示 图8-1(a)表示分解方法，图8-1(b)表示其相应的频谱

Grayscale


Elaine8.bmp

http://sipi.usc.edu/database/
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 13/50
Standard test image(cont'd 6)

Barbara

Size

512×512

pixels Grayscale

图8-17 第二次解码
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 25/50
量化
小波变换
EZW中的 Zerotree, Embedding
熵编码
图8-5 EZW算法结构
2015年11月28日 第8章 小波图像编码 19/50
8.3 EZW编码(续1)

EZW(嵌入式零树小波)图像编码概要




“小波”表示该算法以离散小波变换为基础，以 变换后的大系数比小系数更重要以及高频子带中 的小系数可以忽略为背景 “零树”表示小波变换系数之间的数据结构，用 同一方向和相同空间位置上的所有小波系数构成 一棵树，如果树根及其子孙的小波系数的绝对值 小于某个给定域值，则这棵树就称为零树 “嵌入”表示一幅图像可以分解成一幅低分辨率 图像和分辨率由低到高的许多子图像 按用户对图像分辨率的不同要求， EZW编码器 进行多次编码，每进行一次编码，域值降低1/2， 水平和垂直方向的图像分辨率分别提高1倍
第8章 小波图像编码 17/50
2015年11月28日
Entropy Coding of Wavelet Coefficients

EZW [Shapiro-1993]

Embedded Zerotree Coding of Wavelet Coefficients

SPIHT [Said-Pearlman-1996]
8.3 EZW编码

EZW是什么


embedded zerotree wavelet的缩写 EZW是多分辨率图像编码算法


Lewis，A. S.和Knowles, G.于1992年介绍了表示小波变换 系数的一种树形数据结构[6]； Shapiro, J. M.于1993年将这种树形数据结构称为“零树 (zerotree)”，并开发了称为嵌入式零树小波(embedded zerotree wavelet，EZW)的图像编码算法[7]，用于熵编码