概率论与数理统计在日常生活中的应用
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，
电路二：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ， ，则 ，
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电路三：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ， ，
，
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假设概率p的取值为0.8，则每组电路系统能正常工作的概率是：
电路一：
电路二：
电路三：
综上：最优电路组是电路三。
4.4在保险问题中的应用
2.3.2正态分布N（ ， ）
一个随机变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，那么这个变量一般都可以认为服从正态分布。（如图 ）随机变量 的密度函数为 ，（- ），其中 (位置参数)， (尺度参数)为常数，- ， ，则称 服从参数为 和 的正态分布，记作 ， ,则
.
2.4随机变量的数学期望
、 参数由下列公式求得（用代表）：
； .
4应用
4.1在预测会面中的应用
预测会面是生活中典型的概率问题，解决此类问题，可运用概率的几何方法。先根据约束条件在平面上建立直角坐标系，再计算出样本空间 与子区域的阴影面积的比值。可根据计算的结果适当调整会面时间，增加会面的概率。
例如甲乙俩人约定在下午 时到 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人 ，过时即可离去，求两人能会面的概率。
（1）方差的定义法计算
离散情形：若 是离散型随机变量，其概率分布为 ， ， ，
连续情形：设连续型随机变量 的概率密度为 ，则 .
（2）公式法： .
2.5.1方差的性质
（1）设 为常数，则 ；
（2）如果 为随机变量， 为常数。则 ；设 为常数，则有 ；
（3）设 ， 是两个随机变量，则有
3一元线性回归
一元线性回归分析法的预测模型为： ,式中 代表 期自变量的值， 代表 期因变量的值， 、 代表一元线性回归方程的参数。
2.4.1离散型随机变量的数学期望
设随机变量 的分布律为 （ ， ， ），若级数 绝对收敛，则称 为随机变量 的数学期望，记作 ，即 ，如果 级数发散，则称 的数学期望不存在。
2.4.2连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积分 为 的数学期望，记为 ，即 ；若积分 发散，则称 的数学期望不存在。
［关键词］概论的性质；排列组合；条件概率；随机现象；现实运用
The application of probability theory and mathematical statistics in daily life
Mathematics and Applied MathematicsLI Yi
Abstract:"Probability theory and mathematical statistics" in the field of higher mathematics education in our country, with higher mathematics, linear algebra formed a tripartite confrontation. With the development of modern science, the principles and methods of probability theory and mathematical statistics have been widely used in various life fields closely related to us, such as investment decision, insurance money, product inspection and performance analysis. This article first part of probability theory and mathematical statistics to anthor introduces some basic concepts and definitions, in the second part analysis combining with an instance of life, with the principle of probability reveal of random phenomena in life, to guide people to see things as they really are, and summarized the methods to solve the problem of probability as to provide theoretical basis for people's life decisions, guiding people to avoid unnecessary events.
泊松分布概率分布列为
， , ， ， 其中参数 期望为 ，方差为
2.2.4超几何分布H（ ）
设 个产品中有 件次品，不放回的随机抽取 个，记 个次品数为 ，则 服从超几何分布，其分布率为
，（ , , ， ， ，期望为 ，方差为 .
2.2.5几何分Biblioteka BaiduG（p）
设事件 在任意一次实验中出现的概率都是 ）， 表示事件 首次发生时试验进行的次数，则称 服从几何分布，记为 .其分布律为：
南宁师范大学师园学院
2020届本科毕业论文（设计）
题 目
概率论与数理统计在日常生活中的应用
系 别：
理工系
年 级：
2016级
专 业：
数学与应用数学
学 号：
1611150
姓 名：
李怡
指导教师（职称）：
韦儒和（讲师）
教务处制
二〇二〇年五月
概率论与数理统计在日常生活中的应用
数学与应用数学 李怡
［摘 要］《概率论与数理统计》在我国高等数学教育领域与高等数学、线性代数形成三足鼎立之势。随着近代科学的发展，概率论与数理统计的原理和方法已被广泛应用到投资决策、保险金、生产消费、成绩分析等各种与我们息息相关的生活领域。本文前半部分将对概率论与数理统计的一些基本概念和定义做出介绍,后半部分结合生活中的实例进行分析,用概率的原理揭示生活中的随机现象,指导人们看到事物的本质,并总结归纳出解决概率问题的方法为人们生活决策提供理论依据,指导人们避免不必要事件的发生。
例如某生产线生产球 鞋 双，球鞋弯折 下不出现断底现象即为合格品， 要求合格率要在 ，随机抽出 双样品做弯折耐久性试验，发现 双中有 双产品发生断底的情况，所以抽检的合格率 即可以说明该产品线是合格的。又如在日常的进货情况中，假设现在有一批产品，其中，不合格的有 件， 合格的有 件，随机的在产品中选r件，采取不放回的抽样， 那么至少有1件不合格品在被抽取出的r件中的概率为
设有 个事件 , 对任意的 ，如果以下不等式均成立
2随机变量及其分布
2.1分布函数的基本性质
（1）单调性
在实数（- ）内为单调非减函数，即对任意的 有 .
（2）有界性
对任意的 ，有 ,且 , .
（3）右连续性
是 的右连续函数，即对任意的 ，有 ， .
2.2常用的离散型随机变量
2.2.1二项分布B（n,p）
如果记 为 重伯努利实验中成功（记为事件 ）的次数，则 服从二项分布，记为 记 为每次试验 发生的概率，则 的概率分布为 ，（ ， ， ， ），期望为 ，方差为
2.2.20-1分布（二项分布的特例）
时的二项式分布 称为 分布，就称二点分布，其概率分布列为：
，（ ， ），期望为 ，方差为
2.2.3泊松分布P（λ）
1概率
1.1概率的几何方法
一个随机现象的样本空间Ω，若事件A为Ω中的某个子区域，则事件A的概率为 ,这个概率称为几何概率。对样本空间Ω和所求事件A用图形描述清楚（一般用平面或空间图形）是求几何概率的关键，具体如图1所示。
1.2条件概率
（1）条件概率的定义：在 发生下 的条件概率，记为 .
（2）条件概率的性质：
4.2在生产消费中的应用
在生产制造过程中为了量化成本和生产效率等问题，需要利用统计对生产产品线的成品率计算。厂家通过抽样调查，统计不合格产品数量，通过其推断整体产品的成品率。 虽然统计方法可能存在局限性，但从特定关注角度出发，仍然可以作为有价值的参考指标。而且统计做法可以大大提高生产效率，减少工作中不必要的付出。
通过全概率公式的应用，可以对P(B) 进行求解，可以知道
又因为 有i件不合格在被检测的三件产品中的条件下该批产品被接收的概率，则i件不合格产品都误检测为合格品(概率为 )且3-i件合格品都检测为合格品(概率为 )，所以
故
4.3在电路工作中的应用
提供电源的必要条件是电路的正常运行，因此定期检查系统的可靠性,成为了电路正常运行的关键。其中电路中最基本的结构是串联、并联的结合，如果将串、并联电路分别看作数学当中的交与补，再结合概率论与数理统计中的对偶原理，即摩根定律，可以计算出整个电路系统正常工作的概率,依次选择最优电路组，从而提高电路系统正常工作的可靠性，为电路系统的设计提供理论依据与数据支撑。
，（ , ， ），期望为 ，方差为
2.3常用的连续型随机变量
均匀分布 （几何概率），如果随机变量 ，其密度函数为 则称 服从 上的均匀分布。其中 ， 是分布的参数。期望为 ，方差为
2.3.1指数分布E（λ）（寿命问题）
如果随机变量 ，其密度函数为：
则称 服从参数 的指数分布，记作 ，其中参数 .期望为 ，方差为
若设 ，则 0， ， .
若￡中的 ， ， ， ，互不相容，则
（3）乘法公式
若 ， .
（4）全概率公式
假如 ,则 .
（5）贝叶斯公式
设 ， ， ， 是样本空间Ω的一个分割，即 ， ，…， 互不相容，且 ，如果 , ， ， ， ， .
则 ， ， ， ， .
1.3 概率的独立性
独立性是指：一件事的发生不影响另一个事件的发生。
分析：在平面上建立 直角坐标系可知 的所有可能取值是边长为 的正方形（如图2所示），其面积 。而事件 =“两人能够会面”相当于 ，即图 中的阴影部分，其面积为 ，根据 式知：
结果表明：按此规则约会，两人会面的概率不会超过 。若把约定的时间改在下午 时到 时 分，其他不变（如图 所示），则两人能会面的概率提高到 。
Key words：Properties of generality;arrangement and combination;conditional probability;random phenomenon;practical application
引言
随着科学的发展和技术的进步，人们逐渐用数学知识来解决于日常生活中的概率问题，特别是近年来概率论与数理统计的原理和方法更多的被广泛应用到投资决策、保险金、生产消费、成绩分析等各种领域。在此背景下，对概率论与数理统计在生活中的实际应用进行研究分析具有重要意义。因而作为一篇分析概率论与数理统计实际应用的文章，本文前半部分将对概率论与数理统计的一些基本概念和定义做出介绍，后半部分结合生活中的实例进行分析，用概率的原理揭示生活中的随机现象，指导人们看到事物的本质，并总结归纳出解决概率问题的方法为人们生活决策提供理论依据，指导人们避免不必要事件的发生。
例如，在如图4、5、6所示的三组电路，假设每个元件正常工作的概率为p，且所有元件都能独立工作，求每组电路系统能正常工作的概率是多少？最优电路组是哪一组？
分析如下：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ，5
串联系统：
并联系统：
电路一：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ， ，则
保险在现代社会经济的协调发展中发挥着非常重要的促进作用，帮助人民分担伤、残、病、老、死等各种意外事故所造成的经济损失。例如某保险公司新开设了一项，规定该份保单在一年内如果事件 ，则该保险公司要赔偿 元，假若在一年内 发生的概率为 ，为使公司收益的期望值不低于 的 ，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为多少元？
2.4.3随机变量数学期望的性质
（1）设 为常数，则有 ；
（2）设 为一随机变量，且 存在， 为常数，则有 ） ；
（3）如果 为随机变量， 为常数，则有 ；
（4）设 与 是两个随机变量，则有 ；
（5） 和 是随机变量 的两个函数，
；
（6）设 与 相互独立，则有
2.5随机变量的方差
设 是一个随机变量，如果 存在，则称 为 的方差，记作 或 即 ，称 为 的标准差或均方差。称 为 的标准化随机变量，此时有
电路二：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ， ，则 ，
=
=
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=
电路三：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ， ，
，
=
=
=
=
=
假设概率p的取值为0.8，则每组电路系统能正常工作的概率是：
电路一：
电路二：
电路三：
综上：最优电路组是电路三。
4.4在保险问题中的应用
2.3.2正态分布N（ ， ）
一个随机变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，那么这个变量一般都可以认为服从正态分布。（如图 ）随机变量 的密度函数为 ，（- ），其中 (位置参数)， (尺度参数)为常数，- ， ，则称 服从参数为 和 的正态分布，记作 ， ,则
.
2.4随机变量的数学期望
、 参数由下列公式求得（用代表）：
； .
4应用
4.1在预测会面中的应用
预测会面是生活中典型的概率问题，解决此类问题，可运用概率的几何方法。先根据约束条件在平面上建立直角坐标系，再计算出样本空间 与子区域的阴影面积的比值。可根据计算的结果适当调整会面时间，增加会面的概率。
例如甲乙俩人约定在下午 时到 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人 ，过时即可离去，求两人能会面的概率。
（1）方差的定义法计算
离散情形：若 是离散型随机变量，其概率分布为 ， ， ，
连续情形：设连续型随机变量 的概率密度为 ，则 .
（2）公式法： .
2.5.1方差的性质
（1）设 为常数，则 ；
（2）如果 为随机变量， 为常数。则 ；设 为常数，则有 ；
（3）设 ， 是两个随机变量，则有
3一元线性回归
一元线性回归分析法的预测模型为： ,式中 代表 期自变量的值， 代表 期因变量的值， 、 代表一元线性回归方程的参数。
2.4.1离散型随机变量的数学期望
设随机变量 的分布律为 （ ， ， ），若级数 绝对收敛，则称 为随机变量 的数学期望，记作 ，即 ，如果 级数发散，则称 的数学期望不存在。
2.4.2连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积分 为 的数学期望，记为 ，即 ；若积分 发散，则称 的数学期望不存在。
［关键词］概论的性质；排列组合；条件概率；随机现象；现实运用
The application of probability theory and mathematical statistics in daily life
Mathematics and Applied MathematicsLI Yi
Abstract:"Probability theory and mathematical statistics" in the field of higher mathematics education in our country, with higher mathematics, linear algebra formed a tripartite confrontation. With the development of modern science, the principles and methods of probability theory and mathematical statistics have been widely used in various life fields closely related to us, such as investment decision, insurance money, product inspection and performance analysis. This article first part of probability theory and mathematical statistics to anthor introduces some basic concepts and definitions, in the second part analysis combining with an instance of life, with the principle of probability reveal of random phenomena in life, to guide people to see things as they really are, and summarized the methods to solve the problem of probability as to provide theoretical basis for people's life decisions, guiding people to avoid unnecessary events.
泊松分布概率分布列为
， , ， ， 其中参数 期望为 ，方差为
2.2.4超几何分布H（ ）
设 个产品中有 件次品，不放回的随机抽取 个，记 个次品数为 ，则 服从超几何分布，其分布率为
，（ , , ， ， ，期望为 ，方差为 .
2.2.5几何分Biblioteka BaiduG（p）
设事件 在任意一次实验中出现的概率都是 ）， 表示事件 首次发生时试验进行的次数，则称 服从几何分布，记为 .其分布律为：
南宁师范大学师园学院
2020届本科毕业论文（设计）
题 目
概率论与数理统计在日常生活中的应用
系 别：
理工系
年 级：
2016级
专 业：
数学与应用数学
学 号：
1611150
姓 名：
李怡
指导教师（职称）：
韦儒和（讲师）
教务处制
二〇二〇年五月
概率论与数理统计在日常生活中的应用
数学与应用数学 李怡
［摘 要］《概率论与数理统计》在我国高等数学教育领域与高等数学、线性代数形成三足鼎立之势。随着近代科学的发展，概率论与数理统计的原理和方法已被广泛应用到投资决策、保险金、生产消费、成绩分析等各种与我们息息相关的生活领域。本文前半部分将对概率论与数理统计的一些基本概念和定义做出介绍,后半部分结合生活中的实例进行分析,用概率的原理揭示生活中的随机现象,指导人们看到事物的本质,并总结归纳出解决概率问题的方法为人们生活决策提供理论依据,指导人们避免不必要事件的发生。
例如某生产线生产球 鞋 双，球鞋弯折 下不出现断底现象即为合格品， 要求合格率要在 ，随机抽出 双样品做弯折耐久性试验，发现 双中有 双产品发生断底的情况，所以抽检的合格率 即可以说明该产品线是合格的。又如在日常的进货情况中，假设现在有一批产品，其中，不合格的有 件， 合格的有 件，随机的在产品中选r件，采取不放回的抽样， 那么至少有1件不合格品在被抽取出的r件中的概率为
设有 个事件 , 对任意的 ，如果以下不等式均成立
2随机变量及其分布
2.1分布函数的基本性质
（1）单调性
在实数（- ）内为单调非减函数，即对任意的 有 .
（2）有界性
对任意的 ，有 ,且 , .
（3）右连续性
是 的右连续函数，即对任意的 ，有 ， .
2.2常用的离散型随机变量
2.2.1二项分布B（n,p）
如果记 为 重伯努利实验中成功（记为事件 ）的次数，则 服从二项分布，记为 记 为每次试验 发生的概率，则 的概率分布为 ，（ ， ， ， ），期望为 ，方差为
2.2.20-1分布（二项分布的特例）
时的二项式分布 称为 分布，就称二点分布，其概率分布列为：
，（ ， ），期望为 ，方差为
2.2.3泊松分布P（λ）
1概率
1.1概率的几何方法
一个随机现象的样本空间Ω，若事件A为Ω中的某个子区域，则事件A的概率为 ,这个概率称为几何概率。对样本空间Ω和所求事件A用图形描述清楚（一般用平面或空间图形）是求几何概率的关键，具体如图1所示。
1.2条件概率
（1）条件概率的定义：在 发生下 的条件概率，记为 .
（2）条件概率的性质：
4.2在生产消费中的应用
在生产制造过程中为了量化成本和生产效率等问题，需要利用统计对生产产品线的成品率计算。厂家通过抽样调查，统计不合格产品数量，通过其推断整体产品的成品率。 虽然统计方法可能存在局限性，但从特定关注角度出发，仍然可以作为有价值的参考指标。而且统计做法可以大大提高生产效率，减少工作中不必要的付出。
通过全概率公式的应用，可以对P(B) 进行求解，可以知道
又因为 有i件不合格在被检测的三件产品中的条件下该批产品被接收的概率，则i件不合格产品都误检测为合格品(概率为 )且3-i件合格品都检测为合格品(概率为 )，所以
故
4.3在电路工作中的应用
提供电源的必要条件是电路的正常运行，因此定期检查系统的可靠性,成为了电路正常运行的关键。其中电路中最基本的结构是串联、并联的结合，如果将串、并联电路分别看作数学当中的交与补，再结合概率论与数理统计中的对偶原理，即摩根定律，可以计算出整个电路系统正常工作的概率,依次选择最优电路组，从而提高电路系统正常工作的可靠性，为电路系统的设计提供理论依据与数据支撑。
，（ , ， ），期望为 ，方差为
2.3常用的连续型随机变量
均匀分布 （几何概率），如果随机变量 ，其密度函数为 则称 服从 上的均匀分布。其中 ， 是分布的参数。期望为 ，方差为
2.3.1指数分布E（λ）（寿命问题）
如果随机变量 ，其密度函数为：
则称 服从参数 的指数分布，记作 ，其中参数 .期望为 ，方差为
若设 ，则 0， ， .
若￡中的 ， ， ， ，互不相容，则
（3）乘法公式
若 ， .
（4）全概率公式
假如 ,则 .
（5）贝叶斯公式
设 ， ， ， 是样本空间Ω的一个分割，即 ， ，…， 互不相容，且 ，如果 , ， ， ， ， .
则 ， ， ， ， .
1.3 概率的独立性
独立性是指：一件事的发生不影响另一个事件的发生。
分析：在平面上建立 直角坐标系可知 的所有可能取值是边长为 的正方形（如图2所示），其面积 。而事件 =“两人能够会面”相当于 ，即图 中的阴影部分，其面积为 ，根据 式知：
结果表明：按此规则约会，两人会面的概率不会超过 。若把约定的时间改在下午 时到 时 分，其他不变（如图 所示），则两人能会面的概率提高到 。
Key words：Properties of generality;arrangement and combination;conditional probability;random phenomenon;practical application
引言
随着科学的发展和技术的进步，人们逐渐用数学知识来解决于日常生活中的概率问题，特别是近年来概率论与数理统计的原理和方法更多的被广泛应用到投资决策、保险金、生产消费、成绩分析等各种领域。在此背景下，对概率论与数理统计在生活中的实际应用进行研究分析具有重要意义。因而作为一篇分析概率论与数理统计实际应用的文章，本文前半部分将对概率论与数理统计的一些基本概念和定义做出介绍，后半部分结合生活中的实例进行分析，用概率的原理揭示生活中的随机现象，指导人们看到事物的本质，并总结归纳出解决概率问题的方法为人们生活决策提供理论依据，指导人们避免不必要事件的发生。
例如，在如图4、5、6所示的三组电路，假设每个元件正常工作的概率为p，且所有元件都能独立工作，求每组电路系统能正常工作的概率是多少？最优电路组是哪一组？
分析如下：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ，5
串联系统：
并联系统：
电路一：设 ：“系统正常工作”， ：“第 个元件正常工作”， ， ， ，则
保险在现代社会经济的协调发展中发挥着非常重要的促进作用，帮助人民分担伤、残、病、老、死等各种意外事故所造成的经济损失。例如某保险公司新开设了一项，规定该份保单在一年内如果事件 ，则该保险公司要赔偿 元，假若在一年内 发生的概率为 ，为使公司收益的期望值不低于 的 ，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为多少元？
2.4.3随机变量数学期望的性质
（1）设 为常数，则有 ；
（2）设 为一随机变量，且 存在， 为常数，则有 ） ；
（3）如果 为随机变量， 为常数，则有 ；
（4）设 与 是两个随机变量，则有 ；
（5） 和 是随机变量 的两个函数，
；
（6）设 与 相互独立，则有
2.5随机变量的方差
设 是一个随机变量，如果 存在，则称 为 的方差，记作 或 即 ，称 为 的标准差或均方差。称 为 的标准化随机变量，此时有