第三章行波解

第三章行波法

数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：

1、写出定解问题

2、求解

3、分析解答

我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：

各种求解数学物理方程的方法，主要包括：

1、行波法

2、分离变量法

3、积分变换法

4、格林函数法

5、保角变换法

本章问题的引入：

1、无限长细弦的抖动（一维）

2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）

3、灯塔上的灯光（三维）

若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。

中心：用行波法求解无界空间波动问题。

1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法

解题步骤；

2、有源问题化为无源问题的冲量法；

3、三维问题化为一维问题的平均值法。

三、分析解答：1、适定性的证明：

（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式

（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。（3）稳定性：不妨设：

()()()()

110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ

−≤−

≤

2、行波法：

（1）它基于波动的特点；

（2）引入了坐标变换简化方程；

（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；

（4）缺点：通解不易求，有局限性。

习题 3.1

2

2

3

2110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy y

u a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：

（）

、解下列初值(仅需思考，选作）问题：

O

X

Y

Z

(,,)

M x y z 0000(,,)

M x y z ϕ

θ

处的解

和

x

y

z

z ′

x ′

y ′

ϕ

θ(,,)

M x y z ′′′′(,,)

M x y z

泊松公式的物理意义：

定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为

半径的球面上的初值确定的。（这是因为初值的影

响是以速度a 在时间t 内从球面上传播到M 点处）

M

at S M

at S 设初始扰动局限与T 0，D/d 分别为M 点到T 0的最大/最小距离

d at

at >或0

),(0)()(0==′=′t M u M M T S M at

即，不相交，则与ψϕ扰动“前锋”未到或“阵尾”过去

D

at d <<0

),(0)()(0≠≠′≠′t M u M M T S M at

即，相交，则与ψϕ扰动正在经过M 点

),(11=−<+>t M p r at r at 时，或当

习题3.2

2 利用泊松公式求下列定解问题：

⎪⎩

⎪

⎨⎧+∞<<−∞+=+∞<<−∞=++===),,( |),,( 0|)(2002

z y x yz x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt