(完整版)小学奥数-质数与合数

质数与合数
例1：判断269，437两个数是合数还是质数。

分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所有质数。

如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。

因为269＜172=289。

17以内质数有2，3，5，7，11，13。

根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5
整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。

经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。

因为437＜212=441。

21以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。

容易判断437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。

对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。

判别269，用2～268中所有的数试除，要除267个数；用2～268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。

527 275 373 393 573 537
例2 判断数1111112111111是质数还是合数？
分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。

根据整数的意义，这个13位数可以写成：
1111112111111
=1111111000000+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。

这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。

例3判定298+1和298+3是质数还是合数？
分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。

我们在四年级学过a n的个位数的变化规律，以及a n除以某自然数的余数的变化规律。

2n的个位数随着n的从小到大，按照2，4，8，6每4个一组循环出现，98÷4=24……2，所以298的个位数是4，（298+1）的个位数是5，能被5整除，说明（298+1）是合数
（298+3）是奇数，不能被2整除； 298不能被3整除，所以（298+3）也不能被3整除；（298+1）能被5整除，（298+3）比（298+1）大2，所以（298+3）不能被5整除。

再判断（298+3）能否被7整除。

首先看看2n÷7的余数的变化规律：
因为98÷3的余数是2，从上表可知298除以7的余数是4，（298+3）除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即（298+3）能被7整除，所以（298+3）是合数。

例4 已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A。

分析与解：从最小的质数开始试算。

A=2时，A+10=12，12是合数不是质数，所以A≠2。

A=3时，A+10=13，是质数；A+14=17也是质数，所以A等于3是所求的质数。

A除了等于3外，还可以是别的质数吗？因为质数有无穷多个，所以不可能一一去试，必须采用其它方法。

A，（A+1），（A+2）除以3的余数各不相同，而（A+1）与（A+10）除以3的余数相同，（A+2）与（A+14）除以3的余数相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余数各不相同。

因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一个能被3整除。

能被3整除的质数只有3，因为（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。

也就是说，本题唯一的解是A=3。

例1、 两个质数的积是46，求这两个质数的和。

例2、 用2,，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？
例3、 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，
使每组四个数的乘积相等。

例4、 七个连续质数，从大到小排列为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g ，已知它
们的和是偶数，那么c= 。

例5、 是否存在两个质数，它们的和等于?1111
20
个
例6、 将37拆成若干个不同的质数的和，有多少种不同的拆法？将每
一种拆法中的那些质数相乘，得到最小乘积是多少？
例7、 用0~9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，
这些质数的和最小是 。

例8、 试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下图方框中，每个数字只
能用一次
（ 7 ）（ 1 ）（ 4 ）（这是一个三位数） （ ）（ ）（ ）（这是一个三位数） （ ）（这是一个一位数）
使得三个数中任意两个都互质（最大公约数是1），其中一个三位数已填好，它是714。

311，那么这三个质数和是。

例9、三个质数倒数的是
1001
巩固练习：
1、设有三个不相同的质数，它们的和是40，这3个质数是。

2、在3 141,31 415,314 159,3 141 592,31 415 926,31 415 927这6个数中，有且仅有一个质数，它是。

3、一个质数的3倍与另一个数的2倍之和等于2000，那么这两个质数之和是。

4、正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两个数之和都相等。

若18对面所写的是质数a;14对面所写的是质数b；35对面所写的质数c。

试求a+b+c的值。

1661，这三个质数和是。

5、三个质数倒数的和是
1986
6、将1,，2，3…，99,010这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质。

（提示：先选出所有的奇合数）
7、两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是。

8、两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？
9、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？
10、由1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成的九位数可以是质数吗？
11、自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的十位数字与个位数字都是质数。

这样的自然数有几个？
167，则这三个质数的和是多少？
12、3个质数倒数之和是
285
13、有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来。

14、将60拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小。

那么其中最大质数是几？
15、从小到大写出5个质数，使后面的数都比以前的数大12。

16、写出12个都是合数的连续自然数。

17、如果4个两位质数a、b、c、d两两不同，并且满足a+b=c+d，那么a+b的最大可能是多少？
18、将33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？
19、19乘以一个数积是质数，乘以另一个数积是合数，并能被1，2,，
3，4…等自然数整除。

问这两个数（不能是分数或小数）分别是什么数？
练习10
1.现有1，3，5，7四个数字。

（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？
（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？
2.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

3.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数。

试求出所有满足要求的质数A。

5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数。

6.判断266+388是不是质数。

7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b。