高考数学第九章 平面解析几何第9课时 抛 物 线

第九章 平面解析几何第9课时 抛 物 线

1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．

答案：x 2

＝－12y

解析：∵ p 2＝3，∴ p ＝6，∴ x 2

＝－12y.

2. 抛物线y 2

＝－8x 的准线方程是________． 答案：x ＝2

解析：∵ 2p＝8，

∴ p ＝4，故所求准线方程为x ＝2.

3. 抛物线y ＝ax 2

的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．

答案：－1

8

解析：抛物线的标准方程为x 2

＝1a y.则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.

4. (选修11P 44习题2改编)抛物线y 2

＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝________．

答案：2

解析：∵ 2p＝4，∴ p ＝2，准线方程x ＝－1.由抛物线定义可知，点M 到准线的距离为3，则x ＋1＝3，即x ＝2.

5. 已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2

＝ax(a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．

答案：y 2

＝8x

解析：依题意得，OF ＝a 4，又直线l 的斜率为2

，可知AO ＝2OF ＝a

2

，△AOF 的面积等于

12²AO ²OF ＝a 2

16

＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2

＝8x.

1. 抛物线的定义

平面内到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)

题型1 求抛物线的基本量

例1 抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．

答案：4

解析：由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.

备选变式（教师专享）

抛物线y 2

＝－8x 的准线方程是________． 答案：x ＝2

解析：∵2p＝8，∴p ＝4，准线方程为x ＝2. 题型2 求抛物线的方程

例2 (选修11P 44习题5改编)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x －y －4＝0上，求抛物线的标准方程．

解：直线2x －y －4＝0与x 轴的交点是(2，0)，与y 轴的交点是(0，－4)．由于抛物线

的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则①若抛物线焦点在x 轴上，则抛物线的标准方程是y

2

＝8x ；②若抛物线焦点在y 轴上，则抛物线的标准方程是x 2

＝－16y ；故所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2

＝－16y.

变式训练

已知Rt△AOB 的三个顶点都在抛物线y 2

＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．

解：∵ OA⊥OB，且OA 所在直线的方程为y ＝3x ，OB 所在直线的方程为y ＝－3

3

x ，

由⎩⎨⎧y 2

＝2px ，y ＝3x ，

得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 3，23p 3，

由⎩

⎪⎨⎪⎧y 2

＝2px ，

y ＝－33x ，得B 点坐标为(6p ，－23p)，

∴ OA ＝4

3

|p|，OB ＝43|p|，

又S △OAB ＝833p 2＝63，∴ p ＝±3

2

.

∴ 该抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2

＝－3x. 题型3 抛物线的几何性质探究

例3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上．

(1) 求抛物线C 的标准方程；

(2) 求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

(3) 设过点M(m ，0)(m>0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m 的表达式．

解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2

＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C 上，

所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2

＝2x.

(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －1

2

＝0.

(3)(解法1)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k(x －m)，k ≠0.

将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2

－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2

k

.

由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2

＝4m

.

因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2

＝94(m 2＋4m)，所以f(m)＝32

m 2

＋4m(m>0)．

(解法2)设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫s 22，s ，E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 22，t . 由点M(m ，0)及ME →＝2DM →，得12t 2－m ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫m －s 22，t －0＝2(0－s)．因此t ＝－2s ，m ＝s 2

.

所以f(m)＝DE ＝

⎝

⎛⎭⎪⎫2s 2－s 2

22

＋（－2s －s ）2＝32m 2＋4m(m>0)．

备选变式（教师专享）

抛物线y 2

＝2px 的准线方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆，

(1) 求定点N 的坐标；

(2) 是否存在一条直线l 同时满足下列条件：

① l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 中点为E(4，1)； ② l 被圆N 截得的弦长为2.

解：(1) 因为抛物线y 2

＝2px 的准线方程为x ＝－2.所以p ＝4，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为(2，0)．

(2) 假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在，设l 的方程为y －1＝k(x －4)，k ≠±1.以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆N 的半径为 2.因为l

被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d ＝|2k －1|1＋k 2

＝1，解得k ＝0或4

3，当k ＝0时，显然不合AB 中点为E(4，1)的条件，矛盾， 当k ＝4

3

时，l 的方程为4x －3y －

13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝x ，解得点A 的坐标为(13，13)；由⎩

⎪⎨⎪

⎧4x －3y －13＝0y ＝－x ，解得点B 的

坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13

7

，－137.显然AB 中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l.

1. 抛物线y ＝－x 2

上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．

答案：43

解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2

)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为