同济大学理论力学动力学
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因此，只有当 2.21m/s < v < 2.91m/s 时，两绳才同时受力。否 则将只有其中一绳受力。 16
第二类问题
例： 在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子，当空气阻力R= kmv（方向 与速度方向相反）时,试求：石子的运动方程。
解：
y v0
建立微分方程:
= my R sin α − mg = kmv
AB =
d( AB ) = l +x dt
2 2
x dx = rω l 2 + x2 d t
dx l 2 + x2 = rω dt x
r 2ω 2l 2 x= − x3
cos θ =
P P = − F x cos θ g cos θ
x
l 2 + x2
l 2 + x2 P r 2ω 2l 2 (P + ) 3 x gx
ma = F + mg 2
分方程
mg s = lθ
代入式（2）可得： 对式（1）积分求出 θ
u2 F = mg (3 cos θ − 2) + m l
22
分析小球的运动 （1）微幅摆动
微分方程的通解
θ = A sin( ωt + ϕ )
初始条件：
+ g sin θ = 0 lθ
二维运动，运动轨迹未知，直角坐标法，考虑任 意时刻t。
17
例: 建立抛体的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程 y
R mg
v
x
ma = mg + R ma = mg + ( - cvv )
= v 2 + y 2 x
2、建立直角坐标形式的运动微分方程
今日作业
《理论力学练习册》 （ 教材的配套习题册，同济大学出版社） 第33页 质点动力学 习题1、2
3 '2 2
习题2：曲率半径采用
(1 + y ) ρ= 2 d y dx 2
1
第三篇
动力学
回顾：已讲授静力学、运动学。 动力学：研究物体的机械运动与作用在物体上的作用力 之间的关系。
2
动力学的研究模型
o
运动微分方程
2 2 m x c x x y = − + 2 2 m y mg c y x y = − − +
18
m = 10kg, c = 0.02Ns2 /m 2 , v0 = 1000m/s,
炮弹运动轨迹图
19
m = 5kg, c = 0.02Ns2 /m 2 , v0 = 200m/s,
§9-2
2
质点的运动微分方程
n dr m 2 = ∑ Fi dt i =1 2 dr a FR a = 2 = m dt
二、 直角坐标形式：
一、矢量形式：
z
FR
x
o
r
a
y
= ∑ Fx m x = ∑ Fy m y = ∑ Fz m z
d s maτ = m 2 = ∑ Fτ dt 2 s man = m = ∑ Fn
6
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了， 他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文 学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光 学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂 时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律， 开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实 验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心 引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这 7 是当时英国最高科学荣誉。
mg α
vy v
− mg , − mg = − kmy
= x + kx 0 初始条件为：t=0, vx=v0，x=0
v0 x = ( 1 − e − kt ) , k
vx vy α v x
R
y = − ky − g,
初始条件为：t=0, vy=0，y=h
g g y = h − t + 2 ( 1 − e − kt ), k k
12
在图示机构中，已知套筒A重P， 可沿光滑铅垂杆滑动，鼓轮A以匀 角速度ω 转动。试求绳子拉力与 距离x之间的关系。（滑轮B尺寸 忽略不计。l、r已知） 解：套筒A受力如图。沿竖直方向 的质点运动微分方程为
P = P − F cos θ 加速度投影为正 x g P P x = − F x cosθ = cos θ g cos θ l 2 + x2
sin θ ≈ θ
g θ + θ =0 l g 2 ω = l
2 θ +ω θ = 0
u θ 0 = 0, θ 0 = l
确定积分常数
u , ϕ =0 A= lω
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
23
（2）大幅摆动
2 θ + ω sin θ = 0
大幅摆动不具有等时性
10
解题步骤： 1、取研究对象画受力图 2、建立坐标系 3、建立质点运动微分方程 4、求解 此外，还要运用运动学原理分析运动情况。
11
第一类问题 例：套筒A质量为mA，l0， v0，求绳索的拉力F(x)。
解：根据几何关系有：
Fv θA
0
s2 = l 2 + x2
FN
v0
s
上式两边求导得：
mg
= 2 xx 2 ss
b M FA
A
60º
B
解得： FA 8.65 = = N, FB 7.38 N
分析: 由(1)、(2)式可得:
FB O n an
ຫໍສະໝຸດ Baidu
r
τ
mg
v
FA=
2 (9.8 3 − 2v 2 ), FB= 3 −1
2 (2v 2 − 9.8) 3 −1
FA > 0 ⇒ v < 4.9 3 = 2.91 m s
FB > 0 ⇒ v > 4.9 = 2.21 m s
d2s v2 aτ + an 三、 自然坐标形式： a = 2 τ + n = dt ρ 2
ρ
mab = 0 = ∑ Fb
9
§9-3 质点动力学的两类基本问题 质点动力学的两类基本问题
质点动力学第一类问题——已知质点的运动，求 作用在质点上的力。 质点动力学第二类问题——已知作用在质点上的力， 求质点的运动。
当研究飞行器姿态动 力学时，可将其视为刚体 系或质点系。
4
第九章 质点运动微分方程
§ 9-1 质点运动微分方程与质点动力学的两类基本问题
理论基础：牛顿定律与微积分 第一定律（惯性定律） 第二定律 （力与加速度之间的关系的定律）
第三定律（作用与反作用定律）
5
第一、二定律： 惯性参考系 适用条件？ 第 三 定律： 任意参考系
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 8 结的经典力学系统称为牛顿力学。
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度 为u , θ = 0。求绳作用在小球上的力F(θ ), 并分析小球的运动。
解：1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系（本题为自然坐标系） 3、建立质点运动微分方程 4、求解 5、分析小球运动 运动微
θ
n s u
F
ττ:
η:
d s dθ dθ maτ = m 2 = mlθ = ml ⋅ Fτ −mg sin θ (1) == dt dθ dt 2 2 v (lθ ) man == m m mlθ 2 Fn = F − mg cosθ (2) == ρ l
解:
θ / rad
t /s
24
飞机空投物体速度大小随时间的变化
20
例 中国古时有一位千户将自制火箭绑在所坐的椅子上，点燃火箭后试图飞 离地球，试求火箭的初速度必须达到多少才可将这位千户飞离地球。
解： 已知地心引力 F= - µm/x2， 则 F= - mgR2/x2。
按初始条件 x=R 时 F=mg 可求得 建立微分方程: R 0 ( R=6370 km ) 1. v20 <2gR，下落， 2. v20 >2gR，飞离. 第二宇宙速度 µ=R2g， x F
60º
M
O
r
A FA
60º
小球在水平面内作匀速率圆周运动。
dv v2 2 a a m s 0, 12.5 = ＝ = = n τ dt r
M
B
FB O an mg
r
方向指向O点。
v
15
建立自然坐标系得：（注意到切线方向为恒等式）
v2 ma = m = = F F + F sin 45 sin 60 ∑ n A n B r mab = F = − mg + F + F 0= cos 45 cos 60 ∑ b A B (1) (2)
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计 的物体。 质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间，质点与边界之间，以不同的方式 连接，或者附加以不同的约束与物理条件。 刚体：是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变。
3
当研究飞行器轨道 动力学问题时，可将飞 行器视为质点。
14
静反力与附加动反力 = F
例题 质量为1Kg的小球M，用两 绳系住，两绳的另一端分别连接 在固定点 A 、 B ，如图。已知小 球以速度 v ＝ 2.5 m/s 在水平面内 作匀速率圆周运动，圆的半径 r ＝0.5 m, 求两绳的拉力。 解：以小球为研究对象，任一瞬 时小球受力如图。
45º
A B
点的运动学原理：
= x AB − l
2 2
AB = l + x
2 2
2
d( AB ) dx 2 AB ⋅ 2x ⋅ = dt dt
13
在图示机构中，已知套筒A重P， 可沿光滑铅垂杆滑动，鼓轮A以匀 角速度ω 转动。试求绳子拉力与 距离x之间的关系。（滑轮B尺寸 忽略不计。l、r已知）
d( AB ) dx 2 AB ⋅ 2x ⋅ = dt dt
sv0 ss = − = x x x
2 2 v0 l x= − 3 x
= −v0 ) ( s
mA a =F + FN + mA g
x : mA x= − F cosθ + mA g
静反力与附加动反力
2 2 v0 l ax = − 3 x
ax = x a y = y az = z
第二类问题
例： 在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子，当空气阻力R= kmv（方向 与速度方向相反）时,试求：石子的运动方程。
解：
y v0
建立微分方程:
= my R sin α − mg = kmv
AB =
d( AB ) = l +x dt
2 2
x dx = rω l 2 + x2 d t
dx l 2 + x2 = rω dt x
r 2ω 2l 2 x= − x3
cos θ =
P P = − F x cos θ g cos θ
x
l 2 + x2
l 2 + x2 P r 2ω 2l 2 (P + ) 3 x gx
ma = F + mg 2
分方程
mg s = lθ
代入式（2）可得： 对式（1）积分求出 θ
u2 F = mg (3 cos θ − 2) + m l
22
分析小球的运动 （1）微幅摆动
微分方程的通解
θ = A sin( ωt + ϕ )
初始条件：
+ g sin θ = 0 lθ
二维运动，运动轨迹未知，直角坐标法，考虑任 意时刻t。
17
例: 建立抛体的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程 y
R mg
v
x
ma = mg + R ma = mg + ( - cvv )
= v 2 + y 2 x
2、建立直角坐标形式的运动微分方程
今日作业
《理论力学练习册》 （ 教材的配套习题册，同济大学出版社） 第33页 质点动力学 习题1、2
3 '2 2
习题2：曲率半径采用
(1 + y ) ρ= 2 d y dx 2
1
第三篇
动力学
回顾：已讲授静力学、运动学。 动力学：研究物体的机械运动与作用在物体上的作用力 之间的关系。
2
动力学的研究模型
o
运动微分方程
2 2 m x c x x y = − + 2 2 m y mg c y x y = − − +
18
m = 10kg, c = 0.02Ns2 /m 2 , v0 = 1000m/s,
炮弹运动轨迹图
19
m = 5kg, c = 0.02Ns2 /m 2 , v0 = 200m/s,
§9-2
2
质点的运动微分方程
n dr m 2 = ∑ Fi dt i =1 2 dr a FR a = 2 = m dt
二、 直角坐标形式：
一、矢量形式：
z
FR
x
o
r
a
y
= ∑ Fx m x = ∑ Fy m y = ∑ Fz m z
d s maτ = m 2 = ∑ Fτ dt 2 s man = m = ∑ Fn
6
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了， 他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文 学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光 学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂 时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律， 开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实 验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心 引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这 7 是当时英国最高科学荣誉。
mg α
vy v
− mg , − mg = − kmy
= x + kx 0 初始条件为：t=0, vx=v0，x=0
v0 x = ( 1 − e − kt ) , k
vx vy α v x
R
y = − ky − g,
初始条件为：t=0, vy=0，y=h
g g y = h − t + 2 ( 1 − e − kt ), k k
12
在图示机构中，已知套筒A重P， 可沿光滑铅垂杆滑动，鼓轮A以匀 角速度ω 转动。试求绳子拉力与 距离x之间的关系。（滑轮B尺寸 忽略不计。l、r已知） 解：套筒A受力如图。沿竖直方向 的质点运动微分方程为
P = P − F cos θ 加速度投影为正 x g P P x = − F x cosθ = cos θ g cos θ l 2 + x2
sin θ ≈ θ
g θ + θ =0 l g 2 ω = l
2 θ +ω θ = 0
u θ 0 = 0, θ 0 = l
确定积分常数
u , ϕ =0 A= lω
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
23
（2）大幅摆动
2 θ + ω sin θ = 0
大幅摆动不具有等时性
10
解题步骤： 1、取研究对象画受力图 2、建立坐标系 3、建立质点运动微分方程 4、求解 此外，还要运用运动学原理分析运动情况。
11
第一类问题 例：套筒A质量为mA，l0， v0，求绳索的拉力F(x)。
解：根据几何关系有：
Fv θA
0
s2 = l 2 + x2
FN
v0
s
上式两边求导得：
mg
= 2 xx 2 ss
b M FA
A
60º
B
解得： FA 8.65 = = N, FB 7.38 N
分析: 由(1)、(2)式可得:
FB O n an
ຫໍສະໝຸດ Baidu
r
τ
mg
v
FA=
2 (9.8 3 − 2v 2 ), FB= 3 −1
2 (2v 2 − 9.8) 3 −1
FA > 0 ⇒ v < 4.9 3 = 2.91 m s
FB > 0 ⇒ v > 4.9 = 2.21 m s
d2s v2 aτ + an 三、 自然坐标形式： a = 2 τ + n = dt ρ 2
ρ
mab = 0 = ∑ Fb
9
§9-3 质点动力学的两类基本问题 质点动力学的两类基本问题
质点动力学第一类问题——已知质点的运动，求 作用在质点上的力。 质点动力学第二类问题——已知作用在质点上的力， 求质点的运动。
当研究飞行器姿态动 力学时，可将其视为刚体 系或质点系。
4
第九章 质点运动微分方程
§ 9-1 质点运动微分方程与质点动力学的两类基本问题
理论基础：牛顿定律与微积分 第一定律（惯性定律） 第二定律 （力与加速度之间的关系的定律）
第三定律（作用与反作用定律）
5
第一、二定律： 惯性参考系 适用条件？ 第 三 定律： 任意参考系
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 8 结的经典力学系统称为牛顿力学。
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度 为u , θ = 0。求绳作用在小球上的力F(θ ), 并分析小球的运动。
解：1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系（本题为自然坐标系） 3、建立质点运动微分方程 4、求解 5、分析小球运动 运动微
θ
n s u
F
ττ:
η:
d s dθ dθ maτ = m 2 = mlθ = ml ⋅ Fτ −mg sin θ (1) == dt dθ dt 2 2 v (lθ ) man == m m mlθ 2 Fn = F − mg cosθ (2) == ρ l
解:
θ / rad
t /s
24
飞机空投物体速度大小随时间的变化
20
例 中国古时有一位千户将自制火箭绑在所坐的椅子上，点燃火箭后试图飞 离地球，试求火箭的初速度必须达到多少才可将这位千户飞离地球。
解： 已知地心引力 F= - µm/x2， 则 F= - mgR2/x2。
按初始条件 x=R 时 F=mg 可求得 建立微分方程: R 0 ( R=6370 km ) 1. v20 <2gR，下落， 2. v20 >2gR，飞离. 第二宇宙速度 µ=R2g， x F
60º
M
O
r
A FA
60º
小球在水平面内作匀速率圆周运动。
dv v2 2 a a m s 0, 12.5 = ＝ = = n τ dt r
M
B
FB O an mg
r
方向指向O点。
v
15
建立自然坐标系得：（注意到切线方向为恒等式）
v2 ma = m = = F F + F sin 45 sin 60 ∑ n A n B r mab = F = − mg + F + F 0= cos 45 cos 60 ∑ b A B (1) (2)
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计 的物体。 质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间，质点与边界之间，以不同的方式 连接，或者附加以不同的约束与物理条件。 刚体：是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保 持不变。
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当研究飞行器轨道 动力学问题时，可将飞 行器视为质点。
14
静反力与附加动反力 = F
例题 质量为1Kg的小球M，用两 绳系住，两绳的另一端分别连接 在固定点 A 、 B ，如图。已知小 球以速度 v ＝ 2.5 m/s 在水平面内 作匀速率圆周运动，圆的半径 r ＝0.5 m, 求两绳的拉力。 解：以小球为研究对象，任一瞬 时小球受力如图。
45º
A B
点的运动学原理：
= x AB − l
2 2
AB = l + x
2 2
2
d( AB ) dx 2 AB ⋅ 2x ⋅ = dt dt
13
在图示机构中，已知套筒A重P， 可沿光滑铅垂杆滑动，鼓轮A以匀 角速度ω 转动。试求绳子拉力与 距离x之间的关系。（滑轮B尺寸 忽略不计。l、r已知）
d( AB ) dx 2 AB ⋅ 2x ⋅ = dt dt
sv0 ss = − = x x x
2 2 v0 l x= − 3 x
= −v0 ) ( s
mA a =F + FN + mA g
x : mA x= − F cosθ + mA g
静反力与附加动反力
2 2 v0 l ax = − 3 x
ax = x a y = y az = z