浅析多元函数的最值问题

浅析多元函数最值问题

作者-欧金秀

宜宾学院数学学院数学与应用数学学院2008级2班四川宜宾 644000

指导老师-张玲

摘要：最值问题是数学永恒的话题，也是历年各类考试的热门考点。而在最值求解中，尤以多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变而具有挑战性，本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新思维。

关键词：多元函数最值消元不等式数形结合

目录

1、引言及相关定义 (2)

2、求最值的方法 (3)

2.1消元法 (3)

2.1.1 直接消元 (3)

2.1.2 拉格朗日乘数法 (5)

2.2 不等式法 (6)

2.2.1均值不等式 (6)

2.2.2琴生不等式 (9)

2.2.3幂平均不等式 (11)

2.2.4柯西不等式 (12)

2.3 数形结合法 (13)

结束语 (15)

致谢词 (16)

参考文献 (16)

1、引言及相关定义

函数是数学最重要的内容之一，同时又是解决数学问题的重要理论之一。在科技生产、经济管理等诸多领域中，常常需要解决在一定条件下怎样使得投入最小，产出最多、效益最高等问题。而这些问题即为函数的最值问题，故函数最值的研究也具有重要的价值。如何用最简单高效的方法求函数是最值问题，仍需要不断的探索与创新。

定义1【竞赛数学】： 设函数()x f 的定义域为D 。如果存在0x ∈D 。使得任意实数x ∈D ，都有f(x) ≤()0x f ，则称()0x f 为函数()x f 在D 上的最大值。可以简记为m ax f

如果存在0y ∈D ，使得任意实数x ∈D ，都有f(x) ≥()0y f ，则称为()0y f 函数()x f 在D 上的最小值。可以简记为min f

一元函数最值的概念可以类似的推广到多元函数的情形。 对于定义域在Ｄ上的ｎ元函数ｕ＝()n x x x f ...,21

设（0

201,x x ...0n x ）∈D ，若对一切（n x x x ...,21），总有()

()n n x x x f x x x f ,,...,2100201≥， [或者()

00201...,n x x x f ≤()n x x x f ...,21]称()n x x x f ...,21在点（0

201,x x ...0n x ）达到最大（小）

值，而点（0201,x x 0

n x ）为最值点。

定义2【竞赛数学】： 若有n 个变量n x x x ,,21满足方程（不等式）组 ()0,,21=n i x x x F ()m i ,2,1=， ○1

其中m ＜n 。求出变量()n i x i ,2,1=的一组值，使得函数 y=()n x x x f ...,21 ○2

取得最大值（最小值）。也就是说，如果（0

201,x x ...0n x ）满足方程○

1，且对满足○1的一切（n x x x ...,21），总有

()

00201...,n x x x f ≥()n x x x f ...,21 或()

0201...,n x x x f ≤()n x x x f ...,21

则分别称()

0201...,n x x x f 为函数○2在条件下○1的最大值（最小值）。这种最值称为条件最

值，条件○1中的等号也可以部分或全部改为不等号，并称为约束条件，而称○2为目标函数。

最值定理： 若函数在闭区间上连续，则该区间上一定有最值。

注：相关定义及定理在此不做证明，可参考《数学分析》及《竞赛数学》等。

2、求函数最值的方法

2.1消元法求函数最值

消元法是指通过消去变量(或未知数) 从而达到解题目的的方法。如果能先消去一些变量(或未知数) 使其减少到一个,使数量关系单一化,则便于找到解题途径。多元函数最值难求,关键在于变量较多。如果能够采取合理的手段消元,使变量减少甚至只剩下一个变量,则问题往往迎刃而解。消元法是求多元函数最值的最基本方法。 2.1.1直接消元法

有的函数很容易根据约束条件消去一些变元，就可直接消元。 例1. 已知21,x x 是方程()()

5322

2

=+++--k k x k x ()R k ∈的两个实数根，问当k

为何值时，2

221x x +有最大值，并求出其最大值。

分析： 根据方程有根的条件得出关于k 的范围，再由根与系数的关系得到约束条件，进而根据目标函数求其最值。

解： 由于所给二次方程有实数根，故判别式

()[]()

0531422

2

≥++⋅⋅---=∆k k k ，

即 0161632

≤++k k ○1 韦达定理，有 221-=+k x x ○

2 532

21++=⋅k k x x ○3 因此，本题实际上就是求在约束条件○

1○2 ○3下，求目标函数 2

221x x y += ○

4 的最大值。这里包含的变元有21,x x ，k 。为了消去21,x x ，将○

2○3代入○4，得 ()212

212

2212x x x x x x y -+=+=

6102

---=k k ()1952

++-=k

记 ()k f ()1952

++-=k

而由○

1可知 3

4

4-≤≤-k 于是问题转化求()k f 在区间⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡--34,4上的最大值，由()x f 在I 的单调性可知

当4-=k 时，2

221x x +有最大值18.

例2]1[. 在约束条件0442

2=-+y x 下，求函数 ()y x y xy x y x f 242,2

2

++++=

的最大值。

分析：约束条件很显然是个椭圆方程，我们可以利用其参数方程将二元转化为一元，达到消元的目的，从而利用一元函数求最值的方法求其最值

解：约束条件 0442

2

=-+y x 可化为 14

22

=+y x 令

θ

θsin cos 2==y x ， 则 ()y x y xy x y x f 242,2

2++++=

有 ()()

()θθθθθθθsin cos 2sin sin cos cos 42

2

++++=f

()θθθθsin cos 2sin cos 44+++= ○1 令μθθ=+sin cos ，

24sin 2≤⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

=πθμ，由○

1转化为讨论函数 ()()

μμμ21242

+-+=g ()

122

++=μμ，

当μ取得最大值2时，()y x f ,取得最大值(

)

232+

此时 4

π

θ=

， 解得 2

2,2=

=y x 注： 如果约束条件符合某些特征，根据解析几何的有关知识，将其化为参数（或极坐标）

方程（或不等式），从而达到消元的目的。

例3 设192

2

=++y xy x ，求2

2y x +的最值。

解： 设

θ

θsin ,

cos r y r x == （θ为参数），则

(

)

θθθθ2

22

2

2

sin sin cos cos +⋅+=++r y xy x 192sin 2112

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+

=θr