2020-2021北京汇文中学初二数学上期末第一次模拟试卷及答案

2020-2021北京汇文中学初二数学上期末第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1. 下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（
） A . 2个正八边形和1个正三角形
B . 3个正方形和2个正三角形 C. 1个正五边形和1个正十边形 D . 2个正六边形和2个正三角形
2. 如图所示，小兰用尺规作图作 △ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：
① 分别以点DE 为圆心，大于DE 的一半长为半径作弧两弧交于
F ;
② 作射线BF ，交边AC 于点H ;
③ 以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线 AC 于点D 和E ；
④ 取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；
所以BH 就是所求作的高•其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A .①②③④
B .④③①② C.②④③① D .④③②① 3. 通过计算几
何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（
）
图】
图2 2 2 A . (a b)(a b) a b
2 2 2
B . (a b) a 2ab b 2 C. 2a(a b) 2a 2ab
D . (a b)2 a 2 2ab b 2
4.
甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修
10 m ,设
甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
30 °那么这个正多边形的边数是（ ） C. 12 D . 18
6.如图①，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为
b （b<a ）的小正方形，把剩下部分拼成一 个梯形（如图②），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是
120
A. - 100 120 100 120 100 x 10 B . x
x 10 C. x 120 100 D . x 10 x 5.如果一个正多边形的一个外角为 A . 6 B . 11
A. a2+ b2= (a+ b)(a- b)
B. (a —b)2= a2-2ab+ b2
c. (a + b)2= a 2 + 2ab + b 2
D . a 2- b 2= (a + b)(a — b)
7.下列各式中不能用平方差公式计算的是(
) A . (2x y) x 2y
B .
( 2x y) 2x y C. ( x 2y) x 2y D . (2x y) 2x y
&若实数m 、n 满足|m 2 . n 4 0,且m 、n 恰好是等腰 △ABC 的两条边的边长，则
A A 6A |3E|( \
△ABC 的周长是 ()
A . 12
B . 10 C. 8 或 10 D . 6 9.如果x 2+ax+1是一个完全平方公式，那么 a 的值是()
A. 2
B.— 2
C. ± 2
D. ±1 3 x a 2 x 1 10
. 若数a 使关于x 的不等式组 1 x 有解且所有解都是 2x+6 > 0的解，且
2 x 2
使关于y 的分式方程 y 5 ° +3= a 有整数解，则满足条件的所有整数 a 的个数是
1 y y 1 ( )
A . 5
B . 4
C. 3
D. 2 11.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形
•下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的
是() 礼迎全运
(A)
1
12.已知 x+ =6,
x
14. 分解因式：3a 3 27a ________________ .
15. _____________________ 分解因式：2a 2 - 8 = .
16. 如图，BP 是厶ABC 中/ABC 的平分线，CP 是/ ACB 的外角的平分线，如果
/ ABP=20。

，/ ACP=50 °，则/ P= ___________ ° .
(C) A . A B . B c. C D .
A . 38 二、填空题
B . 36 C. 34 D . 32
x m
13.若关于x 的分式方程—
x 2
2m 2 x 3的解为正实数，则实数 m 的取值范围是
BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段
BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为_____________________________________ 厘米/秒时，能够在某一时刻使ABPD与△CQP全等.
2x a 1
18.若关于x的分式方程_____________________________ 丄的解为非负数，贝y a的取值范围是.
x 2 2
19. ___________________________ 分解因式：x3y - 2x1 2y+xy= .
20.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道.铺设120 m后，为了
尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30
天完成这一任务.求原计划每天铺设管道的长度.如果设原计划每天铺设x管道，那么根
据题意，可得方程________________________ .
三、解答题
21.如图，VABC是等腰三角形，A B AC，点D是AB上一点，过点D 作DE BC 交BC于点E ,交CA延长线于点F .
1 证明：VADF是等腰三角形；
2 若B 60 , BD 4 , AD 2，求EC 的长.
22.为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路
进行了改造，铺设草油路面.铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效
率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务.
(1)求原计划每天铺设路面多少米；
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23.如图所示，在△ ABC 中，D是BC边上一点/ 1 = 7 2,/ 3 =Z 4,Z BAC= 69°，求
/ DAC的度数.
每小时分别搬运多少袋大米.
25.解下列分式方程
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1 . D
解析：D
【解析】
【分析】
只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角之和等于 360°即可。

【详解】
A. 2个正八边形和1个正三角形： 135 ° +135 ° +60 ° =330 °，故不符合；
B. 3个正方形和 2个正三角形： 90 ° +90 ° +90 ° +60 ° +60 ° =390 °，故不符合;
C. 1个正五边形和1个正十边形：108 ° +144 ° =252 °，故不符合；
D. 2个正六边形和 2个正三角形：
120 ° +120 ° +60 ° +60 ° =360 °，符合；
故选D.
【点睛】
本题考查多边形的内角，熟练掌握多边形的内角的度数是解题关键 2. B
解析：B
【解析】
【分析】
根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作
BH 丄AC 即可.
【详解】
用尺规作图作 △ABC 边AC 上的高BH ，做法如下：
④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；
③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线 AC 于点D 和E ； A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运 20袋大米，A
700袋大米与B 型机器人搬运 500袋大米所用时间相等•求 A 、B 型机器人 2
3x3 ⑴厂77产 3 2x 2
型机器人搬运
①分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧两弧交于F ；
②作射线BF，交边AC于点H；
故选B.
【点睛】
考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法.
3. A
解析：A
【解析】
【分析】
根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答.
【详解】
图1中阴影部分的面积为：a2b2,
图2中的面积为：(a b)(a b),
2 2
则(a b)(a b) a b
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积. 4. A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
甲队每天修路xm，则乙队每天修(x- 10) m,因为甲、乙两队所用的天数相同,
120 所以，
x
100 x 10.
故选A.
5. C
解析：C
【解析】
试题分析：这个正多边形的边数：360。

+ 30=12，故选C. 考点：多边形内角与外角.
6. D
解析：D
【解析】
【分析】
1
根据左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是一(2a+2b)( a-b) = (a+b)
2
(a-b),利用面积相等即可解答.
【详解】
1
•••左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是丄(2a+2b)( a-b) = (a+b)( a-
2
b),
二a2-b2= (a+b)( a-b).
故选D .
【点睛】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关
键.
7.A
解析：A
【解析】
【分析】
根据公式(a+b)( a-b) =a2-b2的左边的形式，判断能否使用.
【详解】
解：A、由于两个括号中含x、y项的系数不相等，故不能使用平方差公式，故此选项正
确；
B、两个括号中，含y项的符号相同，1的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错
误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，故此选项错
误；
D、两个括号中，y相同，含2x的项的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式•注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公
式.
8.B
解析：B
【解析】
【分析】
根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2,再由三角形周长公式计算即可. 【详解】
由题意得：m-2=0，n-4=0，•. m=2，n=4，
又T m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2,底为4,此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4底为2,则周长为：4+4+2=10 ,
故选B.
【点睛】
本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解
题的关键•
9. C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据完全平方公式可得：a=±2X1=+2.
考点：完全平方公式.
10.D
解析：D
【解析】
【分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可.
【详解】
x a 1
不等式组整理得：
x 3
由不等式组有解且都是
2x+6 >0, 即卩x>-3 的解，得到-3 v a-1 <3,
即-2 v a<4 即a=-1, 0, 1, 2, 3, 4,
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y= —2
, 2
由分式方程有整数解，得到—=0, 2,共2个，
故选：D.
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
11.C
解析：C
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的定义可知，只有选项C是轴对称图形，故选C.
12.C
解析：C
【解析】
1
【分析】把X+—=6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求. x
1
1 1 【详解】把X+ — =6两边平方得：（x+ — ） 2=x 2+飞+2=36 , X
X X 1
则 X 2+ -2 =34，
X
故选：C .
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本
题的关键.
二、填空题
13. mK6且m#2【解析】【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程根据题 意列出不等式解不等式即可【详解】方程两边同乘（X-2 ）得x+m-2m=3x-6解得 x=由题意得〉0解得mK6v# 2二m #2二nK 6
解析：mK 6且m # 2.
【解析】
【分析】
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可.
【详解】
x m 2m 小
3 ,
x 2 2 x 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6 , 解得，x=6-m
,
2
由题意得，6-m
>0,
2 解得，mv 6,
m#2,
/• m v 6 且 m# 2.
【点睛】 要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点. 6-m
2 #2
1
14.【解析】【分析】先提取公因式然后根据平方差公式进行分解即可【详解】解：故答案为【点睛】本题考查了提取公因式平方差公式法分解因式属于
基础题
解析：3a a 3 a 3
【解析】
【分析】
先提取公因式，然后根据平方差公式进行分解即可.
【详解】
32
解：3a327a 3a a29 3a a 3 a 3
故答案为3a a 3 a 3 .
【点睛】
本题考查了提取公因式、平方差公式法分解因式，属于基础题．
15. 2 (a+2)( a-2)【解析】【分析】先提取公因式2再利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2- 8 = 2 (a2 - 4)= 2 (a+2)( a-2)故答案为：2
(a+2)( a- 2)【点睛】本题考查了因式分解一
解析：2( a+2)( a- 2)
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解.
【详解】
解：2a2-8
=2(a2-4)，
=2(a+2)( a-2).
故答案为：2(a+2)( a-2).
【点睛】本题考查了因式分解，一般是一提二套，先考虑能否提公式式，再考虑能不能用平方差公式和完全平方公式继续分解，注意要分解彻底.
16.30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得/ PBC=20/ PCM=50根据三角形外角性质即可求出/ P的度数【详解】T BP是Z ABC的平分线CP是Z ACM的平分线/ ABP=20Z ACP=50.°
解析：30
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得Z PBC=20 , Z PCM=50，根据三角形外角性质即可求出Z P的度数.
【详解】
•/ BP 是Z ABC 的平分线，CP是Z ACM 的平分线，Z ABP=20 , Z ACP=50 ,
•••Z PBC=20 , Z PCM=50 ,
•••Z PBC+ Z P=Z PCM ,
•Z P=Z PCM- Z P B C=50°-20 °=30° ，
故答案为：30
【点睛】
本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角
的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.
17. 4或6【解析】【分析】求出BD根据全等得出要使△ BPDW^ CQP全等必须B D=CP或BP=CP> 出方程12=16-4)或4x=16-
4x求出方程的解即可【详解】设经过x秒后使△ BPDW^ CQP全等：
解析：4或6
【解析】
【分析】
求出BD，根据全等得出要使△ BPD与厶CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，得出方程
12=16-4x或4x=16-4x，求出方程的解即可.
【详解】
设经过x秒后，使△ BPD与厶CQP全等，
••• AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
••• BD=12 厘米，
•••/ ABC= / ACB ,
•••要使△ BPD与厶CQP全等，必须BD=CP或BP=CP ,
即12=16-4x 或4x=16-4x ,
x=1 , x=2,
x=1 时，BP=CQ=4 , 4十1=4; x=2 时，BD=CQ=12 , 12 -2=6 ；即点Q的运动速度是4或6, 故答案为：4或6
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程.
18 .且【解析】分式方程去分母得：2 (2x-a ) =x-2去括号移项合并得: 3x=2a-2解得：•••分式方程的解为非负数.••且解得：a》l且a^4
解析：a 1且a 2
【解析】
分式方程去分母得：2 (2x-a) =x-2,
去括号移项合并得：3x=2a-2,
解得：
2a 2 x
•••分式方程的解为非负数,
• 2a 2 0且亘二2 0,
3 3
解得：a> 1且a丰4.
19.xy (x- 1) 2【解析】【分析】原式提取公因式再利用完全平方公式分解即可【详解】解：原式=xy (x2-2x+1) =xy (x-1) 2故答案为：xy (x-
1) 2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合
解析：xy (x - 1) 2
【解析】
【分析】 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
解：原式=xy (x 2-2x+1 ) =xy (x-1) 2.
故答案为：xy (x-1) 2
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
20. 【解析】 据题意得
三、解答题 21. (1)见详解 【解析】
【分析】
(1) 由 AB=AC , 然后余角的性质可推出/
F= / BDE ，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出 / F= / FDA ，于是得到结论；
(2) 根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论.
【详解】
证明：(1)v AB=AC
•••/ B= / C,
•/ FE 丄 BC ,
•••/ F+ / C=90。

，/ BDE+ / B=90 ° ,
•••/ F= / BDE ,
又•••/ BDE= / FDA ,
•••/ F= / FDA ,
• AF=AD ,
•••△ ADF 是等腰三角形;
(2)••• DE 丄 BC ,
•••/ DEB=90 ° , 因为原计划每天铺设xm 管道所以后来的工作效率为(1+20)
x 根 120 x 解析： 300 吨 30
x
20% 180
1.230)
【解析】
因为原计划每天铺设 xm 管道，所以后来的工作效率为(1+20%) x
根据题意，得120 x
竺迴30.
(1 20%) x
(2) 4
可知/ B= / C ,再由 DE 丄 BC ，可知/ F+ / C=90，/ BDE+ / B=90 ,
•••/ B=60 ° ,BD=4 ,
1
•BE= BD=2
2
•/ AB=AC
•△ ABC是等边三角形，
••• BC=AB=AD+BD=6 ,
•EC=BC-BE=4
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等，根据余角性质求得相等的角是解题关键.
22.(1) 80;( 2) 21900.
【解析】
【分析】
(1 )设原计划每天铺设路面X米，则提高工作效率后每天完成(1+25%) x米，根据等量关系“利用原计划的速度铺设400米所用的时间+提高工作效率后铺设剩余的道路所用的
时间=13”，列出方程，解方程即可；
(2 )先求得利用原计划的速度铺设400米所用的时间和提高工作效率后铺设剩余的道路所
用的时间，根据题意再计算总工资即可•
【详解】
(1 )设原计划每天铺设路面X米，根据题意可得：
400 1200 400 “
13
x 1 25% x
解得：x 80
检验：x 80是原方程的解且符合题意，• x 80
答：原计划每天铺设路面80米.
原来工作400^0 = 5 (天).
(2)后来工作1200 400 80 1 20% 8 (天).
共支付工人工资：1500X5+1500X (1+20%) 0=21900 (元)
答：共支付工人工资21900元.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系，由等量关系列出方程是解决本题的关键.
23.32°
【解析】
【分析】
设/仁/ 2=x，根据三角形外角的性质可得/ 4= / 3=2x，在△ ABC中，根据三角形的内角和定理可得方程2x+x+69°=180。

，解方程求得x的值，即可求得/ 4、/ 3的度数，在
△ ADC中，根据三角形的内角和定理求得/ DAC的度数即可•
【详解】
设/仁/ 2=x
•••/ 4= / 3=/ 1+ / 2=2x,
在厶ABC 中，/ 4+ / 2+ / BAC=180 ,
•2x+x+69° =180°
解得x=37.
即/ 1 = / 2=37° / 4= / 3=37° X2=74° .
在厶ADC 中，/ 4+/ 3+ / DAC=180
•/ DAC=180o-/ 4-/ 3=180° -74 °-74 °=32Q
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和定理及三角形
外角的性质是解题的关键•
24.A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋.
【解析】
【分析】
工作效率：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（X- 20）袋；工作量：A型机器人搬运700袋大米，B型机器人搬运500袋大米；工作时间就可以表示为：A型机器人所用时间=型,B型机器人所用
时间=空，由所用时间相等，建立等
x x-20
【详解】
设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x-20）袋，
700 500
依题意得：=—
x x-20
解这个方程得：x=70
经检验x=70是方程的解，所以x - 20=50 .
答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋. 考点：分式方程的应用.
25.（1）无解•（2）x=-
6
【解析】
【分析】
各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解.
【详解】
2 3 x 3
（1） 2
' 丿X 1 x 1 x21
去分母得，2 (x+1 ) -3(x-1)=x+3 , 解方程，得，x=1 ,
经检验，x=1是原方程的增根，原方程无解
3
2x 2
去分母得，2x=3-2(2x-2) 解方程得，x= 7
,
6
经检验，x= 7
是原方程的解•6
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是程求解•解分
式方程一定注意要验根.
转化思想”，把分式方程转化为整式方。