高中数学 二项式定理例题

＝x4＋4x3（2 y）＋6x2（4 y2）＋4x（8y3）＋16 y4
＝x4＋8x3 y＋24x2 y2＋32xy3＋16y4
下一题
例题 2 求特定项的系数(一)
试求 (2x＋3y)4 展开式中 x2y2 项的系数。
解■ 将 2x 看成一项，3y 看成一项
展开式中的一般项为
C（4k 2x）4－k（3y）k＝ C 4k 24－k 3k x4－k yk
主题 1 二项式定理
例题 1 利用二项式定理求展开式
利用二项式定理展开下列各式： (1)（x－y)4。
解■ (1)（x－y)4＝〔x＋（－y)
〕4
＝
＋
xC4（04x1－（y－)0y＋)3＋
x3（C－14y)1＋
x0（－y)4
＝x4－4xC3y34＋6x2y2－4xy3＋Cy4
4 4
x2（－yC)242
当 k＝2 时，即为 x2y2 项
故 x2y2 项的系数为 C 4224－2 32 ＝216
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例题 3 求特定项的系数(二)
试求

3x＋1 x
展6开式中常数项与
x4
项的系数。
解■ 展开式中的一般项为
C
（ 6k 3x）6－k

1 x
k
＝C
6k 36－k
x6－k
解■ (1) C22＋C32＋C42＋ ＋C120
＝C 33＋C 32＋C 42＋
＋C120（因C
22＝1且
C
33＝1，將
C
2 2
換成
C33）
＝（C33＋C32）＋C42＋ ＋C120
＝（C34＋C42）＋ ＋C120（因C33＋C32＝C34）
＝（C130＋C120） ＝ C131 ＝165
例题 8 巴斯卡定理
〕10
故所求为 1＋20（x－1)2＝20x2－＋40x＋．212C101（20 x－1)17〕
C1100
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例题 5 求特定项的系数(三)
试求多项式 f（x）＝（1＋x3）＋（1＋x3)2＋ (1＋x3)3＋……＋ (1＋x3)20 的 x6 项系数。
解■ 利用等比级数求和公式，得
f（x）＝（1＋x13）－（1（－1（＋1＋x3）x3）20）＝（1＋x3）－－（x31＋x3）21
＝1＋10×0.1＋45×0.01＋120×0.001＋210×0.0001 ＋252×0.00001＋……＋ (0.1)10
＝1＋1＋0.45＋0.12＋0.021＋0.00252＋…… 2.59352 2.59
故 (1.1)10 的近似值为 2.59
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例题 7 利用二项式定理求余数
试求 2115 除以 1000 的余数。
解■ 利用二项式定理，将 2115 展开可得
2115＝ (1＋20)15
＝C105115＋C115114 201＋C125113 202＋C135112 203＋ ＋C11552015
＝1＋15×20＋105×400＋1000
（C135 23＋ ＋C11552012 23）
＝C182＋C192－5 ＝C193－5 ＝ 715－5＝710
上一题
x－k＝C
6k 36－k
x6－2k
(1) 当 6－2k＝0 时，k＝3
得常数项为 C3636－3＝20 27＝540
(2) 当 6－2k＝4 时，k＝1
得 x4 项的系数为 C1636－1＝6 243＝1458
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例题 4 多项式除法的应用
试求多项式（2x2－4x＋3)10 除以（x－1)3 的余式。
例题 1 利用二项式定理求展开式
利用二项式定理展开下列各式： (2) (x＋2y)4
解■ (2) 将 x 视为定理中的 x，2y 视为定理中的 y，
代入 n＝4 的二项式定理中，可得
(x＋2y)4＝
C
4 0
x4＋C1
y）2＋C
34x（ 1 2
y）3＋C
（44 2
y）4
利用巴斯卡定理求值：
(2) C52＋C36＋C74＋C85＋ ＋C192 。 解■ (2) C52＋C36＋C74＋C85＋ ＋C192
＝（C62－5）＋C36＋C74＋C85＋ ＋C192 ＝（C62＋C36）＋C74＋C85＋ ＋C192－5 ＝（C37＋C74）＋C85＋ ＋C192－5 ＝（C84＋C85）＋ ＋C192－5
＝（1＋x3）21－（1＋x3） x3
由上式可知，f（x）的 x6 项系数为 (1＋x3)21 展开式中 x9 项的系数
而 (1＋x3)21 展开式中 x9 项为 故 f（x）的 x6 项系数为 1330
C32111（8 x3）3＝C321x9＝1330x9
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例题 6 利用二项式定理求近似值
＝42301＋1000 （C135 23＋
＝301＋1000 （42＋C135 23＋
故 2115 除以 1000 的余数为 301
＋C11552012 23） ＋C11552012 23）
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主题 2 巴斯卡三角形
例题 8 巴斯卡定理
利用巴斯卡定理求值：
(1) C22＋C32＋C42＋ ＋C120 。
解■ 由 2x2－4x＋3＝2（x－1)2＋1
利用二项式定理
（2x2－4x＋3)10
＝〔1＋2（x－1)2
＝ ． 110．〔2（x－〕1)102
．19．〔2（x－1)2
＋C100 ．18．〔2（x－1)2 ＋…〕0…＋＋C110 ．10．〔2（x－1)2 〕1
＝1＋1C012．0 2（x－1)2＋（x－1)3〔〕2 ．22（x－1C)111＋00 ……
利用（1＋x)10 的展开式求 (1.1)10 近似值。（四舍五入取到小数点后第二位）
解■ 利用二项式定理将 (1.1)10 展开可得
(1.1)10＝ (1＋0.1)10
＝ C100110＋C1101（9 0.1）1＋C1201（8 0.1）2＋C1301（7 0.1）3＋C1401（6 0.1）4 ＋C1501（5 0.1）5＋ ＋C11（00 0.1）10