第五章 模态逻辑
模态逻辑资料
模态逻辑模态逻辑是哲学、数学和计算机科学领域中一个重要的研究方向，它探讨的是命题之间的必然性、可能性和真假性等概念。
模态逻辑的研究对象包括命题、语句、命题之间的关系以及其真值的运算规则等。
模态逻辑的基本概念命题是具有真假性的陈述句，模态逻辑中的命题可以分为确定命题和可能命题。
确定命题是指在任何情况下都为真或为假的陈述句，而可能命题是指在某些情况下为真，在其他情况下为假的陈述句。
可能性和必然性是模态逻辑中的重要概念。
可能性指的是在某种情况下某个命题为真的情况，而必然性则指在任何情况下某个命题都为真的情况。
模态逻辑的分类模态逻辑可以根据命题之间的关系分为不同的类型，常见的模态逻辑包括：•命题逻辑：研究命题之间的真假关系，不涉及可能性和必然性的问题。
•范式逻辑：研究命题的可能性和必然性，并通过“◇”和“□”等符号进行表示。
•世界逻辑：研究不同世界之间的命题真值关系，用以表达在不同情境下命题的真假性。
模态逻辑的应用在哲学中的应用模态逻辑在哲学中被广泛应用于形式化分析各种哲学问题，如自由意志与宿命、时间旅行等。
通过模态逻辑的形式化表达，可以清晰地展现不同命题之间的关系，帮助哲学家更准确地进行思考和讨论。
在计算机科学中的应用在计算机科学领域，模态逻辑被应用于人工智能、数据挖掘等领域。
通过模态逻辑的形式化描述，可以有效地推理出系统中各种情况下的可能性和必然性，为计算机系统的设计和优化提供了理论基础。
结语模态逻辑作为一种重要的逻辑体系，不仅在哲学和数学领域有着广泛的应用，还在人工智能、计算机科学等领域具有重要价值。
通过深入研究模态逻辑，我们可以更好地理解命题之间的关系，推动各领域的发展和应用。
愿我们在模态逻辑的世界里不断探寻新的真知，开拓思维的边界。
实用法律逻辑学 第五章 模态命题
2、或然模态命题
题 反映对象可能具有或可能不具有某种属性的命
如: ①其它星球上可能有人 ②其它星球上可能没有人 或然命题是人们对于对象的认识还不确定的时 候作出的,但反映了人们对对象认识的倾向性 或然性命题的结构如下: ◇p S可能是P S可能不是P ◇p
三、模态命题之间的关系
1、必然模态命题与或然模态命题之间的关 系
根据一个命题的负命题与其矛盾命题等值的原 理,真值模态命题有以下四个等值式
①~□P ◇P ②~◇P □P ③~□P ◇P ④~◇P □P 在模态逻辑中, □P=df.~◇P 如： ①并非摩擦必然不生热 ②“中国可能不会实现现代化”是假的 ③并非我班全体同学必然能够考上研究生 ④在座的同学中不可能有不是西政的学生 ~□P ~◇P ~□P ~◇P
二、狭义的模态命题和广义的模态 命题
1、狭义的模态命题是断定对象具有真的性 质的模态,亦称真值(性)模态命题
这类命题的模态词是：必然、可能
2、广义的模态命题是从狭义模态命题发展 后逐渐分离出来所形成的模态命题。包括 知道、信念、道义（规范）命题等
这类命题的模态词是：知道、相信、允许、禁 止，这类模态命题是现代模态逻辑研究的内容
1.1 □P与□P是“不同真,可同假”的反对关
例如:
中国必然能实现现代化 中国必然不能实现现代化 □P □P
1.2 ◇P与◇P是“不同假,可同真”的下反对 关系如: 甲可能是犯罪嫌疑人 ◇P 甲可能不是犯罪嫌疑人 ◇P 1.3 □P与◇P,□P与◇P是“不同真,不同假” 的矛盾关系 如: 甲必然是犯罪嫌疑人 甲可能不是犯罪嫌疑人 □P ◇P
1.4 □P与◇P,□P与◇P是“可同真,可 同假”的差等关系
如: 甲必然是犯罪嫌疑人 甲可能是犯罪嫌疑人
模态逻辑的概念与研究
模态逻辑的概念与研究模态逻辑是哲学和数理逻辑研究中的一个重要分支，主要研究与特定语义标记有关的命题逻辑推理模式。
在逻辑学中，模态逻辑是一种扩展了传统命题逻辑的形式系统，通过引入一种或多种模态操作符来表示可能性、必然性、知识和信念等概念。
本文将讨论模态逻辑的定义和基本原理，以及其在哲学和人工智能领域的应用。
一、模态逻辑的定义模态逻辑是一种通过添加模态操作符来扩展命题逻辑的形式系统。
模态操作符表示的是一种特定的语义标记或陈述的修饰。
常见的模态操作符包括可能性操作符（◊）、必然性操作符（□）和信念操作符（B）。
这些操作符可以用来表示可能性、必然性、知识、信念、时间和行动等概念。
二、模态逻辑的基本原理模态逻辑的基本原理可以总结为以下几点：1. 可能性公理：模态逻辑中的可能性操作符（◊）满足可靠性、反自反性和传递性等性质。
可靠性表示任何命题都可能是真的；反自反性表示任何真命题都是可能的；传递性表示如果一个命题可能是真的，那么它的逻辑后继也可能是真的。
2. 必然性公理：模态逻辑中的必然性操作符（□）满足真可排序和保真性等性质。
真可排序表示任意两个真命题可以同时成立；保真性表示必然性操作符的后继必然是真的。
3. 知识公理：模态逻辑中的知识操作符（K）满足真可排序、保真性和知识的传递性等性质。
知识的传递性表示如果一个命题是已知的，那么它的逻辑后继也是已知的。
三、模态逻辑的应用1. 哲学领域：模态逻辑在哲学领域中被广泛应用，特别是在形而上学和认识论方面。
模态逻辑的概念可以帮助人们分析和理解世界的可能性和必然性。
比如，人们可以用模态逻辑来探讨自由意志和宿命论之间的关系，以及道德责任和道德义务的逻辑基础。
2. 人工智能领域：模态逻辑在人工智能领域中有广泛应用。
通过使用模态逻辑，人工智能系统可以表示和推理关于世界的不同可能状态和必然性。
比如，人工智能系统可以使用模态逻辑来推理和规划机器人的行动，以及模拟和理解人类的信念和知识。
逻辑学第4-5章模态推理
④ 根据
律，若“如果A去，那么B去”为假，
则联言命题“
”为
真。
⑤根据
律，如果“A不去，但B去”为真，
则选言命题“
”
为假。
“金字塔不是地球人建造的”是可能 的
非p是可能的
Mp
三、真值模态命题的种类
基本
模态 命题
必然命题 可能命题
必然肯定命题 Lp 必然否定命题 Lp 可能肯定命题 Mp 可能否定命题 Mp
四、真值模态命题的真与假
Lp为真，当且仅当在所有可能世界中p都为真； Lp为假，当且仅当至少在一个可能世界中p为假 Mp为真，当且仅当至少在一个可能世界中p为真 Mp为假，当且仅当在所有可能世界中p都为假。
一、排中律的内容和要求
• 排中律的逻辑要求：
在同一思维过程中，对于两个 不能同假的命题不能同时予以否定。
矛
盾
关
不系
能
同
假
命 题
下 反
对
关
系
二、违反排中律要求的逻辑错误
• 违反排中律要求的逻辑错误：
模棱两可（应称“模棱两不可”）
三、排中律的作用和应注意的问题
• 排中律的主要作用在于保证思想的 明确性。
不同点
矛盾律
排中律
内容
互相否定的思想不能同真， 互相矛盾的思想不能同假，
必有一假
必有一真
要求
对不能同真命题不能同时 对不能同假命题不能同时
肯定
否定
适用范围
矛盾和反对
矛盾和下反对
错误表现
“两肯定”或 “一肯定一否定”
“两否定”
错误名称
“两可”
“两不可”
作用
由真推假（间接反驳的根 由假推真（间接证明的根
模态逻辑的基本概念
模态逻辑的基本概念模态逻辑是一种扩展传统命题逻辑的形式，它引入了模态词来描述命题的性质。
模态逻辑在哲学、数学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍模态逻辑的基本概念，并探讨其在不同领域中的应用。
一、命题逻辑与模态逻辑的区别命题逻辑是研究命题之间的关系，它使用逻辑运算符（如与、或、非）来表示命题之间的连接。
而模态逻辑则引入了模态词，用于描述命题的性质或状态。
常见的模态词有必然（necessity）、可能（possibility）、不可能（impossibility）等。
例如，在命题逻辑中，我们可以表示“P与Q都成立”；而在模态逻辑中，我们可以表示“必然P与必然Q都成立”。
二、模态词的语义解释在模态逻辑中，模态词的语义解释有多种方式。
其中一种常见的解释方式是基于Kripke语义。
Kripke语义认为，命题的真值取决于它在不同世界中的真假情况。
每个世界都有一个可能性分布，用来描述不同命题在该世界中的真值。
通过这种方式，我们可以定义模态词的含义，例如“必然P”可以表示在所有可能的世界中，P都是真的。
三、模态逻辑的公理系统模态逻辑也有自己的公理系统，用于推导命题之间的关系。
其中，最常用的公理系统是S5系统。
S5系统包括一组公理和一组推理规则，可以用来推导出模态逻辑中的命题。
这些公理和规则可以保证模态逻辑的一致性和完备性。
四、模态逻辑的应用模态逻辑在哲学、数学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
在哲学中，模态逻辑被用来研究命题的可能性和必然性，以及时间和空间等概念。
在数学中，模态逻辑被用来研究证明论和模型论等领域。
在计算机科学中，模态逻辑被用来描述系统的性质和约束条件，例如形式化验证和人工智能等领域。
五、模态逻辑的拓展除了基本的模态逻辑，还有其他形式的模态逻辑，如时序逻辑（temporal logic）、动态逻辑（dynamic logic）等。
时序逻辑用于描述时间序列中的命题关系，动态逻辑用于描述命题的变化和演化过程。
模态逻辑
• 客观模态包括逻辑模态和非逻辑模态.逻辑模态是 指逻辑上的必然性和可能性。例如，“x＝5或 x≠5是必然的”、“太阳可能每天从西方升起”等 命题中所表达的模态都是逻辑模态，前者反映了 逻辑上的必然性，后者则反映了逻辑上的可能性。 逻辑上的必然性是指，否定一个具有必然性的命 题，必然会引起逻辑上的矛盾。例如，“x＝5或 x≠5”是必然的，也就意味着否定“x＝5或x≠5”必 然会导致逻辑上的矛盾，即出现“x＝5且x≠5”的 矛盾情况。逻辑上的可能性是指逻辑上的不矛盾 性，一切逻辑上不矛盾的东西都是可能的。
模态逻辑
模态逻辑概述 真值模态逻辑 道义模态逻辑
一 模态逻辑的概述
• • • • • • 1.为什么要研究模态逻辑? .模态的含义 3.模态的种类 4.模态命题的特性 5.模态命题形式 6.模态逻辑的范围
1.为什么要研究模态逻辑?
• 例如,不出交通事故不具有必然性，所以，可能要 出交通事故。
• 上述推理的形式结构如果用经典命题逻辑 来分析，是“p→q”，不是有效式。但它确 实是一个正确的推理。这一推理的有效性 与其中所包含的模态词“必然”、“可能” 等密切相关，需要分析这些模态词的具体 含义才能确定推理的有效性。模态逻辑的 主要目的就是要基于“必然”、“可能” 等模态词考虑推理的形式结构是否有效， 这是经典逻辑所无法回答的。
3.模态逻辑语义学
• “可能世界”这个概念最初是由莱布尼茨提出来的。在他 看来，凡不违反逻辑，能够为人们所想象的情况或场合， 都是可能世界。我们生活在其中的现实世界，是众多可能 世界中的一个，并且是最好的一个。例如，我们生活在其 中的世界是一个有核武器的世界，但我们可以设想一下所 有现存的核武器都被销毁了并且世界各国都不再制造核武 器的无核世界，我们也可以设想一下所有现存的核武器都 爆炸了，地球和人类社会都毁灭了的无地球、无人类的世 界，它们都是可能世界。随后，莱布尼茨应用“可能世界” 这一概念定义了模态词“必然”和“可能”，即： • 必然就是在所有可能世界中真。 • 可能就是在有些可能世界中真。
第五章 模态命题及其推理
第五章 模态命题及其推理
(1) 必须肯定命题：规定某种行为必须履行的命题。 (2) 必须否定命题：规定某种行为必须不得履行的命题。 (3) 允许肯定命题：规定某种行为可予履行的命题。 (4) 允许否定命题：规定某种行为可以不履行的命题。 (5) 禁止肯定命题：规定某种行为不得履行的命题。 (6) 禁止否定命题：规定某种行为不得不履行的命题。 关于上述分类，我们需要注意以下两点： (1) 在各种规范命题中，其规范词在命题中的位置可以有所不同：可以将规范词与命题联项结合在一起，置于命题的中间 (如上述OP和O﹁P)，也可以将规范词置于命题之前(如FP和F﹁P)或之后(如PP和P﹁P)。 (2) 在上述六种命题中，由于禁止P与必须非P、禁止非P与必须P其陈述是相等的，因而，我们就可以用“必须P”来表示 “禁止非P”(“必须着装整齐”等于“禁止不着装整齐”)，用“必须非P”来表示“禁止P”(“必须不赤膊进入公共场所”等 于“禁止赤膊进入公共场所”)。 这样一来，上述六种命题实际上就可以归结为以下四类命题： (1) 必须P(OP)。 (2) 必须非P(O﹁P)。
第五章 模态命题及其推理
第一节 模态命题 第二节 模态推理 第三节 规范命题 第四节 规范推理
第五章 模态命题及其推理
第一节 模 态 命 题
第五章 模态命题及其推理
一、什么是模态命题 模态命题即反映事物可能性或必然性的命题。其可从广义和狭义两个方面来理解，广义的模态命题指一切包含有模态词( 如“必然”、“必须”、“可能”、“禁止”、“允许”等)的命题，而狭义的模态命题特指包含有“必然”和“可能”这类 模态词的命题。本文所指模态命题均为狭义的模态命题。 模态命题可以是简单的命题，也可以是复合的。 二、模态命题的种类 根据命题所反映的事物的模态情况，可将模态命题分为必然命题和可能命题。 (一) 必然命题 必然命题反映的是事物必然性情况的命题，根据事物是否必然具有某种情况，又可分为必然肯定命题及必然否定命题。 1. 必然肯定命题 必然肯定命题，即反映事物情况必然存在的命题。必然肯定命题可用公式表示为：“S必然是P”，也可以简化为“必然 P”或“□P”(在这里，“P”表示命题，“□”是“必然”模态词的人工表意符号)。 2. 必然否定命题 必然否定命题，即反映事物情况必然不存在的命题。必然否定命题可用公式表示为：“S必然不是P”，也可简化为“必 然 ﹁P”(必然非P)或“□﹁P”。
18第五章 模态逻辑
（四）根据模态判断间的差等关系进行的模态推理
差等关系模态推理的规则： 由一个必然判断为真，可推知可能判断为真， 由一个必然判断为假，不能推知可能判断的真假； 由一个可能判断为真，不能推知必然判断的真假， 由一个可能判断为假，可推知必然判断为假。
差等关系模态推理的有效式： ①□P → ◇P ②□P→ ◇P ③◇P → □P ④◇P→ □P
第三节 一、什么是规范判断
规范判断
规范判断，是指反映事物情况的规范性即规范人 类行为的判断。这类判断往往体现为一定的社会规 范，如法律规范、道德规范和纪律规范等。在规范 判断中，一般含有“必须”、“禁止”、“允许” 这一类涉及人的行为规范的模态词，称为规范模态 词。 例如： ①被告人不服一审判决，可以提出上诉。 ②学生上课必须认真听讲。 ③禁止无证驾驶机动车。
例如：
①中国必然不会全盘西化， 所以，中国可能不会全盘西化。 ②抢劫不可能不犯法， 所以，并非抢劫必然不犯法。 四、根据模态词的关系进行的模态推理
根据模态词的关系进行的模态推理，实际上就 是根据含有必然、可能等模态词的判断与实然判断 即各种非模态判断间的蕴涵关系进行的模态推理。 实然判断不应看作是模态判断，但并不等于说实然 判断与模态判断没有任何关系。事实上，实然判断 与必然、可能等模态判断间有一定的蕴涵关系，根 据这种关系就可以进行模态推理。
第四节
规范推理
一、根据规范逻辑方阵进行的规范推理 （一）根据反对关系进行的规范推理 根据反对关系的内容可知，由一个判断正确，可以推 知另一个判断不正确；由一个判断不正确，不能推 知另一个判断是否正确。这就是反对关系规范推理 的规则。根据规则，反对关系规范推理有两种有效 式： ①Op → Op 例如：共产党员应当全心全意为人民服务，所以，共 产党员不应当不全心全意为人民服务。 ②Op→ Op 例如：国家公务员必须不以权谋私，所以，国家公务 员不应当以权谋私。
第五章 模态命题及其推理
第五章模态命题及其推理“模态”一词是英文“modal”的音译，原意为“样式的”，“情态的”。
模态逻辑是研究包含模态词“必然”、“可能”的模态命题及其推理的科学。
模态逻辑历史很悠久，早在两千多年前，亚里士多德就对模态命题做过许多讨论，研究了模态词和模态三段论，但在很长一段时间里模态逻辑的价值被忽略了，因而模态逻辑基本上没有得到发展。
直到本世纪初，美国逻辑学家Lewis用数理逻辑的方法和观点对模态逻辑作了系统的研究，这才使模态逻辑的发展进入了一个崭新的时期。
Lewis是由对蕴涵的讨论转而研究模态逻辑的。
Russell把p→q定义为﹃p∨q，即只要p假或q真，p→q就为真，这就是所谓实质蕴涵。
按照实质蕴涵的定义就出现了一些蕴涵怪论，如：（1）p→（q→p）；（2）﹁p→（p→q）；（3）（p→q）∨（q→p）这几个定理分别说明了：（1）任一命题q蕴涵真命题p。
（2）假命题p蕴涵任一命题q。
（3）任何两个命题p与q，不是p蕴涵q，就是q蕴涵p。
这些怪论的出现引起了逻辑学界的一些争论，有人试图定义新的蕴涵词来代替实质蕴涵，Lewis就是其中最有名的一个。
他提出把蕴涵“如果p，那么q”定义为“不可能（p∧﹁q）”，这就是所谓的严格蕴涵。
严格蕴涵的定义中包含了模态词。
Lewis所建立的严格蕴涵系统，形成了一个模态逻辑的命题演算系统。
其他逻辑学家也通过研究，建立了包括谓词演算在内的种种模态逻辑系统。
也有人对模态提出了更广义的解释，从而开拓了一些新的研究领域。
逻辑学中在两种意义上，即在狭义和广义上使用“模态”这个术语。
一般认为，当“模态”这一术语被狭义的使用时，它只是指“必然的”、“可能的”这类模态词。
因此，只有含有“必然的”、“可能的”这类模态词的命题被认作是狭义模态命题。
例如：“物体间存在着引力是必然的”、“（p∨﹃p）是必然的”。
也有一些逻辑学家对“模态”作广义的理解。
广义的模态逻辑讨论的内容比狭义的模态逻辑要广泛得多。
逻辑学ppt(程树铭主编)
二者之间具有不对应性。
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结束
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概念和语词之间的不对应性
1.二者的相互依赖程度不同 2.一个语词可能表达多个概念
深：这个坑很深（距离大）；那本书太深（深奥）；
他们的感情深（厚）；颜色深（浓）。
思维有三种形态：概念、命题、推 理。
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结束
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思维形式
思维即有内容又有形式。思维内容 是指思维所反映的特定对象及其属性； 思维形式是指思维内容赖以存在和表达 的方式，或者说是思维内容各部分之间 赖以联系的结构形式。
每一种思维形式都是从具体的思维形 态中抽象出来的，是对思维内容不同而 结构形式相同的具体思维形态的概括。
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结束
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现代逻辑是指19世纪中叶以后在欧洲建 立起来的数理逻辑和一切在数理逻辑基 础之上或采用数理逻辑的思想方法而发 展起来的逻辑。现代逻辑往往是符号化 的，因而，人们又称现代逻辑为符号逻 辑。作为现代逻辑主体的数理逻辑是以 命题演算和谓词演算为基础的逻辑系统， 它包括模型论、集合论、递归论和证明 论四个重要分支。
17世纪，随着经验自然科学的兴起和发
展，英国的弗兰西斯·培根提出的科学归
纳法奠定了归纳逻辑的基础，著作《新
工具》。约翰·穆勒继承并发展了培根的
归纳逻辑，在他所著的《逻辑体系：归
纳和演绎》（即严复所译的《穆勒名
学》）中，系统地阐述了寻求现象间因
果联系的五种方法（史称“穆勒五
法”）。
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结束
20
17世纪德国哲学家莱布尼茨首次把数学 方法运用到逻辑研究上，提出了用数学 方法处理演绎逻辑、把推理变成逻辑演 算的光辉思想，他也因此而成为现代形 式逻辑（数理逻辑）的奠基人。
AI第五章经典逻辑推理
AI第五章经典逻辑推理第五章经典逻辑推理在人工智能（AI）的发展中，逻辑推理是一项至关重要的技能。
它涉及到根据事实和规则进行推理和推断，以得出准确的结论。
本章将介绍一些经典的逻辑推理方法和应用。
1. 命题逻辑命题逻辑是逻辑推理的基础，它是传统逻辑推理中最常用的形式之一。
在命题逻辑中，我们使用命题来表示事实或陈述，并使用逻辑运算符进行推理。
逻辑运算符包括与、或、非等。
命题逻辑推理的典型应用是推理规则的模拟。
例如，如果我们知道“A是B”，并且还知道“B是C”，那么我们可以推断出“A是C”。
通过使用合适的推理规则和逻辑运算符，我们可以从给定的事实中推导出新的结论。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了谓词和量词的概念。
谓词用于描述属性或关系，量词用于描述命题的数量。
谓词逻辑推理在表达能力上更丰富，可以处理更复杂的问题。
例如，通过使用谓词逻辑，我们可以更好地描述关系，如“所有人都喜欢音乐”，或者处理存在量词，如“存在一个城市，每个人都爱好音乐”。
3. 归结推理归结推理是一种用于求解逻辑问题的常用方法。
它基于归结原理，通过将待证明命题与已知命题进行推理，并最终得出结论。
归结推理通常用于解决谓词逻辑问题。
它的基本思想是将命题转化为子句集合，并通过消解操作来简化问题。
通过适当的推理步骤，我们可以从已知的命题中推导出新的结论。
4. 例证推理例证推理是一种基于已有证据的推理方法。
它的核心是根据已有的案例或实例进行推理，从而得出结论。
例证推理在机器学习和数据挖掘中被广泛应用。
通过分析已有的数据和案例，我们可以发现模式和规律，并将这些规律应用于新的问题中。
这种推理方法是基于类似性的推理，它认为类似的案例有相似的解决方法。
5. 模态逻辑模态逻辑是一种扩展的逻辑系统，它引入了模态词，用于表示命题的特性或状态。
常见的模态词包括必然、可能、必要等。
模态逻辑推理用于处理具有不确定性或可能性的命题。
它在人工智能的推理和知识表示中起着重要作用。
简明逻辑学 第15讲(第五章 模态判断)
◇ p
3、逻辑性质：
或 □p
□p ◇ p
□p◇p
2018/11/8
◇ p □ p
◇ p □ p
23
第一节 模态判断
五、模态判断应用中应注意的问题
1、正确而恰当地使用模态词
例如：
① 有奸情必有合谋。 ② 作案人可能有作案时间。
2018/11/8
24
第一节 模态判断
五、模态判断应用中应注意的问题
1、正确而恰当地使用模态词
2、正确区分模态判断的负判断与模态否定判断
例如：① 明天不可能下雨。
② 明天可能不下雨。
③ 能说会道的人不一定掌握了真理。
④ 能说会道的人一定没有掌握真理。
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35
第二节 规范判断
一、什么是规范判断
二、规范判断的种类 三、规范判断对当关系
2018/11/8
36
第二节 规范判断
一、什么是规范判断
二、规范判断的种类 三、规范判断对当关系
2018//8
◇p
2018/11/8
18
第一节 模态判断
二、模态判断的种类
1、必然肯定判断： 2、必然否定判断： 3、可能肯定判断： 4、可能否定判断： S 可能不是P 或 可能非p
①犯罪分子不受刑罚处罚是可能的。 ②法庭可能还没有作出判决。
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2018/11/8 26
第二节 规范判断
一、什么是规范判断
1、定义： 2、结构：（规范词 ＋ 原判断） 3、语言表达：
义务性规范词
授权性规范词
浙江大学逻辑与语言课程 第五章
5.5 模态推理2
• • • • • • • • 3、以下反对关系为依据的模态推理 （7）并非可能p，可以推出：可能非p。 （8）并非可能非p，可以推出：可能p。 4、以差待关系为依据的模态推理 （9）必然p，可以推出：可能p。 （10）必然非p，可以推出：可能非p。 （11）并非可能p，可以推出：并非必然p。 （12）并非可能非p，可以推出：并非必然非p。
5.5 模态推理1
• • • • • • • • 1、以矛盾关系为依据的模态推理 （1）必然p与不可能不p，可以互推。 （2）必然非p与不可能p，可以互推。 （3）并非必然p与可能非p，可以互推。 （4）并非必然非p与可能p，可以互推。 2、以反对关系为依据的模态推理 （5）必然p，可以推出：并非必然非p。 （6）必然非p，可以推出：并非必然p。
• 3、古希腊柏拉图学院的门口竖着一块牌子：“不懂几何 者禁入。”这天，来了一群人，他们都是懂几何的人。 • 如果牌子上的话得到准确的理解和严格的执行，那么以下 诸断定中，只有一项是真的。这一真的断定是（ ）。 • A：他们一定会被允许进入 • B：他们一定不会被充许进入 • C：他们可能不会被充许进入 • D：他们不可能被充许进入 • E：他们不可能不被充许进入
5.1.2 模态的分类（续）
• 2、逻辑模态和非逻辑模态 • 逻辑模态是指逻辑上的必然性和可能性等这类性 质。 • 非逻辑模态又有物理的、生物的和哲学的模态等 等之分。 • 3、狭义模态和广义模态 • 狭义模态仅指必然性和可能性等这种最基本的模 态性。 • 广义模态还包括时间模态、道义模态和认知模态 等。
第五章 练习题3
• 4、一份犯罪调研报告揭示，某市近三年来的严重刑事犯 罪案件百分之六十皆为已记录在案的350名惯犯所为。报 告同时揭示，严重刑事案件的半数以上作案者同时是吸毒 者。 • 如果上述断定都是真的，并且考虑到事实上一个惯犯可能 多起作案，那么，下述哪项断定是真的？请说明理由。 • A：350惯犯中一定有吸毒者。 • B：350名惯犯中可能没有吸毒者。 • C：吸毒者多数在350名惯犯中。 • D：350名惯犯多数是吸毒者。 • E：吸毒是造成严重刑事犯罪的主要原因。
形式逻辑逻辑导论第五章模态判断及其推理
形式逻辑逻辑导论第五章模态判断及其推理模态逻辑是形式逻辑的一个分支，研究的是将语句中的可能性、必然性等范畴引入到推理中。
在模态逻辑中，我们使用不同的符号来表示可能性和必然性，并利用这些符号来进行推理。
在模态逻辑中，我们引入了两个主要的符号：可能性符号“◇”和必然性符号“□”。
这两个符号可以用来修改命题，从而表示这个命题是可能的或者是必然的。
对于可能性符号，当我们在一个命题前加上“◇”，表示这个命题是可能发生的，即存在一些条件能够满足它。
例如，原命题P表示“今天会下雨”，那么“◇P”表示“今天可能会下雨”。
对于必然性符号，当我们在一个命题前加上“□”，表示这个命题是必然的，即在任何条件下都成立。
例如，原命题P表示“2+2=4”，那么“□P”表示“2+2一定等于4”。
在模态逻辑中，我们也可以使用这些符号来进行推理。
常见的推理模式有：可可能性、必然性蕴涵和反演等。
可可能性是指当一个命题可可能导致另一个命题成立时，我们可以得出这个命题是可能的结论。
例如，如果我们知道“今天下雨”，那么我们可以推断“今天天气阴沉”，即“◇P”可以推出“◇Q”。
必然性蕴涵是指当一个命题必然导致另一个命题成立时，我们可以得出这个命题是必然的结论。
例如，如果我们知道“2+2=4”，那么我们可以推断“3+3=6”，即“□P”可以推出“□Q”。
反演是指当一个命题是必然的时，我们可以推断它的否定也是必然的。
例如，如果我们知道“2+2=4”，那么我们可以推断“2+2≠5”，即“□P”可以推出“□¬P”。
除了这些常见的推理模式外，模态逻辑还有许多其他的推理规则和定理，用于推导模态逻辑中的命题。
这些规则和定理可以帮助我们更准确地理解和应用模态逻辑。
总之，模态逻辑研究的是在推理中引入可能性和必然性等概念，并利用模态符号进行推理。
通过研究模态逻辑，我们可以更深入地理解和分析命题之间的关系，从而进行更准确的推理和论证。
模态逻辑的应用范围非常广泛，不仅在逻辑学中有重要的地位，还涉及到哲学、数学、计算机科学等领域的研究。
形式逻辑(第五章(新))
n n n n n
等值式： 不必须 p 不必须非p 不允许 p 不允许非 p 允许非 p 允许 p 必须非 p 必须 p 不禁止非 p 不禁止 p 禁止 p 禁止非 p
例如：“必然 A 队获得篮球冠军或者必然 B 队获得篮球冠军”
蕴涵 “A 队获得篮球冠军或者B对获得篮球冠军是必然的” （3）“可能（p 或 q）” 等值于 “可能 p 或可能 q” 例如：“可能明天刮风或下雨” 等值于 “可能明天刮风或可能明天下雨” （4）“可能（p 并且 q）” 蕴涵 “可能 p 并且可能 q” 例如：“可能明天既刮风又下雨” 蕴涵 “可能明天刮风并且可能明天下雨” （5）“不可能（p 并且非 q）” 等值于 “必然（如果 p，那么 q）”
第一节 真值模态命题及其推理
一、真值模态命题：
——断定事物情况的必然性或可能性的命题。 1.必然肯定命题：断定事物情况必然存在的命题。
例如；“大地回春草木必然发新芽。” 、 “冬天过后必然是春天。”
v v
逻辑形式：“s 必然是 p” 或“‘s 是 p’是必然的。” 简写：必然 p 或 □p
2.必然否定命题：断定事物情况必然不存在的命题。
4.可能否定命题：断定事物情况可能不存在的命题。又叫或然否定命题。 例如：“战争可能不爆发。”、“明天可能不下雪。”
Ø Ø
逻辑形式：“s 可能不是 p” 或 “‘s 不是 p’是可能的” 简写：可能非 p 或 ¸ ﹁ p
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（2）□SEP├┤◇SIP
例如：所有的动物必然不是植物├┤不可能有的动物是植物
（3）□SIP├┤◇SEP
例如：有的大学生必然是党员├┤不可能所有的大学生都不是 党员
（4）□SOP├┤◇SAP
例如：有的青年必然不是干部├┤不可能所有的青年都是干部
模态算子：通常用人工语言符号“□”和“◇”来分别表 示必然性和可能性，这些人工符号在模态推理中被称为模 态算子。
2014年6月10日星期二 3
模态的分类
模态按照不同的标准，可分为从物的模态和从言的模 态；或客观模态和主观模态；或狭义模态和广义模态。 从物的模态：关于事物本身的模态。例如：9必然大于7。 从言的模态：关于命题的模态。例如：“9大于7”是必然的。 客观模态：客观存在的必然性和可能性等性质。例如：飞机
（1）患阑尾炎但肚子不痛是不能的,所以患阑尾炎则肚子痛是必然的。
（2）如果小张是党员干部，那么他必然是党员；小张是党员干部。所以，他 必然是党员。
其推理形式分别为： （1′）◇(p∨q)→□（P→q） （2′）（P→□q）∧P→□q
模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学，目的在于得到有效的 模态推理形式。
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自然推理系统TN的语法推出关系
T4：◇（A∧B）├◇A∧◇B 证明： （1）◇（A∧B） A （2）A∧B H1(→＋的假设) （3）A （2）,∧－ （4）A∧B→A （2） —（3）,→＋（消去H1） （5）□(A∧B→A) （4）,□＋ （6）□(A→（A∧B) ) （5）,R.P. （7）□A→□（A∧B) （6）,□M （8）□(A∧B) →□A （7）, R.P. （9）◇（A∧B）→◇A （8）,D◇ （10）◇A （1）,（9）,→－ （11）A∧B H2 （12）B （11）,∧－
由对当关系方阵，可得四种基本模态命题之间的真 值关系：
（1）矛盾关系：□p与◇p、□p与◇p不能同真，也不能 同假。 （2）反对关系：□p与□p不可同真，但可同假。 （3）下反对关系：◇p与◇p不可同假，但可同真。 （4）差等关系：□p真则◇p真；◇p假则□p假；□p假则 ◇p真假不定；◇p真则□p真假不定。□p与◇p也有这种 关系。
的速度不可能超过光速。
主观模态：认识中的确定性或不确定性等这类性质。例如：
香格里拉可能就在中国的云南省。
狭义模态：必然性与可能性等性质。狭义模态又叫真势模态。 广义模态：认识和事物中的其他性质。如:知道等认知模态。
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4
模态形式
模态形式：研究含有模态词的思维逻辑形式。它是 在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分 而形成的逻辑形式。 下列模态命题均有对应的逻辑形式：
式公式； （4）只有（1）—（3）构成的符号串是合式公式。
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模态命题的自然推理系统TN
三、定义： （1）D◇：◇A=df□A； （2）D ：A B=df□(A→B)； （3）D= ：A=B=df（A B）∧（B A）。 四、推导规则 （1）NP系统的所有推出规则； （2）□+(必然引入规则)：从定理A可推出□A； 必然分离规则)：从□(A→B)和□A可推出□B，即
（9） □SAP├ （10）□SEP├ （11）□SAP├ （12）□SEP├ （13）□SIP├ （14）□SOP├ （15）◇SAP├ （16）◇SEP├
2014年6月10日星期二
□SIP □SOP ◇SAP ◇SEP ◇SIP ◇SOP ◇SIP ◇SOP
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直言模态方阵图的有效推理
3、根据直言模态命题之间的反对关系得出的蕴涵式有：
（2）“并非明天必然下雪”（□p）等值于“明 天可能不下雪”（◇p） （3）“并非他必然不被当选”（□p）等值于 “他可能被当选”（◇p）
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模态六角图
□p
反对 □p
差 p
等
差 矛
矛
盾
差
差
矛
等 盾 下反对 盾
p
等 等
◇p
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◇p
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实然命题与必然命题、可能命题间的推理
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（10）◇A （11）A∧B （12）B （13）A∧B→B （14）□(A∧B→B) （15）□(B→（A∧B)） （16）□B→□（A∧B) （17）□(A∧B) →□B （18）◇（A∧B）→◇B （19）◇B （20）◇A∧◇B
（1）,（9）,→－ H2(→＋的假设) （11）,∧－ （11） — （12）,→＋（消去H2） （13）,□＋ （14）, R.P. （15）,□M （16）, R.P. （8）,D◇ （1）,（18）,→－ （10）,（19）,∧＋
2014年6月10日星期二 14
六角图
根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假：
直言模态命题
根据“必然”、“可能”这两个模态词和 A、 E、I、O四种基本直言命题的组合，得到八种基 本的直言模态命题：
1、必然全称肯定命题(□SAP)； 2、必然全称否定命题(□SEP)； 3、必然特称肯定命题(□SIP)； 4、必然特称否定命题(□SOP)； 5、可能全称肯定命题(◇SAP)； 6、可能全称否定命题(◇SEP)； 7、可能特称肯定命题(◇SIP)； 8、可能特称否定命题(◇SOP)；
下反对关系对当推理：
（7）◇p├ ◇p；
差等关系对当推理：
（9）□p├ ◇p； （11）◇p├ □p；
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模态对当推理的应用实例
（1）“罪犯必然有犯罪时间”（□p）为真，可得：
“罪犯必然无犯罪时间”（□p）为假；
“罪犯可能有犯罪时间”（◇p）为真；
“罪犯可能无犯罪时间”（◇p）为假。
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21
模态命题的自然推理系统TN
一、初始符号： （1）命题变元：NP系统所有命题变元； （2）一元算子：，□； （3）二元算子：∧，∨，→，； （4）辅助符号：（，）。 二、形成规则： （1）任一命题变元是合式公式； （2）若A是合式公式，则A、□A也是合式公式； （3）若A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B、AB是合
从□(A→B)可推出□A→□B。
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自然推理系统TN的定理
A是TN的定理，当且仅当A能仅由TN系统的推导规
则推出。或者说，有一个无假设（前提为空集φ ）
的自然推理以A为其中一项。可记为：
├T N A
A→B是TN的定理，当且仅当从A和原前提集出发， 由TN系统的推导规则能推出B。可简记为： ├TN A→B 或 A├TN B
（17）□SAP├ □SEP （18）□SEP├ □SAP
4、根据直言模态命题之间的下反对关系得出的蕴涵式有：
（19）◇SIP├ ◇SOP （20）◇SOP├ ◇SIP
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现代模态逻辑的产生
罗素和怀特海建立的经典命题演算中，有一些实质蕴涵的定理，如： (1)p→(p→q)(等值于(p∧p)→q)； (2)p→(q→p)(等值于q→(p∨p)) 这个定理的分别是说：“假命题蕴涵任何命题”、“真命题被任何命题所蕴 涵”。这就是古典命题逻辑中的实质蕴涵怪论。 美国逻辑学家刘易斯（I.Lewis）通过对实质蕴涵→的批评，提出了严格蕴 涵 ，以突出条件命题前、后件的必然导致关系： p q=df◇(p∧q)或p q=df□(p→q) 在此基础上建立了模态命题逻辑系统S1—S5，开创了现代模态逻辑。 严格蕴涵就是具有必然性的实质蕴涵，是在经典命题演算的基础增加模态算子 □或◇得到的。 现代模态逻辑的特点：（1）它是符号化和公理化的，表现为一些形式系统。 （2）它是经典逻辑加上一个模态算子的扩张。（3）它将传统模态逻辑的范围 大大拓宽，是一种广义的模态逻辑。
2014年6月10日星期二
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传统模态逻辑的对当推理
矛盾关系对当推理：
（1）□p├┤◇p； （3）◇p├┤□p； （2）□p├┤◇p （4）◇p├┤□p （6）□p├ □p （8）◇p├ ◇p （10）□p├ ◇p （12）◇p├ □p
10
反对关系对当推理：
（5）□p├ □p；
(1)——(8)的推理式体现了结论从弱原则：结论的模 态不能强于前提的模态，即必然强于实然，实然强 于可能(或然)。故上述推理可以简化为：
（9）□p├ p├ ◇p （10）□p├ p├ ◇p （11）◇p├ p├ □p （12）◇p├ p├ □p
（13）p├ ◇p├ □p （14）p├ ◇p├ □p （15）p├ □p├ ◇p （16）p├ □p├ ◇p
主讲人：何向东
--进入--
第五章 模态逻辑
第一节 模态逻辑
模态和模态词
模态：指事物或认识的必然性和可能性等这类性质。模态 在思维中的反映，表现为一定的认识和观念，便形成了相 应的模态概念。 模态词：语言中用以表示模态或模态概念的语词或符号。
如：汉语中的“必然性”、“可能性”，英语中的单词“necessity”、 “possible”。
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直言模态方阵图
□SEP □SAP □SIP □SOP
◇SAP
◇SEP
◇SIP
◇SOP
其中，箭头直线为差等关系线，无箭头直线为矛盾关系线， 上虚线为反对关系线，下虚线为下反对关系线。
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直言模态方阵图的有效推理
1、根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有： （1）□SAP├┤◇SOP
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自然推理系统TN的语法推出关系
T1：□A├ A 证明：(1) □A A (2) A (1),□_ T2：A├ ◇A 证明：(1) A A (2) ◇A H(_的假设) (3) ◇A (2),+ (4) □A (3),D◇ (5) A (4),□_ (6) A∧A (1),(5),∧+ (7) ◇A (2) —(6) ,_(消去H) T3：A├□A 证明：由T2据D◇即得。