2013年值得商榷的高考题 数学学科

2013 年值得商榷的数学高考题
这几年的高考题越来越注重考查学生的能力和基础知识． 但不可 否认地说，仍然有需要改进的地方．有些题目不够好或可以改进．我 这里谈一点个人意见，希望引起大家讨论、批评．
一
概率统计题中的问题
由于概率统计题，目前仍是问题比较多，因此，这里先集中谈谈 这方面的问题．
(一)数学上定位不准确
陕西第 5 题. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站 , 假 设其 信 号覆盖范围 分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域 内无其他 信 号 来 源 , 基站 工作正常 ). 若 在 该 矩形 区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率是( A ) ．
( A) 1 -
p 4
( B)
p -1 2
( B )2 -
p 2
( B)
p 4
评注： 几何概率模型考查的是， 如何把一个随机现象中求概率的 问题转化为计算几何对象测度(长度、面积等)的问题．而这道题重点 是计算面积，基本谈不上对随机现象的认识．
1

这样的问题去年也存在，如 2012 年湖北理 8．. 如图， 在圆心角为直角的扇形 OAB 中， 分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随机取 一点，则此点取自阴影部分的概率是 A
A.1 -
2 p
B.
1 1 2 p
C.
2 p
D.
1 p
2013 年辽宁
填空第 16 题
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均 数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最 大值为 10 .
评注：统计的作用是提取信息．信息指的是我们要考查对象(总 体)中的信息．样本则是随机抽取的．因此，求样本的最大值就没有 任何意义．每次抽样样本不同，随机的最大值也会不同．因此，这道 题问题的提法就是错误的．另外，在实际问题中，是知道了样本去求 样本平均数和方差，怎么会倒过来，由均值、方差等去求最大值呢？ 这纯粹变成了数字游戏．和统计问题相差万里．
(二)概率统计问题中比较突出的是，生编硬造的痕迹严重．
2013 年湖南理 18．(本小题满分 12 分)
2

某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指 纵 、 横直线 的 交叉 点以 及三角 形 顶 点 ) 处 都种了 一 株相同品种 的 作 物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获 Y (单位：kg)与它 的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示： X Y 1 51 2 48 3 45 4 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米． (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物， 求它们 恰好“相近”的概率； (II)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数 学期望．
2013 年江西理 19．(本小题满分 12 分) 小 波以游戏方式决定 是参加 学校合唱团 还是参加学校排球队， 游戏规则为： 以 0 为起 点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如 图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个 向量，记这两个向量的数量积为 X．若 X=0 就参加学校合唱团，否则 就参加学校排球队． (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求 X 的分布列和数学期望． 2013 年浙江第 19 题 此题的第二问．(本小题满分 14 分)
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设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一 个红球得 1 分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分． (1)当 a=3，b=2，c=1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到 的机会均等)2 个球，记随机变量x为取出此 2 球所得分数之和． ，求x 分布列； (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 η 为取出此球所得分数．若 Eh =
5 5 , Dh = , 求 a：b：c． 3 9
2013 年江苏 填空 7． 现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为
20 63
．
评注：这些题目，人为编造痕迹严重，无论是，问随机取一株作 物求相‘接近’的 概率或年收获量(湖南 18 题)，还是向量与合唱团 (江西 18 题)，都极不自然，很难让人认同．浙江 18 题第二问，已知 均值】方差，倒过来求 a,b,c 的关系也极不自然．而江苏的填空题， 出现的‘病毒’ ，也不知要做什么．
(三) 个别题目有些难
我们看一下安徽 21 题．下面是出题者给出的分析和答案．重点 看第二问． 2013 年安徽理 21．(本小题满分 13 分)
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某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测 试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 n 位学生，每次 活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数)，假设李老师 和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学 生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知 信息的学生人数为 X． (I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m． 分析： (I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学 生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立 事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质 求解； (II)由题意，要先研究随机变量 X 的取值范围，由于 k≤n 故要分 两类 k=n 与 k＜n 进行研究，k=n 时易求，k＜n 时，要研究出同时接 受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表 示出 P(X=m)，再根据其形式研究它取得最大值的整数 m 即可． 解：(I)因为事件 A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B：“学 生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以 A 与 B 相互独立，
k -1 Cn k k 1 由于 P ( A ) = P ( B ) = 故 = , P A = P B = 1 , k Cn n n
( ) ( )
2
2kn - k 2 æ kö 因此学生甲收到活动信息的概率是1 - ç 1 - ÷ = . n2 è nø
(II)当 k=n 时，m 只能取 n，此时有 P(X=m)=P(X=n)=1
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