样本均值的抽样分布

12
2 2
样本统计量
x pˆ s2 x1 x2 pˆ1 pˆ2 s12 s22
样本统计量的概念
设 造一个函数
X1, X 2是,L从,某X n总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构
，不依赖任何未知参数，则称函数
是一个统计量
如T(：X1, X2,L , Xn)
T(X1, X2,L , Xn)
2 1 1
• 例2a:某国际幼儿园孩子身高近似服从正态分布，均值为39英寸，标准差为2 英寸，抽取由25个孩子构成的随机样本，那么样本均值落在38.5到40.0之间的 概率是多少？
• 例2b：沿用以上幼儿园孩子身高的例子，对于容量为100的样本均值抽样分布 而言，我们可以计算出样本均值落在中间90%区间上的两个端点值
1 n
X = n i1 X i
S 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
6.1.2 常用统计量
1 n
X = n i1 X i
V S/X
S 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
mk
1 n
n i 1
X
k i
vk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
3
3
n
n
(Xi
X
)3
/
n
(
Xi
X
)2
2
i 1
i1
i 1
1 2.52 2 2.52 3 2.52 4 2.52
=
1.25
4
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。 所有样本的结果如下表
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布
x
1 M
n
xi
i 1
1.0 1.5 L 16
4.0 2.5
样本均值的抽样分布
1 总体参数与样本统计量的对应关系 2 如何理解统计量的抽样分布 3 构造均值的抽样分布 4 样本均值的抽样分布 5 样本均值抽样分布的应用与计算
一、总体参数与样本统计量的对应关系
一个总体 两个总体
总体参数 均值 比例 方差
均值之差 比例之差 方差比
符号表示
P
2
1 2
P1 P2
2 x
1 M
n i 1
( xi
x
)2
(1.0
2.5)2
L 16
(4.0
2.5)2
2
0.625 n
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( x ) 抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
x 2.5
2 x
0.625
小结
• 计算总体的均值和标准差 • 计算所有可能的样本均值 • 构造样本均值的抽样分布 • 计算抽样分布的均值、方差 • 将样本和总体的均值、方差进行比较，发现了什么吗？
四、样本均值的抽样分布——任意总体
• 对于任意分布总体，当总体期望值为 为 ，方差为
用公式表示为： 2
2 n
，方差为
，则样本均值的 期望值
E(x) x
2 x
2
n
x
n
2
样本均值的抽样分布——正态总体
当总体分布为正态分布
时，可以得到N下面,的2结果： 的抽样分布仍
为正态分布， 数学期望为 ，方差为 ，则
X
2 n
X ~ N (0,1), / n
或X ~ N (, 2 / n)
从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正 态分布, 那么从非正态总体中抽样得到的均值的 分布呢？
思考：
• 当样本量n逐渐增大时，样本均值的抽样分布到底发生了什么样的变化？ • 当用样本均值估计总体均值时，平均来说没有偏差（无偏性），即n逐渐增大
时，样本均值的期望值不发生变化； • 当n越来越大时， 样本均值的标准差变小，即样本均值分布变窄，其分散程
度越来越小，意味着样本均值对总体均值的估计越来越准确
中心极限定理：
设从均值为 ，方差为 （有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样
本，当n充分大时，样本均值
态分布。
的抽样分布近似服从 2均值为
、方差为
的正
一个任意分 布的总体
X 2 n
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
不同总体分布构造均值的抽样分布
统计量上的取值的概率分布情况
样本均值的抽样分布
三、构造均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4 个个体分别为 X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
1 N
n i 1
Xi
1 2 3 4 =2.5 4
2
1 N
n
(Xi )2
根据中心极限定理，不论总体分布是什么形状，当n充分大时，样本均值的分布 近似服从正态分布
X ~ N (10,0.62 / 36)
PX
9.9
P
X 10 0.1
百度文库
9.9 10 0.1
1
1
1
P X 9.9 1 P X 9.9
P 9.9
X
10.1
P
9.9 10 0.1
X 10 0.1
10.1 10 0.1
五、样本均值抽样分布的应用与计算
• 计算样本均值的概率 • 根据样本均值的概率计算其所在的区间
例1.设从一个均值为10，标准差为0.6的总体中随机选取容量为36的样本。假设该 总体不是很偏，要求：
（1）计算样本均值小于9.9的近似概率 （2）计算样本均值超过9.9的近似概率 （3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内的近似概率
4
n
n
i 1
(Xi
X )4
/
n i 1
(Xi
X
)2
2
3
二、如何理解统计量的抽样分布
x • 你认为 会恰好等于总体均值 吗？
• 如果又抽取一个样本，它的均值会与第一个样本均值相等吗？它又会与总体 均值相等吗？
• 怎样才叫“接近”？如何测量接近的程度？ • 重复抽样得到的统计量是如何分布的？ • 样本统计量的抽样分布是所有来自同一总体、容量完全相同的样本在某一个