转化思想论文

数学转化思想

【摘要】

数学思想方法是数学的精髓，转化思想方法又是数学思想的核心和精髓。新课标下初高中数学衔接上呈现高中数学“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生学习不适应现象突出，困难重重，师生更迫切强化数学思想方法，重视思想方法的教学与应用，本文正试图从转化思想的内涵与原则角度出发，探究转化思想的应用性。

【关键词】转化思想方法；应用

转化思想方法在高中数学中有着很重要的地位和作用，它是数学思想的核心和精髓。何为数学转化思想，布卢姆在《教育目标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，它可以从语言描述向图形表示转化，或从语言表达向符号形式的转化，或是每一种情况反过的转化。这种数学转化包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。从哲学上来看，转化化归是用运动、变化、联系、发展的观点来看问题；从思想结构上看，首先必须对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论形成深刻的认识，当遇到生疏或复杂的问题时，通过寻找该问题与基本问题的关系，“化生为熟、化繁为简、化未知为已知、化抽象为具体”来解决问题。其基本原则有熟悉化、简单化、和谐化、正难则反原则。新课标下初高中数学衔接上呈现高中数学“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生学习不适应现象突出，师生更迫切强化数学思想方法，重视思想方法的教学与应用。现本人结合教学实际，浅谈转化思想方法在高中数学解题中的应用。

一、简单化熟悉化原则在三角函数问题中的应用简单化熟

悉化原则是指将复杂的问题化为简单的问题，生疏的问题化为熟

悉的问题来解题。简单化熟悉化原则是数学解题和数学探究中最

常见的方法之一，它需要通过学习积累和熟悉一定的基础知识、

基础技能、基础方法，它既是把握基本题所必需掌握的基本技能

方法，又是分解构造转化数学复杂问题的重要方法。简单化熟悉

化原则特别在三角函数问题中化简、求值、证明中有着很广泛的

应用。

【例 1】(2007 福建卷理科第 14 题) 若直线 3x+4y+m=0 与圆

x=1+cosθ

y=-2+sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数 m 的取值范围是多

少？。

精析与解答：由已知代入整理化简可得 4sin θ+3cos θ=5-m ，由

于两曲线没有公共点，又因为 -5≤4sin θ+3cos θ ≤ 5，

∴5-m ＞5 或 5-m ＜-5，

∴m ＞10 或m ＜0

【例 2】(2008 福建卷理科第 17 题) 已知向量 m=(sinA ，cosA)，

n=(，1)，m ·n=-1 且 A 为锐角。

(Ⅰ)求角 A 的大小。(Ⅱ)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x ∈R)的值

域

评注：例 1 与例 2(Ⅱ)先通过化简，将复杂的问题简单化，

再通过联想转化为熟悉的问题；最终是利用熟悉的

asinx+bcosx= b a 2

2 sin(x+θ)，通过该公式将 asinx+bcosx 转化为单一的三角函数 sin(x+θ)的形式来解题。

二、和谐化直观化原则在不等式的最值问题中的应用和谐化原则

是指转化问题的条件和结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示

和和谐统一的形式。直观化原则是指将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。恩格斯指出“纯数学对象是现实世界的空间形式和数量关系”，解析几何的出现极大促进了数形的结合，可利用代数问题来解决几何问题。在数学中常会遇见数、形、式的相互转化问题，如一出现函数就会联想到它相关的熟悉函数，它的图象如何，所包含的性质有哪些，它们的关系如何等等。如在求解或验证一些不等式或数式的最值问题时，可根据问题的条件、形式、特征来构造熟悉的辅助函数，转化问题的条件和论，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，通过数、形、式的结合转化来求解。

【例1】设A、B、C 为△ABC 的三个内角。求证sinA+sinB+sinC ≤3/2 。

精析与解答：从式子左边容易看出，它们都是同名正弦三

角函数，都在同一个函数y=sinx 的图象上，容易联想到构造函数y =sinx，(0＜x ＜π)使三角形和正弦曲线结合。这样就把抽象的问题转化为具体问题，通过数形结合使题中的数量关系和空间关系更为和谐统一、突出、直观。

(如图)设P(A，sinA)，Q(B，sinB)，R(C，sinC)为函数y =sinx，(0＜x＜π) 图象上的三点，由△PQR 的重心

G (，)即G(，)在其内部，重心G 且在曲线y=sinx，(0＜x＜π) 的下方，利用形的关系得|SG|≤|ST|，即(sinA+sinB+sinC) ≤sin≒3/2，

∴sinA+sinB+sinC≤3/2命题得证。

三、正难则反原则在证明题与概率与排列组合问题中的应用

正难则反原则是指当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求。正难则反问题也是经常会出现的

问题，它可以锻练和提升学生的逆向思维。如证明题的反证法其实就是应用其逆否等价命题来求证，如恒等式中正难则反等价转化问题，如概率与排列组合问题中常会出现至多或至少这样的问题，可以通过比较问题本身与它的对立事件问题的复杂与简单关系来解题。

【例1】甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果三人击中目标的概率都是0.6，计算至少有一人击中的概率。

精析与解答：这个问题从正面分析来看包含三类，一类为一人击中两人未中又有三种情况、一类为二人击中一人未中也有三种情况、一类为三人均中有一种情况共有7 种情况。从正面分析来看比较繁琐，容易遗漏，但从其反面分析来看，其对立事件只有三人均未击中，只有一种情况。根据正难则反原则，所求概率为P=1-P(A·B·C)=1-(1-0.6)(1-0.6)(1-0.6)=0.936

笛卡尔说过：“数学是使人变聪明的一门学科”。数学思想方法是数学的精髓，是数学精神和科学世界观的重要组成部分，转化思想方法又是数学思想的核心和精髓，需要长期培养，经常应用，潜移默化。

总之，本文只是从转化思想的内涵与原则角度出发，从一些具体例子体现了转化思想方法的转化原则及其应用，这些原则方法是相互联系，组合应用的，并不孤立。至于如何培养和应用具体的转化思想方法，如数形结合法、构造转化法、等价转化法、映射关系反演方法、整体思维法等等，帮助学生走出转化困境，还有许多具体工作要在平常的教学实践中落实，需要数学教育工作者的共同努力。

参考文献：

［1］唐烨，孙大为. 高考状元易错题宝典. 机械工业出版社，2005.

［2］郑毓信.数学方法论.广西教育出版社，1999.

［3］2008 福建卷理科卷

［4］2007 福建卷理科卷

［5］《论数学史与高中数学教学》,科学教育,2006.1