带电粒子在磁场中运动的多解问题

m qB 4m qB 3m qB m qB 2 带电粒子在磁场中运动的多解问题

1. 带电粒子电性不确定形成多解

例. 如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy 平面的匀强

磁场，磁感应强度为B 。质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xOy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度v 0与x

轴夹角θ= 600 ，试分析计算：

（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发

生的偏转角多大？

（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？

分析：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动, 圆心为O 1, 粒子向x 轴偏转, 并从A 点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O 2 ，粒子向y 轴偏转，并从B 点离开磁场 不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为 如右图示, 有

带电粒子沿半径为R 的圆周运动一周所用的时间为

解：（1）若粒子带负电，它将从x 轴上A 点离开磁场，运

动方向发生的偏转角θ1=120°

A 点与O 点相距：

若粒子带正电，它将从y 轴上B 点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ2=60° B 点与O 点相距：

（2）若粒子带负电，它从O 到A 所用的时间为

若粒子带正电，它从O 到B 所用的时间为

2. 磁场方向不确定形成多解

例. 一质量为m ，电量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ） A.

分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。

当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知

Bq mv R 0=B O A O R O O O O 2121====Bq

m v R T ππ220==Bq mv R x 033==Bq mv R y 0==Bq m T t 3236011πθ=⋅︒=Bq m

T t 33602

2πθ=⋅︒=

R v m Bqv 24= 此种情况下,负电荷运动的角速度为

当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，

此种情况下,负电荷运动的角速度为

应选A 、C 。

3. 临界状态不惟一形成多解

例1. 如图甲所示，A 、B 为一对平行板，板长为l ，两

板距离为d ，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度

大小为B ，方向垂直纸面向里，一个质量为m ，带电量

为+q 的带电粒子以初速v 0，从A 、B 两板的中间，沿垂

直于磁感线的方向射入磁场。求v 0在什么范围内，粒

子能从磁场内射出？

分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。

要想使粒子能射出磁场区，半径r 必须小于d /4（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。

（1）当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大, 则其圆心为图中O 1点, 半径 r 1=d /4

因此粒子从左边射出必须满足r ≤r 1

有 即

（2）当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O 2点，半径为r 2。 由几何关系可得

因此粒子从右边射出必须满足的条件是r ≥r 2

即 所以当 或

粒子可以从磁场内射出。

m

BqR v 4=m Bq R v 4==ωR v m Bqv 22=m BqR v 2=m

Bq R v 2==ωqB mv r 0=m rBq v =0m Bdq v 40≤d

l d r l d r r 2

22222242+=+-=，）（dm qB )l d (v 44220+≥m Bdq v 40≤dm qB )l d (v 44220+≥

eB mv a eB mv 002<

v m eBv 200=eB mv r 0=0mv eBL r L sin ==θ例2.如图所示，现有一质量为m 、电量为e 的电子从y 轴上的P

（0，a ）点以初速度v 0平行于x 轴射出，为了使电子能够经过x

轴上的Q （b ，0）点，可在y 轴右侧加一垂直于xOy 平面向里、

宽度为L 的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，该磁场左、右边界

与y 轴平行,上、下足够宽（图中未画出）.已知L ＜b 。求磁场的左边界距坐标原点的可能距离．

（结果可用反三角函数表示）

解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r , 则

⑴当r>L 时，磁场区域及电子运动轨迹如图1，

由几何关系有

则磁场左边界距坐标原点的距离为

⑵当r < L 时，磁场区域及电子运动轨迹如图2，

由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为

解得

例3.一带正电的滑环，带电量为q ，质量为m ，套在粗糙的足够长的绝缘杆上，杆呈水平状态固定不动，整个装置处在磁感应强度为B ，方向如图示的匀强磁场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量I ，使其沿杆运动起来。若环与杆之间的动摩擦因数为μ，则滑环在运动过程中克服摩擦力做的功 （ ）

A. 可能为I 2/2m

B. 可能大于I 2/2m

C. 可能为0

D. 可能处在0和I 2/2m 之间

解：

若qv 0B ＝mg 则f =0

滑环以v 0作匀速运动，Wf =0

若qv 0B

滑环作减速运动，一直减速到0，

Wf =1/2mv 0^2 - 0 ＝I^2/2m

θθcot )]cos (r a [L b x ----=11θθcot )]cos (eB mv a [L b x ----=∴1010

mv eBL arcsin =θ2022a eB

a mv

b x --

=222)a r (r b x ---=