建筑结构抗震设计第三章振型分解反应谱法
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振型分解反应谱法是在振型分解法的基础上，结合运 用单自由度体系反应谱理论得出的一种计算方法。 一、基本方法简介 二、简化计算步骤 1、振型的最大地震作用 2．振型组合和地震作用效应组合
2016/12/7
结构抗震设计
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一、基本方法简介
多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是质点 （t） t） （t） m x x （ 所受的惯性力，故质点i上的地震作用为 ：F （ x 式中 mi——质点i的质量； ——地面运动加速度； g t） i t） x （ ——质点i的相对加速度。 根据振型分解法， （t）X t） x （ 这样， n n （ F ji F （ mi j X ji x （ i t） g t） j t） j 1 j 1
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第三章重点、难点和基本要求
重点和难点： 1、重要术语、概念、定义 2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算 3、底部剪力法 4、结构抗震验算 基本要求： 掌握结构抗震验算基本方法
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§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 ----振型分解反应谱法
≤ 0.35
T1>1.4Tg
0.08 T1+0.07
T1 ≤1.4Tg
0 0 0
< 0.3～0.55
> 0.55
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0.08 T1+0.01
0.08 T1—0.02
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2）、T1>1.4Tg 时各质点水平地震作用
《抗震规范》规定，当结构基本周期T1>1．4Tg时， 将结构总地震作用的一部分作为集中力△Fn作用于结 构顶部， 顶部附加的水平地震作用可取为：△Fn=δnFEk ； 再将余下的部分(1一δn) FEk按质点进行分配。 在考虑顶部附加水平地震作用影响，调整后，各质点 水平地震作用可表示为 G H F （ 1 - ）F F 1、顶点的水平地震作用为： H G
FEk F j 1 1H j G j 1 1 H j G j
j 1 j 1
n
而质点i的水平地震作用标准值
j 1
Fi
H i Gi
H G
j 1 j
FEk
j
Gi、Gj——分别为集中于质点i、j的重力荷载代表值； Hi、Hj——分别为质点i、j的计算高度。
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i i g i
n
i
j 1
j
Biblioteka Baidu
j
ji
其中
（t） （t） 为与j振型相应振子的绝对加速度。 x
g j
F（ 为作用在第j振型质点i上的水平地震作用。 ji t）
根据上式可以作出随时间变化的曲线，以求出供设计 用的最大地震作用。但计算太繁，一般采用简化方法。
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n n n n n Ek n Ek j 1 j j
2、其余各质点的水平地震作用为
Fi ：
Gi H i
H
j 1
n
（ 1 - n）FEk
j
Gj
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3）、鞭端效应
震害表明，局部突出屋面的小建筑如电梯机房、水箱间、女儿墙、 烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由于出屋面的这些 建筑的质量和刚度突然变小，地震反应随之急剧增大的缘故。这种 现象在地震工程中称为“鞭端效应”。这类小建筑地震反应强烈的 程度取决于其与下面主体建筑物的质量比与刚度比，以及场地条件。 为了简化计算，《抗震规范》提出，当房屋屋面有局部突出的小屋 时，可将小屋上半部分的质量集中于其顶面，成为一个质点，用底 部剪力法计算结构各质点的水平地震作用。但当计算这小屋的地震 作用效应时，宜乘以增大系数 3，但增大部分不应往下传递（计算 以下各层地震剪力时不考虑 ）。 当房屋顶部有突出屋面的小屋时，上述附加的集中水平地震作用 △Fn应置于主体房屋的顶层而不应置于小屋的顶部，主体房屋顶层 处质点的地震作用按调整后 (考虑δn影响)的顶点计算。小屋顶部处 质点的地震作用按调整后的一般质点计算后，再乘以增大系数3 。
g
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j
（t） （ x g t） j
max
2．振型组合
由式 Fji j j X jiGi 可求得某一振型各质点的 最大水平地震作用Fji (i=，1，2，…，n)，再 按照一般结构力学方法可求得结构对应于该振 型的最大地震作用效应Sj (Fji → Sj ) 。 （t） （t） F （t） m X x 根据 F 结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振 型地震作用之和。但是，各振型的地震作用 (从而相应的地震作用效应)不会同时达到最大 值。 如何组合各振型的最大地震作用效应，合 理地确定结构总的地震作用效应？
2、结构底部剪力的计算（ FEk ） 3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ） 4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ） 二、时程分析法
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一、底部剪力法
按振型分解反应谱法计算房屋结构的水平地震作用 时，运算过程较繁。为了简化计算，《抗震规范》规定， 当房屋结构满足下列条件时，可采用近似计算法---底部剪力法： (1)房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； (2)房屋的总高度不超过40m； (3) 房屋结构在地震作用时的变形以剪切变形为主 ( 房屋 高宽比小于4时)； (4)房屋结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。 满足上述条件的结构，在水平地震作用下振动时，其位 移反应通常以基本振型为主，且基本振型近似于直线。
5
二、简化计算步骤
利用单自由度体系的设计反应谱，按 先求出对应于每一振型各质点的最大水平地震作用 ( 同 时达到最大值 ) 及相应的地震作用效应，然后对这些效 应进行振型组合，以求得结构的最大地震作用效应。 具体步骤如下：
j 1
（t） F （ F （ mi j X ji x i t） g t） j
n
n
令
j
（t） （ x g t） j g
max
， Gi mi g
则 Fji j j X jiGi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)为 为对应于j 振型i 质点水平地震作用标准值计算公式
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j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
S S
必须注意，不能先将各振型的地震作用Fji采用“平 方和开方”法进行组合，求出总的地震作用，再求地 震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负， 经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作 用效应。
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§3-6 底部剪力法和时程分析法
一、底部剪力法 1、底部剪力法示意图
1、结构底部剪力的计算 根据静力平衡条件，相应于j振型的结构底部剪力应等 于j振型下结构的总水平地震作用，即应等于j振型各 质点水平地震作用Fji之和。故由式 Fji j j X jiGi 可得j振型下结构底部剪力标准值：
V j 0 F ji j j X ji F ji Gi 1G
Fji j j X jiGi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)
为对应于j振型i质点水平地震作用标准值计算公式。 式中： Fji—j 振型i质点的水平地震作用标准值； rj—j 振型的振型参与系数；Xji—j 振型i质点的振型位移 幅值；Gi—集中于i质点的重力荷载代表值； αj—相应于j 振型自振周期Tj 的地震影响系数。 是第 j 振型对应的振子 ( 单质点体系 ) 的最 大绝对加速度与重力加速度之比，故αj是相应第j 振型的 地震影响系数，而这时的自振周期为与第 j 振型相对应 的振子的周期Tj，即为第j 振型的自振周期。
4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ）
1）、顶部附加地震作用系数δn 当结构基本周期较长，特征周期Tg较小时，由于高阶振型的影响 增大，且主要影响在结构上部，按质点i的水平地震作用标准值计 算式计算时，结构顶部的地震剪力偏小，故须按顶部附加地震作 用系数δn进行调整。 顶部附加地震作用系数δn
Tg(s)
j 1
n
n
ji
1、振型的最大地震作用
由 ，作用在第j 振型第i质点上的 （t） （ mi j X ji x t） ji t） g j 地震作用绝对最大值Fji为： F ji F（ max max
j 1 j 1 ji
（t） F （ F （ mi j X ji x i t） g t） j
FE k
V
j 1
n
2 j0
n j Gi 1G X j ji G 1G j 1 i 1 1
n
2
或： FE k 1Geq 式中，FEk----结构总水平地震作用标准值，即结构底 部剪力标准值； 1 ----相应于结构基本周期的水平地震影响系数， G G ----结构等效总重力荷载代表值 ξ ----为高振型影响系数，也称等效重力荷载系数， 即把多质点体系视为等效的单质点体系时的转换系数。 对单质点体系，ξ＝1；如为无穷多质点体系，ξ＝ 0.75；对单质点体系，即ξ＝0.85
第三章 地震作用和结构抗震验算
一、课程内容 二、重点、难点和基本要求
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结构抗震设计
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第三章 课程内容
§3-1 概述 §3-2 单自由度弹性体系的地震反应 §3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法 §3-4 多自由度弹性体系的地震反应 §3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法 §3-6 底部剪力法和时程分析法 §3-7 水平地震作用下的扭转效应 §3-8 结构的竖向地震作用 §3-9 结构自振周期的近似计算 §3-10 地震作用计算的一般规定 §3-11 结构抗震验算
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1、底部剪力法示意图
底部剪力法是先 计算出作用于结 构的总水平地震 作用，也就是作 用于结构底部的 剪力，然后将总 水平地震作用按 一定的规律分配 给各质点。 关键是求出FEK、 Fi、△Fn
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2、结构底部剪力的计算（ FEk ）
i 1 i 1 n n
j G j X ji i G i 1 1
n
——结构总重力荷载代表值， Gi ----为i质点重力荷载代表值； α1---相应于结构基本周期的水平地震影响系数。 （结构底部剪力是一种地震作用效应） 式中
i 1
G Gi
n
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根据“平方和开方”的振型组合原则，结构底部总剪 力的标准值FEk(也就是结构总水平地震作用)应为
n n i i j 1 j ji g j j 1 ji
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地震作用效应组合
根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳随 机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应可近 似地采用“平方和开方”法确定，即 m 2
j 式中 S——结构水平地震作用效应， j 1 Sj——j振型水平地震作用产生的作用效应(弯矩、剪力、 轴力和变形等) m——参与组合的振型的个数，可只取前2～3个振型(因为 高阶振型随着其自振频率ωj的增加，Sj在S中的贡献 迅速减少)，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大 于5时，振型个数可适当增加。
n eq i 1 i
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3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ）
由于结构在水平地震作用下的位移反应以基本振型为 主，故各质点的水平地震作用Fi近似取等于Fi1(对应于 基本振型的各质点水平地震作用)，则由 Fji j j X jiGi 得到： Fi=F1i=α1γ1X1iGi 而且，基本振型近似为直线，故质点的水平相对位移 幅值 X1i，与质点的计算高度 Hi 成正比，即 X1i=ηHi， 其中η为比例常数。 于是上式可写为：Fi=F1i=α1γ1ηHi Gi 则结构总水平地震作用可表示为： n n n
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一、基本方法简介
多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是质点 （t） t） （t） m x x （ 所受的惯性力，故质点i上的地震作用为 ：F （ x 式中 mi——质点i的质量； ——地面运动加速度； g t） i t） x （ ——质点i的相对加速度。 根据振型分解法， （t）X t） x （ 这样， n n （ F ji F （ mi j X ji x （ i t） g t） j t） j 1 j 1
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第三章重点、难点和基本要求
重点和难点： 1、重要术语、概念、定义 2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算 3、底部剪力法 4、结构抗震验算 基本要求： 掌握结构抗震验算基本方法
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§3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 ----振型分解反应谱法
≤ 0.35
T1>1.4Tg
0.08 T1+0.07
T1 ≤1.4Tg
0 0 0
< 0.3～0.55
> 0.55
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2）、T1>1.4Tg 时各质点水平地震作用
《抗震规范》规定，当结构基本周期T1>1．4Tg时， 将结构总地震作用的一部分作为集中力△Fn作用于结 构顶部， 顶部附加的水平地震作用可取为：△Fn=δnFEk ； 再将余下的部分(1一δn) FEk按质点进行分配。 在考虑顶部附加水平地震作用影响，调整后，各质点 水平地震作用可表示为 G H F （ 1 - ）F F 1、顶点的水平地震作用为： H G
FEk F j 1 1H j G j 1 1 H j G j
j 1 j 1
n
而质点i的水平地震作用标准值
j 1
Fi
H i Gi
H G
j 1 j
FEk
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Gi、Gj——分别为集中于质点i、j的重力荷载代表值； Hi、Hj——分别为质点i、j的计算高度。
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其中
（t） （t） 为与j振型相应振子的绝对加速度。 x
g j
F（ 为作用在第j振型质点i上的水平地震作用。 ji t）
根据上式可以作出随时间变化的曲线，以求出供设计 用的最大地震作用。但计算太繁，一般采用简化方法。
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n n n n n Ek n Ek j 1 j j
2、其余各质点的水平地震作用为
Fi ：
Gi H i
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（ 1 - n）FEk
j
Gj
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3）、鞭端效应
震害表明，局部突出屋面的小建筑如电梯机房、水箱间、女儿墙、 烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由于出屋面的这些 建筑的质量和刚度突然变小，地震反应随之急剧增大的缘故。这种 现象在地震工程中称为“鞭端效应”。这类小建筑地震反应强烈的 程度取决于其与下面主体建筑物的质量比与刚度比，以及场地条件。 为了简化计算，《抗震规范》提出，当房屋屋面有局部突出的小屋 时，可将小屋上半部分的质量集中于其顶面，成为一个质点，用底 部剪力法计算结构各质点的水平地震作用。但当计算这小屋的地震 作用效应时，宜乘以增大系数 3，但增大部分不应往下传递（计算 以下各层地震剪力时不考虑 ）。 当房屋顶部有突出屋面的小屋时，上述附加的集中水平地震作用 △Fn应置于主体房屋的顶层而不应置于小屋的顶部，主体房屋顶层 处质点的地震作用按调整后 (考虑δn影响)的顶点计算。小屋顶部处 质点的地震作用按调整后的一般质点计算后，再乘以增大系数3 。
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（t） （ x g t） j
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2．振型组合
由式 Fji j j X jiGi 可求得某一振型各质点的 最大水平地震作用Fji (i=，1，2，…，n)，再 按照一般结构力学方法可求得结构对应于该振 型的最大地震作用效应Sj (Fji → Sj ) 。 （t） （t） F （t） m X x 根据 F 结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振 型地震作用之和。但是，各振型的地震作用 (从而相应的地震作用效应)不会同时达到最大 值。 如何组合各振型的最大地震作用效应，合 理地确定结构总的地震作用效应？
2、结构底部剪力的计算（ FEk ） 3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ） 4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ） 二、时程分析法
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一、底部剪力法
按振型分解反应谱法计算房屋结构的水平地震作用 时，运算过程较繁。为了简化计算，《抗震规范》规定， 当房屋结构满足下列条件时，可采用近似计算法---底部剪力法： (1)房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； (2)房屋的总高度不超过40m； (3) 房屋结构在地震作用时的变形以剪切变形为主 ( 房屋 高宽比小于4时)； (4)房屋结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。 满足上述条件的结构，在水平地震作用下振动时，其位 移反应通常以基本振型为主，且基本振型近似于直线。
5
二、简化计算步骤
利用单自由度体系的设计反应谱，按 先求出对应于每一振型各质点的最大水平地震作用 ( 同 时达到最大值 ) 及相应的地震作用效应，然后对这些效 应进行振型组合，以求得结构的最大地震作用效应。 具体步骤如下：
j 1
（t） F （ F （ mi j X ji x i t） g t） j
n
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令
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（t） （ x g t） j g
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， Gi mi g
则 Fji j j X jiGi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)为 为对应于j 振型i 质点水平地震作用标准值计算公式
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j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
S S
必须注意，不能先将各振型的地震作用Fji采用“平 方和开方”法进行组合，求出总的地震作用，再求地 震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负， 经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作 用效应。
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§3-6 底部剪力法和时程分析法
一、底部剪力法 1、底部剪力法示意图
1、结构底部剪力的计算 根据静力平衡条件，相应于j振型的结构底部剪力应等 于j振型下结构的总水平地震作用，即应等于j振型各 质点水平地震作用Fji之和。故由式 Fji j j X jiGi 可得j振型下结构底部剪力标准值：
V j 0 F ji j j X ji F ji Gi 1G
Fji j j X jiGi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)
为对应于j振型i质点水平地震作用标准值计算公式。 式中： Fji—j 振型i质点的水平地震作用标准值； rj—j 振型的振型参与系数；Xji—j 振型i质点的振型位移 幅值；Gi—集中于i质点的重力荷载代表值； αj—相应于j 振型自振周期Tj 的地震影响系数。 是第 j 振型对应的振子 ( 单质点体系 ) 的最 大绝对加速度与重力加速度之比，故αj是相应第j 振型的 地震影响系数，而这时的自振周期为与第 j 振型相对应 的振子的周期Tj，即为第j 振型的自振周期。
4、顶部附加地震作用的计算（ △Fn ）
1）、顶部附加地震作用系数δn 当结构基本周期较长，特征周期Tg较小时，由于高阶振型的影响 增大，且主要影响在结构上部，按质点i的水平地震作用标准值计 算式计算时，结构顶部的地震剪力偏小，故须按顶部附加地震作 用系数δn进行调整。 顶部附加地震作用系数δn
Tg(s)
j 1
n
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1、振型的最大地震作用
由 ，作用在第j 振型第i质点上的 （t） （ mi j X ji x t） ji t） g j 地震作用绝对最大值Fji为： F ji F（ max max
j 1 j 1 ji
（t） F （ F （ mi j X ji x i t） g t） j
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n j Gi 1G X j ji G 1G j 1 i 1 1
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或： FE k 1Geq 式中，FEk----结构总水平地震作用标准值，即结构底 部剪力标准值； 1 ----相应于结构基本周期的水平地震影响系数， G G ----结构等效总重力荷载代表值 ξ ----为高振型影响系数，也称等效重力荷载系数， 即把多质点体系视为等效的单质点体系时的转换系数。 对单质点体系，ξ＝1；如为无穷多质点体系，ξ＝ 0.75；对单质点体系，即ξ＝0.85
第三章 地震作用和结构抗震验算
一、课程内容 二、重点、难点和基本要求
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第三章 课程内容
§3-1 概述 §3-2 单自由度弹性体系的地震反应 §3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法 §3-4 多自由度弹性体系的地震反应 §3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法 §3-6 底部剪力法和时程分析法 §3-7 水平地震作用下的扭转效应 §3-8 结构的竖向地震作用 §3-9 结构自振周期的近似计算 §3-10 地震作用计算的一般规定 §3-11 结构抗震验算
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1、底部剪力法示意图
底部剪力法是先 计算出作用于结 构的总水平地震 作用，也就是作 用于结构底部的 剪力，然后将总 水平地震作用按 一定的规律分配 给各质点。 关键是求出FEK、 Fi、△Fn
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2、结构底部剪力的计算（ FEk ）
i 1 i 1 n n
j G j X ji i G i 1 1
n
——结构总重力荷载代表值， Gi ----为i质点重力荷载代表值； α1---相应于结构基本周期的水平地震影响系数。 （结构底部剪力是一种地震作用效应） 式中
i 1
G Gi
n
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根据“平方和开方”的振型组合原则，结构底部总剪 力的标准值FEk(也就是结构总水平地震作用)应为
n n i i j 1 j ji g j j 1 ji
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地震作用效应组合
根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳随 机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应可近 似地采用“平方和开方”法确定，即 m 2
j 式中 S——结构水平地震作用效应， j 1 Sj——j振型水平地震作用产生的作用效应(弯矩、剪力、 轴力和变形等) m——参与组合的振型的个数，可只取前2～3个振型(因为 高阶振型随着其自振频率ωj的增加，Sj在S中的贡献 迅速减少)，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大 于5时，振型个数可适当增加。
n eq i 1 i
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3、各质点水平地震作用标准值的计算（ Fi ）
由于结构在水平地震作用下的位移反应以基本振型为 主，故各质点的水平地震作用Fi近似取等于Fi1(对应于 基本振型的各质点水平地震作用)，则由 Fji j j X jiGi 得到： Fi=F1i=α1γ1X1iGi 而且，基本振型近似为直线，故质点的水平相对位移 幅值 X1i，与质点的计算高度 Hi 成正比，即 X1i=ηHi， 其中η为比例常数。 于是上式可写为：Fi=F1i=α1γ1ηHi Gi 则结构总水平地震作用可表示为： n n n