小波分析及其工程应用-综合介绍

嵌入式零树小波 (EZW)、算法多级树集合分裂 (SPIHT) 算法、 EBCOT算法、集合分裂嵌入块编码(SPECK)、可逆嵌入小波压 缩 (CREW)算法、小波形态数据表征(MRWD)……
WA Pearlman, A Islam, N Nagaraj, A Said, “Efficient, low-complexity image coding with a set-partitioning embedded block coder”, Circuits and Systems for Video Technology, IEEE Transactions, 2004 (SPECK) A Zandi, JD Allen, EL Schwartz, M Boliek, “CREW: Compression with Reversible Embedded Wavelets”, Data Compression Conference, 1995 S. D. Servetto, K. Ramchandran, M. T. Orchard, “Image coding based on a morphological representation of wavelet data”, IEEE Trans. on Image Processing, 1999

Daubechies(女)-----比利时人
1988年,建立了著名的Daubechies小波: 紧支撑正交小 波。 Daubechies I., Orthonormal bases of compactly supported wavelet, Comm. On Pure and Appl. Math., 41,1988, 909-996
ˆ f t e it dt f t , eit f




f t (cos t i sin t )dt
• Wavelet transforms use wavelet as their basis functions
For any f (t ) L2 R ,the wavelet transform is

Wickhauser
由Coifman、Meyer、Quake及Wickhauser引入小波 包, 并由Wickhauser作了深化并成功地应用于信号压缩 等。
Adapted Wavelet Analysis from Theory to Software,1994

Swedens 1994-1996年,小波的提升构造，第二代小波(如 球小波)。不依赖Fourier分析。拓广小波分析的 应用范围。 Wavelet Digest是由Bell实验室Wim Swedens教 授主编的非常自由的小波分析因特网信息机构。 站点是：http://www.wavelet.org/wavelet
“基于小波分析的电压暂降发生源的测量与定向”
AGU-Vallen Wavelet, http://www.vallen.de/wavelet/index.html, 2005
FFT变换
去相关性及数据的多分辨组织结构
小波零树算法是一种很好的小波编码方法. 它具有显著编码性能的原因：
（1）离散小波变换: 去相关性与塔式结构 （2）零树编码: 利用不同分辨率同方向子带之间的相关性
D4尺度函数 D4小波函数 “Ten Lecture Notes on Wavelets”, 1992

Charles K. Chui (崔锦泰) “An Introduction to Wavelets”,1992 样条-小波和时-频分析 小波期刊”Applied and Computational Harmonic Analysis”的三位主编之一（另两位 主编是R. Coifman和I. Daubechies, 1993年创 刊）
令参数
a 2 j
，
b k 2 j ，其中 j, k Z ，则离散（参数）小波为：
j ,k (t )
2
(t ) 2 j / 2 (2 j t k ) j , k 2 j
记
在这种情况下，常用
2
j
, k 2 j ，即
j ,k (t ) 2 j / 2 (2 j t k )
WT f (a, b) 1 a
(



t b f (t ) ( )dt f , a ,b a
where a ,b (t ) a b
1 a
t b ) a
a, b R
a 0 continuous wavelet
is a scale parameter is a translation parameter
Still imaging and video compression techniques based on WT are widely used in digital video recording and such commercial products are available for video monitoring or surveillance
（3）累进逼近 : 位平面编码 （4）自适应算法编码: 无损编码方式
EZW编解码算法的实现, 包括C语言与Matlab程序(不考虑排序步骤): http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/ezw/ezw.html
小波图象编码方法

小波图象编码技术相对成熟
–
Meyer小波

Mallat-----法国人
1986年,与Meyer共同建立了多分辨分析（Multiresolution Analysis，MRA） 的理论框架 后提出小波的快速算法，现在称为 Mallat算法。Mallat在1989 年获得IEEE优秀论文奖 Mallat S., Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2 R . Trans. Amer. Math. Soc., 1989,315: 69~87 Mallat S. A Theory of Multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Trans. PAMI, 1989,11: 674~693 “A Wavelet Tour of Signal Processing”, 1998,1999 Bandlet
A new word in English -Wavelets
Waves and Wavelets
Waves and Wavelets
Waves
Waves and Wavelets

• Wave transforms use waves as their basis functions • Fourier transform uses sinusoidal waves as its orthonormal basis functions
√Medical volume compression √ DEM compression
信号小波表示的显著优点:



多尺度分辨特性 时频局部化特性 去相关性(稀疏表示) 快速算法 几乎无数据冗余
多尺度表示
时频局部化特性
时-频局部化特性适用于分析非平稳信号
时频局部化分析

Power production and power electronic power quality monitoring
注意：双正交小波（biorthogonal wavelet） 多小波（Multiwavelet）的发展




起因：Daubichies证明，满足紧支撑、正交性、 对称性的小波只有Haar小波。 双正交小波（Cohen, Daubichies, Feauveau） 满足紧支撑、对称性、连续光滑性 多小波（1993年开始，Goodman,Lee,Tang） 紧支撑、正交性、对称性、高阶消失矩 向量值小波(1996, Xia XG, Suter BW )
B. Cipra, ”Wavelet applications come to the fore”, SIAM News, 26(7), november 1993




Image compression √ JPEG2000
IMAGE PROCESSING APPLICATIONS

Image compression √Video compression
小波分析及其工程应用
课程介绍

小波技术及其工程应用概述 课程内容介绍 考核方法
小波技术及其工程应用

小波分析
小波分析是80年代后期形成的一个新兴的数学分支. 小波分析是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域 的高新技术。
Waves, Wavelets, and Transforms
Waves & Wavelets
相应于离散小波
j ,k (t )
的离散（参数）小波变换为：
WT f ( j , k ) : f , j ,k
1
(t )
1 2
0
1
1
Haar
Daubechies
Morlet
Gauss
Meyer
小波的发展简史

Morlet-----法国地质物理学家
1981年率先提出了”小波分析”的概念,建立了以 他的名字命名的Morlet小波.
1984年和Grossman第一 次给出小波(wavelet)这 个名词。 Morlet小波

Meyer------法国数学家
1986年，他意外而创造性地构造出具有一定衰减性 的光滑函数，其二进伸缩和平移构成平方可积函数 空间的一个标准正交基.
1990年，小波专著《小波与 算子》。中译本由尤众、王 耀东、邓东皋完成
工程应用
最成功的应用之一: 图象压缩

小波指纹图象压缩(1993)
One of the earlier and most celebrated application is digital fingerprint image compression wavelet-based standard adopted by the FBI in 1993 (to store its 200 millions fingerprint records representing about 2000 terabytes) , which leads to good quality images with a compression ratio of about 20:1 J .N. Bradley, C. M. Brislawn, and T. Hopper, ”The FBI wavelet/scalar quantization standard for grey–scale fingerprint image compression”, in Proc. SPIE, Vol. 1961, pp. 293–304, Orlando, apr. 1993
JPEG2000编码:
Fra Baidu bibliotek 小波可伸缩编码: 质量
300kbps PSNR=32.2 dB 500kbps PSNR=34.6 dB 1000kbps PSNR=38.2 dB
头信息
视频数据
分辨率
小波可伸缩编码:
时域
支持这三种可伸缩的SVC技术被称为完全可伸缩的SVC编码技术
遥感图像融合

遥感对目标信息的获取主要是利用从目标 反射和辐射来的电磁波。不同类型的地物 具有反射和辐射不同波长电磁波的特性。 对同一地区，在同一瞬间摄取多个波段的 影像称为多光谱图像。它能够利用地物在 不同光谱区有不同的反射特征，来增加获 取目标的信息量。多光谱图像的频率分辨 率高，因而它的空间分辨率低。全色波段 图像的空间分辨率高，而其频率分辨率低， 但实际应用中，常希望得到空间分辨率与 频率分辨率都较高的图像。遥感影像融合 是近几年国际遥感界研究的热点。在融合 方法上，有一些经典的算法，HIS变换法， 比值运算法，线性复合与加权乘法， Brovey 变换法，高通滤波变换法，主成 份变换法( PCA)等。